Ben et ses chaussettes.

Bonjour,
Réf. : https://www.maths-forum.com/enigmes/les-paires-chaussettes-t263345.html
Cette question est bizarre. Partant du principe que la théorie des probabilités n'a d'application et d'intérêt que dans le monde réel, je ne vois pas l'utilité de se poser ce genre de question.
Mais puisqu'elle est posée, je vais essayer d'y répondre.
La probabilité est le rapport du nombre de cas favorable sur le nombre de cas possibles.
Le nombre de cas possible tend vers l'infini. Le nombre de cas favorables est dénombrable.
J'en déduis que la probabilité qu'il n'y ait pas deux chaussettes de la même paire côte à côte sur la même corde tend vers 1, c'est à dire "presque sûr".

Par ailleurs, je sais que Beagle et Ben s'entendent bien et que d'autre part, Ben m'a toujours considéré comme hérétique, j'attends avec impatience les réactions de l'un et de l'autre.

Je suis content que Ben314 soit revenu, c'est qu'il va bien au moins.
Mais je ne suis plus membre de maths-forum.

Pour la probabilité, c'est le nombre de:
cas favorables / (cas favorables+ cas défavorables)
donc tu ne peux pas prendre un seul membre infini, c'est un problème de proportion, et de dire où va cette proportion quand N tend vers l'infini.

Il me semble que c'est du dénombrement basé sur Un cas favorables qui donnent . Un+1 cas favorables
et donc il faut voir où va cette suite
Un+1 reprend le Un et remet la n+1 paire dedans sauf cote cote
et Un+1 reprend les Un qui ont échoué sur une seule paire, et il la sépare
et on peut reprendre le quasi Un qui ont échoué sur deux paires et on les sépare avec les deux chaussettes n+1

Je vois un truc du genre si j'avais a le faire.
Et je ne sais pas si je saurais faire.

Moins glorieux, tu fais les calculs avec 1 , 2 ,3 4, 5 paires
tu regardes la suite que cela donne dans la banque de donnée des suites,
cela m'avait épaté ce truc.
Je sais pas si cela rendrait quelque chose.
Quand cela marche c'est pas trop glorieux je trouve.

Oui, je comprends ton raisonnement.
Attendons les réactions de Ben et ses copains.
Demain, je ferai le calcul avec 100 paires de chaussettes.
Si j'ai le courage le ferai avec 10 paires, 20 paires etc. On verra bien la progression. Je parie pour "tendre vers 1".

Ben314 et Doraki en mode réflexion, c'est que c'est déjà un bon niveau de problème!
Ravi de voir les vieux cadors de maths-forum!

Donc Doraki est à 0,6

Salut Beagle,
Ta définition de probabilité est bizarre. Arithmétiquement c'est pareil, mais le préfère celle de Laplace.
Ca m'intéresserait de savoir où ru l'as trouvée.

Concernant le problème posé, j'ai fait la simulation. Ca m'intéresserait que Gbzm donne son avis.

Lorsque équiprobabilité,
cas favorables/ cas totaux possibles est classique, non?

les cas totaux se divisent en favorables et non favorables
intersection nulle (donc pas de mots comptent double) et la réunion donne la totalité
rien de bizarre donc.

Mais intuitivement 40% encore de possibilité de cote cote lorsque N est grand c'est vrai que sans avoir mis le nez dedans (sans manipulation de l'exo)
cela surprend.

0.37 pour Ben314 ?

Le nombre de cas possible se calcule par une permutation N!. C'est à dire, si N = 100 chaussettes, total des possibilités = 1 x 2 x 3 x ... x 100.
On a une formule approchée pour calculer cela, la formule de Stirling.

oui, si tu comptes
en tenant compte de pieds gauche pieds droit pour le total et aussi pour les cas favorables alors

ex :ABAB
tu le compte a partir de
A1B1A2B2
A1B2A2B1
A2B1A1B2
A2B2A1B1

donc 24 cas totaux de A1A2B1B2 par les permuations

mais seulement 6 cas sans ordre:
AABB
ABAB
ABBA
BAAB
BABA
BBAA

Personnellement je ne distingue pas la chaussette gauche de la chaussette droite. J'ai une paire qui comporte un truc sur la chaussette gauche, ce qui fait que j'ai une probabilité de 50% de mettre mes chaussettes à l'envers.

Pour l'exercice, on ne distingue pas la chaussette gauche de la chaussette droite. C'est une bonne idée parce que cette marque de chaussettes est assez peu connue.
Il faut bien faire attention que l'exercice demande la probabilité de ne pas avoir de paire côte à côte, et non pas le contraire. Comme nos cadors trouvent des probas de l'ordre de 40%, ça peut prêter à confusion.

Ce type de question est intéressant. Dans le cas de jeu, type "solitaire", on peut se poser la question de savoir si les cartes sont tirées au hasard ou pas. Autrement dit, quelle est la probabilité qu'y ait deux cartes consécutives de la même valeur (deux sept), de la même valeur et de la même couleur (deux sept noirs) ?

Pour qu'on soit bien d'accord sur l'énoncé.
On a N paires de chaussettes de couleur différente.
On pend les chaussettes au hasard, une à la fois, les une après les autres. Le cas "les deux chaussettes de la même paire sont côte à côte" arrive si il se trouve que l'on pend l'une après l'autre les deux chaussettes de la même paire.
La question posée est "probabilité de ne pas avoir les deux chaussettes de la même paire côte à côte".

Je comprends le raisonnement de nos amis. La question posée est la probabilité d'avoir 0 paire groupées.  la probabilité contraire est "avoir au moins une paire groupée". Je vais refaire ma simulation dans ce sens.

Je suis à 9% pour 1000 paires.

Bonsoir,
Oui, c'est curieux cet exercice.
Sauf erreur, la question posée est "quelle est la probabilité de trouver 0 paire côte à côte".
On peut se dire que étant donné que le nombre de paires de chaussettes est infini, toutes les situations sur la corde à linge seront satisfaites, il y aura forcément des paires côte à côté.
Donc la solution sera zéro, presque surement.
Cela se confirme par les simulations puisque la probabilité de 0 paire démarre à 9% pour 1000 paires et décroit en augmentant le nombre de paires.
Je suis un peu déçu des réactions, puisque le fait que le nombre de paires tendant vers l'infini n'est pas évoqué.
Ce qui me perturbe c'est le style de l'énoncé "probabilité que n'est pas ..." J'ai l'habitude de calculer des probabilité qu'une chose arrive, mais pas qu'une chose n'arrive pas.

salut Pierre, tu t'es gourré dans ton programme, ou bien ton programme ne répond pas a la meme uestion.

Ben314 et Doraki trouvent le meme résultat par le calcul réel, donc pas par simultion informatique (mais il serait heureux ue les simulations confirment le resultat démontré mathématiquement

donc comment les probas évoluent?
Ben314:
p(n+1) = p(n) + 1/(4n²-1) p(n-1)

n=3 on cherche p(4)
1/(4*3²-1)= 1/35
p(4) = p(3) + 1/35*p(2)
p(4)=12/35 comme donné par Doraki

bref la proba augmente depuis 1/3 pour n=2
d'une fraction de n-1
cette fraction de p(n-1) devient de plus en plus faible , tend vers 0
donc p(n+1) ne bouge quasi plus a un certain moment.

Salut Beagle,
J'ai relu l'énoncé plusieurs fois.
Donc je me pose la question : "comment peut-on imaginer que sur une infinité de chaussettes suspendues, il n'y ait pas (40% des cas) deux chaussettes de la même paire côte à côte ?
D'ailleurs, puisque le nombre de chaussettes est infini, il n'y a qu'une seule situation possible où toutes les configurations sont présentes.

C'est en cela que je ne comprends par l'exercice proposé. Si on parle de chaussettes, alors on parle de probabilités du monde réel et l'exercice n'a pas vraiment de sens, si il ne s'agit pas de chaussettes mais de calcul de puissance de (-1), alors, il faudrait définir les règles du jeu avant de poser la question.
Dans l'énoncé : "un nombre N tendant vers l'infini de paires de chaussettes" me semble parfaitement clair.
Que cela donnerait-il si on avait 1000 paires, 5000 paires, 9000 paires ?
Le fait qu'ils soient tous les deux d'accord prouve qu'ils utilisent la même règle du jeu, mais rien d'autre.

Interprétation possible : soit un nombre N de paires de chaussettes, quelle est la probabilité, quelque soit N, de ne trouver aucune paire côte à côte.
C'est peut-être ça l'explication. Je vais réfléchir dans ce sens. Mais cela pose un problème : N est aléatoire entre 0 et oo, difficile à exprimer, ça, je ne sais pas faire.

Salut Pierre, si tu veux bien développer les deux problèmes différents que tu vois.
Je n'arrive a distinguer u'une situation.

N paires de chaussettes ont été mélangées brassées en machine à laver.
On les sort alors pour les étendre sans regarder qui va avec qui, cela arrive comme cela au hasard.
Donc toutes les permutations sont possibles,
d'où le factoriel n cas possibles si on distingue les deux chaussettes.

Là dedans on regarde si deux chaussettes sont cote a cote.

Si dans toute la permutation pi il ya deux cotes à cotes , c'est perdu, c'est 0 cas favorable pour ce pi là
Si permutation pj il n'y a aucune paire cote cote, c'est gagné, c'est UN cas favorable, c'est +1 cas favorable.

Oui, j'aimerais bien que l'on ou l'autre décrive l'algorithme d'une simulation pour vérification.
Pour 100 expériences où N paires est compris entre 1 et 1000, tiré aléatoirement, le nombre de zéro paires est 6, 7 ou 8.
Comme ce nombre de zéros a tendance à décroitre pour N grand, j'imagine mal comment on peut avoir une probabilité de 40% de zéro paires.
Il y a certainement un truc qui m'échappe, mais j'aimerais bien savoir quoi.

Nos messages se sont croisés.
Oui, ton analyse est bonne.
Ce que j'ai compris aujourd'hui, c'est que N paires de chaussettes est aléatoire entre 0 et oo et non pas toujours égal à oo.
Je viens de refaire une simulation dans ce sens et c'est pas différent d'hier quand je fixais N à 100, puis 500 etc jusqu'à 9000.

tu devrais commencer plus petit.
Pour n= 5 quel % tu trouves, on a n=4 et n=3 donnés par doraki on peut trouver n=5 facielemnt.

on commence à 1/3 donc 0.33
avec 12/35 on est à 0.34
donc les 0.37 on y est assez vite.
admettons on prend deux chiffres apres virgule,si on doit monter à 0.37, cela va stagner dès le n qui permet 0.365.
Il ne doit pas etre si loin que cela.
Donc inutile de faire des 1000 chaussettes à mon avis.

Fixe un n donné tu fais par tes simulations frequence observée
Tu fixes n+10, frequence observée, tu vas bien voir la courbe de croissance avec les dejà premiers éléments connus.

Je viens de faire 2 essais (2 fois 100 machines) pour N entre 1 et 20.
Il y a 15 et 16 zéros, donc 15.5%.
Pour N de 1 à 50 paires, je suis déjà à 9%, ce qui n'est pas très loin du résultat définitif.

on commence à 1/3 donc 0.33
avec 12/35 on est à 0.34
donc les 0.37 on y est assez vite.

Voila 10 essais pour 4 paires et 5 paires

Code:


Simulation de paires de chaussettes
BAABCC  3 2
ACBCAB  3 0
ABCCBA  3 1
ABABCC  3 1
CABCAB  3 0
BBCAAC  3 2
BACBAC  3 0
BACABC  3 0
CBBCAA  3 2
AABCCB  3 2

Simulation de paires de chaussettes
BCCBDAAD  4 2
ACCBBDDA  4 3
ABDADBCC  4 1
BBCDDACA  4 2
BBDCDACA  4 1
DCAADCBB  4 2
DAADBBCC  4 3
CCDBDAAB  4 2
DBABDACC  4 1
BBCCDDAA  4 4

Simulation de paires de chaussettes
EBCDBCEDAA  5 1
ADBCECBEDA  5 0
CCBABDEEDA  5 2
EBCBAAECDD  5 2
EAEDBABCCD  5 1
EDAAEDBCBC  5 1
EEDBDBCACA  5 1
ABBCEAECDD  5 2
CACEABBDED  5 1
BCDACBAEDE  5 0




Qu'en penses-tu ? (je sais, il manque une chaussette°.

je ne comprends pas ce qu'est un essai entre 1 et 20

tu prends un n paire de chaussettes et là tu lances 100 pour obtenir une frequence observée sur ton n choisi.

et c'est un problème de paires de chaussettes, je ne vois pas pourquoi tu mets des exemples avec des chaussettes manquantes,

je n'ai rien à la maison pour balancer du random facile a examiner,
je ferais peut-etre demain au bureau si c'est encore nécessaire

10 random de séquence 1à8
c'est leger 10, mais déjà en choisissant au hasard les chaussettes dedans je suis tombé sur 4 sur 10
j'imagine qu'on peut tomber sur 3, ou autre mais pour moi c'est déjà dans normes

4 2 5 6 7 3 1 8
8 2 6 5 3 1 7 4
1 6 3 7 8 5 4 2
2 8 4 3 1 7 5 6
1 7 2 5 8 4 6 3
8 4 2 6 5 7 3 1
6 7 8 4 1 5 3 2
1 6 5 7 2 4 8 3
4 2 8 7 1 5 3 6
4 6 2 3 5 8 1 7

j'ai pris
A=(1,6)
B=(2,4)
3et 8 pour C
5et 7 pour D

pas de cote cote pour les sequences 2,5,7,10 sauf erreur

Un peu difficile à lire, ton calcul.
Bon, pour 4 paires, tu trouves 40% sur 1 essai de 10 tirages.
Difficile d'en tirer une conclusion.
A demain.

Pierre, mon petit essai, c'est que j'ai piqué des sequences aléatoires de 1 à 8 sur le web
sur deux sites il les donne une par une

néanmoins sur 10 on trouve un résultat cohérent avec l'attendu.

Mais si tu trouves des resultats différents , c'est que tu fais un exo différent ou que ton programme n'est pas correct.
Donc que fais-tu tourner?

Je te répète.
Tu fixes un n paires de chaussettes donné
et là tu lances des séries pour voir à quelle fréquence sont les series sans cote cote.

Dis ce que tu fais de théorique avant de donner tes résultats.

PS si n est nombre de paires de chaussettes bien sur que permutations totales sont 2n! et non pas n! comme lorsqiue je paralis des n chaussettes totales