Initiation à la loi des grands nombres

Bonsoir,
Voila une question intéressante :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1810600
Malheureusement elle est tournée à la rigolade.
La loi des grands nombres dite aussi premier théorème de Bernoulli est fondamentale en probabilités et par conséquent en statistique.
L'expression "sauf exception" prévient tout contre-exemple "tordu" qu'un contestataire pourrait imaginer. En fait, c'est toujours vrai.
Il semblerait que la citation :

Version vulgarisée de la loi des grands nombres :
"lorsque n est grand, sauf exception, la fréquence observée est proche de la probabilité".  

soit issue de je ne sais quel document.
Et surtout, l'expression "est proche de" devrait être "tend vers".  
Personnellement, je n'imagine pas d'exception dans le monde observable, s'il n'y a ni faute ni tricherie.
Il est un peu dommage que ce professeur ait demandé des exemples d'exception, alors que le plus important est de donner des exemples de vérification.

Bonjour,
Les profs ont pris le sujet à la rigolade, c'est dommage, mais pas dramatique.
Par contre Sylviel l'a pris sérieusement, et comme il n'a aucune idée des notions élémentaires des probabilités, c'est la catastrophe. Mais heureusement, il dit de telles énormités (ex "on dit que n est grand, donc n est fixé" ou " |p_emp - p_th| < 0.05 (sauf erreur ça correspond à 3 écart-types) ), que n'importe quel lecteur se rendra compte que Sylviel est un touriste.

Bon, Sylviel a décidé de faire sa profession de foi. Mais comme il est de mauvaise foi, c'est tout de même assez ennuyeux. Espérons que des profs oseront rectifier certaines choses. Je vais noter et corriger les plus énormes.
https://www.maths-forum.com/cafe-mathematique/loi-des-grands-nombres-tcl-illustration-t207521.html
"Pour paraphraser une vidéo avec des chats belges : il s'agit d'une boîte qui produit un nombre au hasard. "
Là il fait allusion à cette vidéo :
https://www.sciencepresse.qc.ca/blogue/2017/03/14/theoreme-central-limite-explique-chat

"Mathématiquement cela signifie que l'on considère une suite de variable aléatoire indépendantes et identiquement distribuées (noté va iid). "
Là, il faut naturellement lire "suite de valeurs indépendantes et identiquement distribuées d'une variable aléatoire". C'est à dire, on a une seule variable qui comme toutes les variables en mathématiques peut prendre plusieurs valeurs. On dit généralement qu'une variable aléatoire est une fonction. Attention, on peut lire quelques fois "suite de variables aléatoires". Remarquons l'accord au pluriel. Cette écriture n'a pas plus de sens que "suite de variable", sans l'accord au pluriel.
Le terme "échantillon" est assez flou. En fait, c'est une suite, ou plutôt une liste en désordre de résultats. On peut appeler chaque résultat un vecteur, dans un langage volontairement moderne, les probabilités s'intéressent au nombre de fois que tel résultat est sorti. On parle de l'exemple du tirage de dés plus loin.

"Si on dispose d'un échantillon (X1, ... Xn) de taille N, alors sa moyenne empirique est la moyenne (arithmétique) des différentes variables, i.e. : Mn=(X1+X2+ ... Xn)/n"
Naturellement, cette expression n'a de sens que si les Xi sont des nombres. Mn est alors un nombre qui est la moyenne arithmétique des différentes valeurs de la variable. Il n'y a bien-sûr qu'une seule variable X qui prend différentes valeurs.
L'exemple avec le dé à 6 faces, dit "dé de Zanzibar" est très caractéristique. Les 6 faces sont repérées par un petit dessin, en l'occurrence un nombre de taches. Il y a la face N°1, la face N°2 etc., mais sauf au monopoly, la face N°2 ne vaut pas "la face N°1 + 1". Il en résulte que si on veut exprimer la notion de "moyenne" qu'on appelle souvent "espérance", alors la variable X prendre le nombre de fois que sera tiré chacune des faces, et non pas le nombre de taches obtenues. Pour le comprendre, il suffit de replacer la tache de la face N°1 par un 'A', les deux taches de la face N°2 par un 'B' etc., ou tout autre signe distinctif (ex. 9, 10, Valet, Dame, Roi, As).
A suivre.

Suite ...
Le paragraphe "Théorème Central Limite" est assez flou.
Je me limiterai à noter quelques points obscurs. Pour plus de détails sur ces notions fondamentales, on pourra lire : http://www.dlzlogic.com/aides/Notions_de_probabilite.pdf
Il existe une loi normale et une seule. On doit donc employer l'expression "La loi normale". Elle est représentée par la courbe de Gauss dont la fonction est
y=1/racine(2pi) exp(-x²/2). Par un simple changement de variable, toutes les expressions se ramènent à la forme centrée-réduite.

Sylviel a écrit:Reformulation en langage non mathématique pour comprendre :
- si je somme un grand nombre de variables aléatoires indépendantes alors la somme ressemble à une loi normale
- si je moyenne un grand nombre de variables aléatoires indépendantes alors la moyenne ressemble à une loi normale

Ces deux phrases ne veulent pas dire grand-chose. Si on fait des sommes ou des moyennes, il ne peut s'agir que de nombres. Là "variables aléatoires" est au pluriel. Il ne s'agit pas de ressemblance mais de convergence. La formule d'encadrement de Mn n'a pas de sens.