Méthode des moindres carrées et minimisation de la norme 2

Salut,

J'aimerais répondre à Léon sur le fait qu'implicitement je ne serais pas d'accord avec Dlzlogic...

Non, implicitement je suis d'accord avec Dlzlogic et Léon, et les méthodes que tous les 2 utilisent sont apparentées.


On veut approcher la fonction sinus par un polynôme P de degrés 7, la question comment procédée, ou quelle notion d'écart va-t-on utiliser pour le faire.

Dlzlogic propose de choisir des points {a_1,...,a_n} sur l'intervalle (par exemple uniformément répartie) et l'écart que l'on cherche à minimiser c'est 1/n*somme((P(a_i)-sin(a_i))^2,i=1...n) : par la méthode des moindre carrées, là où Léon propose de minimser la limite de la même somme quand le nombre n tend vers l'infini, c'est à dire intégrale((P(t)-sin(t))^2, t sur I)


PS : On peut utiliser ce point de vue pour l'optimisation convexe et la norme sup.


Cordialement.

Salut Dattier,
Là, je ne sais pas trop quoi répondre.
Si on veut trouver un polynôme pour évaluer un sinus, on prend les premiers termes du développement en série et on a fini.
Si on veut calculer l'erreur maximale commise, il suffit de calculer la valeur du terme suivant, les autres sont négligeables, pour la plus grande valeur de sinus, c'est à dite 1. Par chance ce terme là est positif, donc on aura toujours un sinus inférieur à 1.
A part ça, je n'ai pas d'avis.

Salut,

Dattier a écrit:
Dlzlogic propose de choisir des points {a_1,...,a_n} sur l'intervalle (par exemple uniformément répartie) et l'écart que l'on cherche à minimiser c'est 1/n*somme((P(a_i)-sin(a_i))^2,i=1...n) : par la méthode des moindre carrées, là où Léon propose de minimser la limite de la même somme quand le nombre n tend vers l'infini, c'est à dire intégrale((P(t)-sin(t))^2, t sur I)

et oui, je suis bien d'accord.
Et pour montrer que, bien d'apparences proches, les résultats sont à comparer.

Dattier a écrit:PS : On peut utiliser ce point de vue pour l'optimisation convexe et la norme sup.

absolument, il y a plein de choses à étudier. Il n'y a pas qu' UNE SEULE manière d'aborder le problème d'approximation, et d'obtenir une solution.
(Et cela n'a rien à voir avec les probabilités...)

Dlzlogic a écrit:Si on veut trouver un polynôme pour évaluer un sinus, on prend les premiers termes du développement en série et on a fini.

justement, il est parfaitement connu que c'est une très mauvaise idée dès qu'on s'éloigne sensiblement du point où on développe en série...
C'était justement tout l'objet de la discussion que tu as fermée.
Pour trouver un bon polynôme, on s'y prend autrement, sur tout un intervalle, pas uniquement en un seul point !

Bonjour,
Suite à certaines discussions, il me parait intéressant d'évoquer la notion de modèle. C'est sans aucun rapport avec le calcul de la ligne trigonométrique connue sous le nom de "sinus", mais c'est en rapport direct avec la notions d'unicité de la formule adoptée.
Le qualificatif "adopté" n'est pas choisi au hasard, on peut le rapprocher du terme souvent employé "espérance" ou "maximum de vraisemblance". Toutes ces expressions ne dépendent pas du choix personnel du calculateur, mais de méthodes parfaitement mises au point depuis très longtemps, utilisées dans des quantités de contextes et parfaitement justifiées.

Quitte à me répéter, je vais prendre l'exemple du ballon que l'on lance et qui retombe. Supposons que l'on fasse un très grand nombre de fois l'expérience suivante : un sportif propulse un ballon, il y a les conditions initiales qui varient et la trajectoire suivie par le ballon, que l'on mesure et que l'on note. Tout lycéen sait que quelles que soient les conditions initiales la trajectoire du ballon est une parabole. C'est un exemple très simple de modèle, il a l'avantage d'être rigoureux, puisque la formule utilisée est démontrée rigoureusement.
Il n'en est pas toujours ainsi et c'est le but de ce message.

Imaginons, et c'est le cas général, qu'on ait une liste de mesures correspondant à des observations. L'intuition nous a permis d'isoler les éléments directement mesurables qui contribuent à produire le résultat étudié. Dans le cas simple, le modèle sera représenté par une simple formule à plusieurs variables. Cette formule sera calculée par les méthodes connues de régression.
Question : peut-on imaginer qu'étant donné un même ensemble de données, on puisse avoir le choix du résultat, toute chose égale par ailleurs ? On exclue naturellement des formules simplifiées, ce qui constituerait un autre sujet de discussion. Suivant quel principe adopte-t-on cette formule ? Ma réponse est naturellement : parce que c'est celle qui donne le résultat le plus probable.