Contrôle de dosage de cachets.

Bonsoir,
Pour la ou les formules de Koenig,
En théorie des probabilités, la formule est sans aucun nombre (car pas d'échantillon !).
En théorie de la statistique (le cadre de l'exercice cité), la formule est valable quelle que soit la taille de l'échantillon.

Lire :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_K%C3%B6nig-Huygens
c'est simple, clair, concis, précis.

Bonjour,

La formule est prouvée pour tout entier n. Le lien que j'ai donné présente une démonstration pour tout en entier n.
Difficile de dire que c'est faux.

Si tu parles d'une autre formule, il faut la préciser clairement ! avec un lien, une référence précise, par exemple.

Non Dlz, en maths ce n'est pas "comme on veut". Donc si la formule est démontrée être vraie pour tout n, tu ne peux pas déclarer qu'elle est vraie uniquement si n tends vers l'infini.

Dlzlogic a écrit:La moyenne des carrés est 200012.70

Ce n'est pas la moyenne des carrés, mais leur somme que tu as affichée.

Dlzlogic a écrit:Ecart_type = 0.797

Là, erreur bizarre sur l'écart-type.

Et par ailleurs, tu veux quoi ? montrer que la théorie est fausse ?

Sur ton exemple, on a bien l'égalité entre
la variance V de ta liste et
la différence entre la moyenne des carrés C et le carré de la moyenne M².

Code:

#Moyenne des valeurs
m := add(i, i=L)/nops(L);
                        m := 100.002700000000
#Moyenne des carrés
c := add(i^2, i=L)/nops(L);
                        c := 10000.6399992000
#Variance de la liste
v := add((i-m)^2, i=L)/nops(L);
                        v := .0999919100000000
#Ecart-type de la liste
s := v^0.5 ;
                        s := .316214974344986
#Formule de Koenig
evalb( v = c - m^2 );
                                 true


OK, cela n'a rien à voir ton affirmation fausse << formule valable seulement quand n tend vers l'infini >> :
les erreurs de calculs numériques sont un autre problème : plus n augmente, plus les erreurs augmentent.
Certaines formules sont numériquement moins stables que d'autres, c'est vrai.
Certaines formules sont plus coûteuses en temps que d'autres, aussi.

OK, maintenant on peut revenir sur ton premier message aussi.

Dlzlogic a écrit:Quant à la question "est-ce que les cachets sont surdosés ?", la réponse est OUI, sans calculs, puisque la moyenne sur 100 cachet est 75.2 pour 75.0 µg prévus.  

Tu as calculé la moyenne sur l'échantillon ( 75.2 µg ).  Tu crois vraiment qu'on demande uniquement de faire un simple calcul comme celui-là ?
La question est de savoir si le lot (auquel appartient l'échantillon testé) est sur-dosé. Pas l'échantillon connu, mais le lot inconnu !

On ne connait pas la moyenne du lot, il faut donc l'estimer et voir avec quelle probabilité on est > 75. Tout le problème est là.

Tu auras remarqué que l'énoncé parle de la loi normale (non pas comme un théorème, évidemment), mais comme une loi-de-probabilité définie par deux paramètres.

C'est là ou tu te trompes : comment supposer que la loi de probabilité est bien la loi normale, pourquoi le supposerait-on ? En fait, c'est toute notre discussion depuis plus de 10 ans, l'énoncé aurait dû dire "on rappelle que dans ce type de mesure c'est la loi normale qui s'applique". Il n'y a rien à supposer du tout.

C'est là où tu te trompes. On t'as dis que la loi normale était souvent un bon modèle pour les problèmes qui t'intéressent, tu en déduis qu'elle est valable dans tous les cas.
Personne ne conteste que la loi normale est un bon modèle pour tout plein de situations, ce que l'on peut entre autre justifier par le TCL (quand il s'agit d'une somme d'une
grand nombre de facteurs globalement indépendants).

Si au lieu de mesurer des tailles de cachet on mesurait des durées de vie d'atome ce serait naturellement la loi exponentielle qui s'applique.

Pour pouvoir faire l'exercice mathématique il faut faire l'hypothèse que les variations suivent une loi normale.
Cette hypothèse est parfaitement raisonnable, mais elle n'en reste pas moins une hypothèse.

Un cas où l'hypothèse ne serait pas vérifié :
supposons que le le produit soit injecté en deux doses, et qu'une fois sur 10 environ l'une des deux doses se bouche et n'est pas injecté.
Alors on aura une distribution qui est 0 1 fois sur 100, 37.5 18 fois sur 100, et 75 81 fois sur 100. On peut intégrer les petites variations en plus, et on aura une distribution qui est très loin d'une loi normale:
elle aura 3 pic, de tailles différentes.

Bien entendu, soit tu décideras de ne pas lire, soit tu diras que je n'apporte rien, mais en aucun cas tu n'essaieras de comprendre. Tu préfèreras répéter que l'énoncé à tort, que toi tu sais, tu as décrété que c'était Gaussien et qu'il n'y avait pas besoin de faire l'hypothèse. On a l'habitude.

Bonjour

Dlzlogic a écrit:Donc, en gros, l'écart-type sur la moyenne est égale à l'écart-type sur l'échantillon divisé par 10, puisqu'il y a 100 cachets analysés.

oui, c'est bien cela :
"l'écart-type sur la (variable aléatoire) moyenne" est approché par celui de l'échantillon divisé par 10 comme tu le dis,
donc l'écart-type de la moyenne est  0.378 µg (ce n'est là aussi qu'une estimation), comme tu l'as dit sur ton premier message.

Ainsi, on peut obtenir un intervalle de confiance à 95% (ou 68% si tu préfères) sur la moyenne réelle du lot, intervalle qui est : ....
Et là, il est difficile de conclure que le lot est forcément surdosé (alors que tu as répondu << OUI évidemment car ... >>).

Dlzlogic a écrit:

Fun a écrit:Tu auras remarqué que l'énoncé parle de la loi normale (non pas comme un théorème, évidemment), mais comme une loi-de-probabilité définie par deux paramètres.

C'est là ou tu te trompes : comment supposer que la loi de probabilité est bien la loi normale, pourquoi le supposerait-on ? En fait, c'est toute notre discussion depuis plus de 10 ans, l'énoncé aurait dû dire "on rappelle que dans ce type de mesure c'est la loi normale qui s'applique". Il n'y a rien à supposer du tout.  

Comme je disais, l'énoncé parle de la loi normale , et même l'étudiant

-->  le dosage en ug d'un cachet est une variable aléatoire que l'on suppose suivre une loi Normale,
--> X̅=1/100 Σ(n=100 et i=1) suit la loi Normale N(75; σ²/100)

On remarque bien ici les deux paramètres...  Bref, ce que je dis est confirmé, il suffit de lire !

Dlzlogic a écrit:PS le but des maths n'est pas d'imaginer des situations invraisemblables ou trouver des contre-exemples, mais d'apporter des outils à ceux qui en ont besoin.

Sérieusement, tu ferais mieux de parler de ton métier : le monde des mathématiques t'est visiblement inconnu (comme pour la plupart des gens).
Contrairement à ce que tu affirmes en tant que non-connaisseur,
les maths ne se limitent pas apporter des outils à ceux qui en ont besoin, loin de là,
l'activité mathématique va bien plus loin, plus loin que ce que tu peux imaginer (en géométrie, en théorie des nombres, en algèbre par exemple)
Et c'est normal que tu ne saches pas car tu n'as pas eu de formation mathématique poussée :
la tienne s'est limitée à tes besoins pour ton métier (et c'est normal !! c'est comme ça dans toutes les formations professionnelles).

Encore une fois, tu as au moins deux siècles de retard, donc ne t'emballe pas...
(je dirais même qu'une majorité des gens en France a 1000 ans de retard en maths, avec un niveau collège).

D'autre part, comment peux-tu imaginer que le calculateur (le matheux) "suppose" une loi ?

Toujours les mêmes incompréhension de ta part sur ce qu'est le processus scientifique.

Ici on est dans le cadre d'un exercice, dont le but est de pouvoir faire des calculs qui ont un sens.
Pour que ces calculs ait un sens il faut faire une hypothèse sur la loi de probabilité (ici Gaussienne).

Dans la vraie vie le scientifique qui veut dire quelque chose devra d'abord se demander quelle est la loi suivie par le dosage.
Vu le sujet on pense pouvoir modéliser le dosage par une loi normale, et on vérifieras cela sur les données
(au moins graphiquement, à défaut d'un test de normalité plus poussé).

Tu peux chercher toutes les situations de contrôle de qualité, au sens le plus large, toutes sont basées sur la loi normale.
Si tu trouves une exception, c'est à étudier dans le détail.

Je viens de te donner un exemple où ce n'est pas le cas. Il est imaginaire mais peut très bien se trouver dans la réalité.

D'ailleurs on peut trouver une thèse récente sur le sujet https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00535668/document
du controle de qualité industriel justement dans le cadre non gaussien.
Je cite p2
"Presque toutes les démarches existantes à l’heure actuelle dans le domaine du
contrôle statistique de processus sont basées sur l’hypothèse de normalité des caractéristiques
contrôlées, alors que dans bon nombre de situations industrielles ce n’est pas toujours le cas
(l’inspection de certaines caractéristiques géométriques des pièces mécaniques, les mesures de
la rugosité, concentricité ou coaxialité, la durée de vie de composants électroniques, le suivi
d’une caractéristique au caractère continu, comme par exemple la concentration d’une
substance chimique, les mesures de positions pour des systèmes asservis, par exemple le
positionnement de la pante de lancement de missiles dans l’aéronautique, etc.)"

Je t'ai déjà expliqué le cas de la mort d'atomes, le problème n'est pas différent, mais il est à deux niveaux. C'est embêtant que tu n'aies pas compris.

Si il est différent. C'est embêtant que tu ne saches pas faire la différence entre une mesure aléatoire (la concentration dans 1 cachet),
et la moyenne de plusieurs mesures (la concentration moyenne dans 100 cachets).

i ton hypothèse d'injection en 2 doses était à envisager, un simple contrôle de normalité, élémentaire étant donné les moyens dont on dispose, aurait détecté la faute.

Ce n'est pas une "faute" c'est la réalité. Toi tu décides que cela ne peut pas se produire, qu'il n'y a pas d'hypothèse à faire.
Le mathématicien, qui ne fait pas "comme il veut", sait qu'il s'agit d'une hypothèse, a priori raisonnable, mais à vérifier avant d'utiliser les conclusions.

PS le but des maths n'est pas d'imaginer des situations invraisemblables ou trouver des contre-exemples, mais d'apporter des outils à ceux qui en ont besoin

Tu ne sais pas vraiment à quoi servent les mathématiques...
Mais en l'occurrence les contre-exemples servent à comprendre l'utilité des hypothèses faites pour obtenir un résultat pour
éviter de généraliser à tort et à travers comme tu aimes tant le faire.

Et ici l'exercice consite bien à apporter l'outil à ceux qui en ont besoin, mais en ayant conscience de ses règles d'utilisation.

l est certain que le contrôle de normalité d'une série d'observations est un outil fondamental.

Ben justement c'est ce que fait l'exercice : il se place en aval du controle de normalité (en supposant que la concentration suis une loi normale).
C'est toi qui prétends qu'il n'y a pas besoin d'hypothèse, que c'est toujours ainsi. (Et il y a une thèse de 2008 pour te prouver le contraire).

dlzlogic a écrit:Il n'y a rien à supposer du tout.  

dlzlogic a écrit:Ca veut dire "il n'y a rien à supposer du tout, la loi de probabilité EST la loi normale".  

il serait peut-être bon que tu apprennes à comprendre ce que tu lis dans un texte mathématique, en particulier ce qu'est une hypothèse et une conclusion. Fais un effort de lecture !

ENONCE DE L' EXERCICE a écrit:Il peut exister de petites variations d'un cachet à l'autre, ce qui fait que le dosage en ug d'un cachet est une variable aléatoire que l'on suppose suivre une loi Normale.

Dans tout raisonnement mathématique, il y a forcément des hypothèses (qui peuvent être éventuellement axiomatiques) pour arriver à des conclusions.

dlzlogic a écrit:Bon, c'est comme d'habitudes, tes interventions n'ont qu'un seul but : me contredire.

Comme à ton habitude, dès ton premier message, tu affirmes comme vérité des trucs mathématiquement faux (sur la formule de Koenig, sur l'exercice lui-même), je n'y peux rien !
Pourquoi n'essaies-tu pas de dire des trucs vrais ?? ...sur lesquels tu as fini par être d'accord finalement.

Ben non, justement, il n'y a pas de contrôle de normalité, puisque les observations sont utilisées en bloc et non en détail.

L'énoncé mathématique suppose une distribution normale. Pour que le résultat ai du sens il faut avoir fait un controle de normalité.

L'énoncé aurait pu dire "un contrôle de cohérence a été réalisé et on rappelle que la loi de probabilité des écarts à la moyenne est le loi normale."

"le dosage en ug d'un cachet est une variable aléatoire que l'on suppose suivre une loi Normale"

Tu sais, avant de critiquer et de donner comme exemple des études de cas particuliers, il me semble que à ton niveau, il est indispensable de connaitre et de comprendre le cas général.

Le problème est le suivant : tu affirmes que c'est TOUJOURS une distribution normale, qu'il n'y as pas besoin de faire d'hypothèse...
Tu l'as écrit toi-même " Tu peux chercher toutes les situations de contrôle de qualité, au sens le plus large, toutes sont basées sur la loi normale. "

Je te montre que ce n'est pas vrai.

Quand feras-tu la différence entre "c'est souvent le cas", et "c'est toujours le cas" ?
Quand comprendras-tu qu'une hypothèse souvent vérifiée est tout de même une hypothèse ?

Tu sais, avant de critiquer et de donner comme exemple des études de cas particuliers, il me semble que à ton niveau, il est indispensable de connaitre et de comprendre le cas général.

Non seulement je connais le "cas général" mais je sais aussi quel est l'hypothèse faite et pourquoi elle n'est pas toujours vraie.

Et rappelons que c'est toi qui passe ta vie à critiquer les énoncés et formulation des livres...

A ton niveau tu devrais accepter que tu ne connais qu'un cas particulier et arrêter de vouloir le généraliser à tout prix
(et de vouloir corriger ceux qui en savent plus que toi...)

La thèse que tu cites est justement pour but d'étudier des cas particuliers et il précise bien que la cas général est la répartition normale des écarts.

D'ailleurs où est-ce que la thèse dit cela ?
Dans l'extrait que j'ai cité elle dit que c'est l'hypothèse couramment faite mais que "dans bon nombre de situations industrielles ce n’est pas toujours le cas ".

Comme quoi tu as toujours autant de difficulté avec la compréhension de texte.

Dlzlogic a écrit:J'ajouterai que l'écart-type calculé est ~ 0.378, donc plus de 5% sont dosés à plus de (75.2 + 1.96*0.378).  

et cela aussi, c'est mathématiquement très incorrect , car tu fais deux mélanges :
le premier : entre moyenne de l'échantillon (75.2) et moyenne du lot (m inconnue).
le second : entre écart-type de la moyenne sur l'échantillon (0.378) et l'écart-type d'un cachet (s inconnu).
Par ailleurs, ce n'est pas 5% , mais la moitié : 2.5% .

Alors on peut conclure que 2.5% des cachés sont dosés à plus de m + 1.96*s .

Dlzlogic a écrit:Bonjour,
Réf. : https://www.maths-forum.com/superieur/test-student-t242029.html
Je ne comprends pas pourquoi dans l'énoncé, on donne la somme des carrés des poids de produits actifs et pas la liste des 100 valeurs mesurées. Est-ce pour forcer l'étudiant à utiliser la formule de Koënig ?
Quant à la question "est-ce que les cachets du lot sont en moyenne surdosés ?", la réponse est OUI, sans calculs, puisque la moyenne sur 100 cachet est 75.2 pour 75.0 µg prévus.
J'ajouterai que l'écart-type de la variable aléatoire Moyenne sur 100 cachets calculé est ~ 0.378, donc plus de 5% sont dosés à plus de (75.2 + 1.96*0.378).
A mon avis, la formule de Koënig n'est pas applicable pour un nombre de 100.
 

Cela donne une idée de la qualité scientifique de ton premier message.

De plus, il est sous-entendu que le nombre de cachets dans un lot est beaucoup plus grand que 100, sinon c'est une autre histoire.