Signification de "espérance".

Bonsoir,
Les probabilités et la statistique semblent être des notions bien obscures.
Je viens de lire une chose pour le moins bizarre : il faut distinguer l'espérance en probabilité et l'espérance en statistique.
https://www.maths-forum.com/lycee/esperance-mathematiques-t207319.html
Cela confirme que ces notions pourtant très simples mais pas intuitives sont bien mal connues de ceux qui ont la charge de les enseigner.

Bonjour,
Ce sujet est toujours ouvert sur math_forum et à mon avis certains spécialistes vont avoir un peu de mal avec un nouveau membre Cassiopella qui semble avoir des idées très précises sur la question et qui ose le dire.
D'après L. il y aurait une espérance empirique et une espérance théorique ?
Le sens de "empirique" est très clair. Je traduis "parce qu'on a toujours fait comme ça".
Le sens de "espérance mathématique" est aussi très clair : produit du gain par la probabilité.
Bonne journée.

Sylviel a écrit:- la "moyenne empirique" c'est un terme pour dire la moyenne d'un échantillon. Généralement l'échantillon est une suite de variable aléatoire iid, et pour peu qu'elles soit intégrable la moyenne empirique converge presque sûrement vers l'espérance de X_1.

En mathématiques, il est d'usager, quand on parle de moyenne, sans précision, il s'agit de la moyenne arithmétique. Si on rajoute de qualificatif "empirique", il serait non de détailler sa signification exacte. Il semblerait que cela veuille dire "moyenne d'un échantillon". En ce cas, je suis parfaitement d'accord, personnellement, j'utilisais plutôt l'expression "moyenne observée", mais c'est synonyme.
Concernant le choix de la moyenne arithmétique, cela vient du "postulat de la moyenne", expression employée dans le cours de l'école nationale supérieure du pétrole.
D'autre part, S. écrit "suite de variable aléatoire iid". Quand on parle de suite, soit il s'agit de quelque-chose venant "après", soit, et il semble que c'est ce dont il s'agit, c'est un ensemble de valeurs. En ce cas, il y a plusieurs variables aléatoires, et il faudrait que les termes soient au pluriel. Il reste une possibilité "suites de valeurs d'une variable aléatoire", en ce cas c'est plus clair et je suis d'accord avec cette dernière interprétation.
Le sujet devient intéressant, à suivre.

Bon, je crois qu'on n'a pas fini :

Sylviel a écrit:On suppose généralement qu'on dispose d'un échantillon où les Xi sont iid de même loi que X.

On peut "supposer", dans un cours théorique, mais dans la réalité, on "dispose" d'un échantillon de valeurs de même loi. C'est à dire que toutes les valeurs résultent d'une expérience où tous les évènements sont indépendants et sont obtenus suivant la même procédure, ont aussi "protocole". C'est l'intitulé du TCL. Le lecteur pourra lire la conclusion qui se trouve partout.

Bon, apparemment Sylviel va user de son pouvoir de modérateur, en tout cas, il annonce la couleur :

Sylviel. a écrit:P.S: pour le moment ton discours montre surtout que tu manque un peu de recul sur la matière. Peut-être qu'un peu de modération dans ton discours ne serait pas plus mal...

J'ai bien précisé "pouvoir" de modérateur, et non pas "droit" de modérateur.
Pour mémoire, il y a quelques années, une ancienne élève de EMS a essayé de convaincre Sylviel que certaines notions mathmatiques étaient vraies. Je n'ai pas les détails, par contre, je sais que notre ami Sylviel a porté plainte et que contrairement à moi, il a obtenu satisfaction. Sur deux exemples qui concernent le même type de problème : conflit mathématique, c'est la mauvaise foi qui triomphe.
Bon, c'est pas une raison valable pour abandonner.

Bonjour,
Bonjour,
Ci dessous, je répète la question initiale :

Bonjour, je souhaiterais savoir si l'espérance symbolise la moyenne de gain par partie a long terme (dans le cadre d'un jeu) ou bien la moyenne de gain de toutes les parties a long terme.

D'abord, il y a un mot faux : "l'espérance" ne symbolise pas, est "est". C'est un nombre. Dommage que personne ne l'ait fait remarquer.
D'autre part, il y a deux termes qui ôtent toute ambiguïté à la question : "espérance" et "gains".
Je rappelle la définition de l'espérance en mathématique, c'est le produit du gain par la probabilité.
Le terme "espérance" a été cannibalisé par certains matheux, il a remplacé le terme "moyenne".
Bon, malheureusement, ce lycéen n'aura pas eu réponse à sa question.

Je viens de lire une référence à la loi de Cauchy. C'est un cas tordu très prisé des matheux. C'est vrai qu'elle n'est pas intégrable, mais, si on prend la précaution d'exclure 0 du domaine de validité, rien n'empêche de calculer la moyenne, la probabilité et donc de lui appliquer la loi des grands nombres.
Pour s'en convaincre, il suffit de faire une simulation avec un générateur de nombres aléatoires.

Bonjour,
Je fais remonter ce sujet, d'abord parce que les échanges sont très intéressants à lire, bien qu'il se termine par un constat d'un grand bob-sens :

Beagle a écrit:Quand je suis arrivé sur maths forum, je me suis dit , tiens on dit plus moyenne mais espérance.
Bon j'avais pas vu la subtilité que la moyenne n'espère plus rien...

Beagle n'est naturellement pas le seul a avoir été surpris de ce changement de vocabulaire. L'espérance en mathématique est une notion bien précise : c'est le produit du gain par la probabilité, autrement dit, rien à voir avec la moyenne. Je voudrais bien savoir qui a cannibalisé ce terme ?
La raison est que le même demandeur a posé une question toute aussi pertinente : différence entre fréquence et proportion :
https://www.maths-forum.com/lycee/difference-frequence-proportion-t208279.html
J'aime assez la réponse. Attendons de lire d'autres réactions.
Bonne journée.

"Nous nommons cet avantage espérance mathématique.
Lorsque l'avantage dépend de plusieurs événements, on l'obtient en
prenant la somme des produits de la probabilité de chaque événement
bien attaché à son arrivée."

Théorie analytique des probabilité, pXVIII, Pierre Simon Laplace, 1812

Ben oui, il est bien précisé "somme des produits de la probabilité de chaque événement
bien attaché à son arrivée." Il n'est nulle part question de "moyenne".
L'expression "bien attachée à son arrivée" est traduite dans le cadre de jeu et ailleurs par "gain".
Le gain n'est pas forcément de l'argent.
La moyenne n'a de sens que si la probabilité de chaque évènement est une constante, c'est à dire égale pour tous les évènements considérés.
En fait l'espérance et la moyenne sont deux notion très différentes.
L'espérace est le produit d'un nombre compris entre 0 et 1 et d'une valeur numérique qui représente quelque-chose de palpable, des chameaux, des jetons, des euros, des coups de bâton.
Pour la moyenne, si on réalise la même opération de mesure sur une même chose, un certain nombre de fois, la valeur à adopter, puisque c'est la plus probable, est la moyenne arithmétique. Ceci est connu sous le nom de "postulat de la moyenne". Une fois qu'on a démontré la loi des grands nombres et la loi normale, les deux théorèmes de Bernoulli, on constate qu'on a fait un bon choix en admettant ce postulat.

Je t'ai déjà expliqué cela un bon nombre de fois. Je t'ai envoyé le cours de JJ Levallois qui cite le cours de Lévy, je ne pense pas qu'on puisse dire que ces gens n'y connaissent rien.

Suite,
@ Sylviel, cette question de vocabulaire serait sans grande importance si, dans les nouvelles docs, les termes étaient bien définis, en quelque sorte un lexique.
J'ai proposé ce genre de chose, il n'y a pas vraiment eu d'écho. L'un des premiers termes nouveaux pour moi était "écart-type". J'ai très vite compris que c'était l'écart moyen quadratique, mais pourquoi "type". J'ai fini par comprendre. Tout ce qui est enseigné actuellement sur les probabilités est basé sur des résultats. En particulier le théorème de base : le TCL. Impossible de trouver ni l'auteur, ni le texte original, par contre tous les spécialistes compétents ont compris ce dont il s'agissait : voir ce qu'a compris le chat belge. Il y a quelques années, sa définition sur Wiki était parfaitement claire, cela correspondait exactement à ce que j'expliquais. Bizarrement, la définition a changé et maintenant elle est incompréhensible.
Revenons à la signification de "biais". L'origine est bizarre, méthode de couture (?) je ne sais pas. Après de nombreuses années, je crois que j'ai fini, grâce à un article, par comprendre que c'était un substitut d'un terme parfaitement défini ; "erreur", malheureusement certains le confondent avec "faute". Alors plutôt que d'expliquer le sens des termes, mais pour il fallait savoir de quoi il s'agissait, un thésard malheureux a introduit ce terme.

Je pourrais en écrire des chapitres, preuves et arguments à l'appui. Toi, tu te contentes de dire "t'y connais rien" et/ou "relis un cours de probas". Bref, tout va bien, t'es un champion.

PS. Juste un petit souvenir. Tu m'as dit une fois que tu avais fait un exposé sur les probabilités à des gens de l'IGN et qu'à la fin, l'un d'eux t'avait dit "naturellement vous connaissez mieux les probabilités que nous". D'abord les cadres de l'IGN sont en grand majorité des X et entre X, on se tutoie. Mais surtout, comme je sais parfaitement que les gens de l'IGN, quel que soit leur niveau, connaissent parfaitement les notions de probabilités, cette remarque ne pouvait être qu'humoristique, voire moqueuse. Tu ne t'en es pas rendu compte, tellement tu es sûr de toi. Bref, la vie est belle, tout va bien.

L'intégralité de tes posts sur les probabilités continue d'être un charabia infâme. Tu prétends que la notion d'éspérance est récente (où est réduite à "proba d'un gain * gain", alors que l'espérance est définie partout comme (dans le cas d'un support fini) \sum_\omega p(\omega) x(\omega) où \omega décrit l'ensemble des issues, p(\omega) la probabilité de l'issue en question et X(\omega) la valeur de la variable aléatoire en l'issue. C'est donc "la moyenne des réalisations possible pondérée par leur proba". Tous les gens éduqués utilisent cette définition (pas "certains mathématicien") et ce au moins depuis Laplace (qui le dis dans les termes de son époque).

Un petit rappel :
- sur tout les forums de maths où tu es allé on t'as dis que tu n'arrivais pas à faire le moindre raisonnement correct. Où me l'as t'on dis ?
- Y a-t-il un seul forum (y compris un forum de géomètre) où quelqu'un a confirmé tes délires sur les probabilités ? (où ai-je été contredis sur les probas ?)
- tu n'arrives pas à lire les livres de proba tu affirmes qu'un livre dis quelque chose, je te pointe les lignes disant le contraire et tu t'en fiche.
- depuis 10ans que tu débites des stupidités sans nom sur internet, après toutes les références précises, les démonstrations, les simulations qui t'ont été
fournit de mille manière différente tu n'as toujours pas les éléments les plus basiques des probas : tu n'as jamais réussi à donner un énoncé correct du TCL,
ni même compris ce qu'est une variable aléatoire (puisque tu continue à insister que la valeur sur la face du dé importe peu, alors qu'on peut très bien définir
une uniforme sur {1,2,3,4,5,6} - dé classique, et une sur {1,2,3,4,5,100} - dé modifié, qui seront deux va différentes, avec espérance et écart-type différents.

Bref, la vie est belle, ne te remet surtout pas en question.

P.S: je n'ai pas dis qu'à la fin il a dis que naturellement je connaissais mieux les probas qu'eux, mais que je suis intervenu en tant que spécialiste sur mon
sujet, qui utilise plus de proba que le leur.

Bonjour Sylviel,

Sylbiel a écrit:L'intégralité de tes posts sur les probabilités continue d'être un charabia infâme. Tu prétends que la notion d'éspérance est récente (où est réduite à "proba d'un gain * gain", alors que l'espérance est définie partout comme (dans le cas d'un support fini) \sum_\omega p(\omega) x(\omega) où \omega décrit l'ensemble des issues, p(\omega) la probabilité de l'issue en question et X(\omega) la valeur de la variable aléatoire en l'issue. C'est donc "la moyenne des réalisations possible pondérée par leur proba". Tous les gens éduqués utilisent cette définition (pas "certains mathématicien") et ce au moins depuis Laplace (qui le dis dans les termes de son époque).

Ton affirmation "L'intégralité de tes posts sur les probabilités continue d'être un charabia infâme." n'est que ton avis, alors à défaut d'être compétent et rigoureux, au moins soit poli.
Evidemment, je n'ai jamais prétendu que la notion d'espérance étais récente. Cette notion est très claire et très précise, merci d'avoir cité sa définition : produit qu'une probabilité par un gain. Si on "joue" plusieurs fois on ajoute les espérance de chaque jeu.
Ce qui est nouveau et défini nulle part, c'est que ce terme est employé maintenant comme étant la moyenne arithmétique dans le cas d'une expérience aléatoire. Chose bizarre, tu ne sembles par comprendre la différence.

Sylviel a écrit:ni même compris ce qu'est une variable aléatoire (puisque tu continue à insister que la valeur sur la face du dé importe peu, alors qu'on peut très bien définir
une uniforme sur {1,2,3,4,5,6} - dé classique, et une sur {1,2,3,4,5,100} - dé modifié, qui seront deux va différentes, avec espérance et écart-type différents.

Tu as raison de donner un exemple simple, au moins, si tu lâches la discussion en route, la conclusion sera claire pour tout le monde.
C'est écrit dans tous les cours, une variable aléatoire est une fonction. Donc à chaque lancé de dé on a un résultat de cette fonction, c'est à dire une suite de 1 2 ... 6.
L'article de Wikipédia est très clair : https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_uniforme_discr%C3%A8te

Une variable aléatoire qui peut prendre n valeurs possibles k1 , k2 , …, kn, suit une loi uniforme lorsque la probabilité de n’importe quelle valeur ki est égale à 1/n.

Un exemple simple de loi discrète uniforme est le lancer d’un dé non biaisé. Les valeurs possibles de k sont 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; et à chaque fois que le dé est lancé, la probabilité d’un score donné est égale à 1/6.

il en résulte que l'espérance vaut 1/n * Somme(ki). Toi, tu comprends que les valeurs de ki sont les nombres de taches sur la face considérée, puis tu t'arrêtes là. C'est pourtant clair, les ki sont des scores, c'est à dire le nombre de fois que la face considérée est sortie.
Pour s'en convaincre, il suffit de lire le tableau qui précise toutes les caractéristiques.
Les paramètres a et b sont définis, alors n = b - a + 1.
L'espérance = (a + b) / 2 ; la variance (n² - 1) / 12.
Ma question : où sont passées les "valeurs" 1, 2, 3, 4, 5, 6 ou 1, 2, 3, 4, 5, 100 ; où tout autre moyen de repérage ?

Je me permet de te rappeler la comparaison de 2 exercices, d'une part, la gestion de stock de pièces de rechange, d'autre part le problème de la caissière. Les énoncés sont très différents dans leur forme, mais ils font appel tout les deux à de notions strictement identiques. Comment se fait-il que tu oses, sans sourciller, donner des réponses complètement différentes ? Apparemment Léon a compris, mais pas toi. Aurais-tu une explication ?

Enfin, j'ai lu le programme de terminale sur le sujet des probabilités (2019). Je n'ai pas trouve d'autres références que celles faites aux deux théorèmes de Bernoulli.

Pour être clair, je connais des notions que tu ne connais pas et que tu refuses de comprendre. Je sais faire et justifier des calculs que tu déclares impossibles etc. et c'est moi qui devrais me remettre en question ?

Pour être clair, je connais des notions que tu ne connais pas et que tu refuses de comprendre. Je sais faire et justifier des calculs que tu déclares impossibles etc. et c'est moi qui devrais me remettre en question ?

Oui, tu es très compétent avec ton cours d'intro aux probas il y a 50 ans. Je n'ai qu'un M2 en proba, une thèse qui utilise des proba, et j'enseigne les probas et des cours qui utilise les proba au niveau L3-M2. Après ça je suis parfaitement incompétent. D'ailleurs où que j'aille on me le dis. Quand je fais un post long, précis, détaillé, avec simulation à côté, on se rue pour pointer mes erreurs. Et quand j'annonce un résultat, avec un protocole pour le vérifier, il est hyper facile de construire un contre-exemple.

Bref, tu es un guignol.

Oui, après 10 ans, des dizaines d'individus d'accord entre eux et te répétant la même chose TU devrais te remettre en question (mais tu es trop gâteux pour cela)

Je me permet de te rappeler la comparaison de 2 exercices, d'une part, la gestion de stock de pièces de rechange, d'autre part le problème de la caissière. Les énoncés sont très différents dans leur forme, mais ils font appel tout les deux à de notions strictement identiques. Comment se fait-il que tu oses, sans sourciller, donner des réponses complètement différentes ? Apparemment Léon a compris, mais pas toi. Aurais-tu une explication ?

Les problèmes ne sont pas les mêmes. Dans les deux cas les questions posés étaient imprécise. Pour mémoire, prenons le cas du stock :
- j'ai dis :
a) "si on prends au pied de la lettre la réponse est 27 preuve à l'appui" (chose que tu n'arrives toujours pas à comprendre encore moins reconnaître)
b) "si on veut une modélisation et une question plus réaliste voilà ce que je propose"
c) "en pratique il vaut mieux choisir le modèle probabiliste et simuler avec différents niveaux pour voir lequel est acceptable"
- tu as dis "c'est 4 parce que quand je fais des calculs sans queue ni tête ça me parait convenable"

--> c'est bien l'exemple que tu ne comprends pas ce qu'est un raisonnement rigoureux. (Chose que tu as confirmé en disant que "la loi de Cauchy montre d'après les mathématicien que le TCL est faux")

Bref, tu es un guignol.

Bon, concernant l'exercice de gestion de stock, il est vrai que je me suis trompé dans la calcul. Toi, ça risque pas de t'arriver, tu te contentes de dire "c'est pas vrai" et tu ne calcules rien. Ou tu t'en tires en disant "l'énoncé est incomplet". D'ailleurs cela atteint des proportions indignes d'un universitaire qui ne comprends pas la démonstration de Jacques Harthong sur la fameuse énigme de Bertrand. Les références master et thèse que tu donnes sont invérifiables, cela ne change rien par ailleurs. Tu n'as aucune idée des deux théorèmes de Bernoulli, c'est pas de ma faute. En fait, ces deux sujets, dés à 6 faces et Bertrand, sont tellement bien cernés qu'il suffisent à montrer ton incompétence en la matière.

Sylciel a écrit:c'est bien l'exemple que tu ne comprends pas ce qu'est un raisonnement rigoureux. (Chose que tu as confirmé en disant que "la loi de Cauchy montre d'après les mathématicien que le TCL est faux")

C'est marrant, quand j'ai exposé ces notions fondamentales des probabilités, vérifiées par la simulation de Le_Jeu, c'est toi_même qui a dit "non, c'est pas vrai et tu as apporté le contre-exemple de la loi de Cauchy.
Tu n'as rien répondu à propos de la loi uniforme appliquée à un dé à 6 faces équilibré, quels que soient les dessins ou nombres de taches sur les faces. Naturellement, c'était prévisible.

Bon, ton dernier message est naturellement très minable pour un universitaire qui prodigue des cours au niveau supérieur et participe à des études pour des sociétés.
En effet, il part du postulat que je n'y connais rien. Mais, tu n'as pas d'autre argument que tu as obtenu un master et une thèse et que d'autres membres d'autres forums ne sont pas d'accord avec moi.
Si c'est ça les mathématiques, alors je préfère ne pas faire partie de cet ensemble. Par contre je me contenterai d'avoir appris et de continuer à apprendre les outils qu'ils ont mis au point et surtout d'être capable de calculer, imaginer, réaliser dans mon domaine de compétence.
Le petit jeu qui consiste à dire "c'est pas vrai" sans autre argument que "parce que moi je sais" ne m'intéresse pas.
Alors, je vais être clair : ce forum est destiné à aider ceux qui le demandent. Si ce n'est pas ton but, tu n'est pas le bienvenu sur ce forum.
Toute argumentation est acceptée, tout dénigrement est refusé.