Démonstration élégante : Théorème de Wiestrass en 7 lignes

Salut,



Source latex :

\text{Soit } h\in C([0,1]), D(h)=\inf\{||h-P||_\infty ; P\in \mathbb R[x]\}
\\\text{Supposons }\exists g\in C([0,1]), D(g)=\epsilon >0
\\\text{alors pour }f(x)=g(x)+g(0)x+g(1)(1-x), D(f)=D(g),f(0)=f(1)
\\\text{On pose }c(x)=\sqrt{x},\text{ alors } D(f\circ c)\geq D(f)=\epsilon
\\\text{Donc }\forall n\in \mathbb N,D(f \circ c^n)\geq \epsilon
\\\text{On a }f\circ c^n \text{ qui converge uniformement vers la constante }f(0)=f(1)
\\\text{Par continuite de }D, D(f(0))\geq \epsilon, \text{ impossible car les constantes sont des fonctions polynomes}

Salut,

Dattier a écrit:\\\text{On pose }c(x)=\sqrt{x},\text{ alors } D(f\circ c)\geq D(f)=\epsilon

pourquoi ?

Dattier a écrit:\\\text{On a }f\circ c^n \text{ qui converge uniformement vers la constante }f(0)=f(1)

pourquoi uniformément ?

Salut,

Étrange tu poses les 2 même questions que GBZM.

https://forum.prepas.org/viewtopic.php?t=76646&start=20#p1028996

Ça n'a rien d'étrange. Ça prouve qu'une démonstration mathématique, ce n'est pas une affaire d'opinion ; ça obéit à des règles précises.
La première question demande une explication, et la deuxième révèle une faille irréparable dans la pseudo-démonstration.
Aurais-tu du mal à reconnaître que tu t'es trompé ?

Cela semble effectivement beaucoup gêner Dattier.
***** message modéré *****

source :

\text{Soit }x\in[0,1], \text{ en appliquant l'inegalite de Bienaime a B(n,x) et en notant }D_n \text{ complementaire de }
\\C_n=\{k\in[0,n],|k-nx|>n^{3/4} \}\text{ alors }|\sum\limits_{k\in C_n} \binom{n}{k}x^k (1-x)^{n-k}|\leq \frac{x(1-x)}{\sqrt{n}}
\\\text{ Soient }f\in C([0,1]),e>0, m=||f||_\infty,\text{ comme elle est uniformement continue, on a :}
\\\exists n\in\mathbb N,\dfrac{2m}{\sqrt{n}}\leq e/4,\forall (x,y)\in[0,1]^2, |x-y|\leq 1/n^{1/4}\text{alors }
|f(x)-f(y)|\leq e/2,
\\\text{d'ou } \forall x \in [0,1],\forall k\in [0,n], \text{ si }|x-k/n|\leq 1/n^{1/4} \text{ alors } |f(x)-f(k/n)|\leq e/2
\\\text{Soit } x\in [0,1], I_n=|f(x)-\sum\limits_{k=0}^n f(k/n)\binom{n}{k}x^k (1-x)^{n-k}|=|f(x)-\sum\limits_{k=0}^nf(k/n)L_{k,n}(x))|
\\I_n \leq \sum\limits_{k\in D_n} |f(x)-f(k/n)|L_{k,n}(x)+\sum\limits_{k\in C_n}|f(x)-f(k/n)|L_{k,n}(x)\leq e/2+e/4