C'est quoi un nombre ?

Bonjour,
Réf. : https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/2335742/un-nombre-cest-quoi
Ce fil, avec de nombreux participants est très important, sur le fond.
Ca me rappelle une question posée : "Un berger sort ses moutons de la bergerie. Le soir, quand il les rentre, il veut s'assurer qu'il n'y en a pas qui se sont égarés en route. Malheureusement, il ne sait pas compter, alors comment fait-il ? Solution, pour chaque mouton qui sort, il déplace une boule de son boulier, de la gauche vers la droite. Le soir il fait l'opération inverse au moment de la rentrée."
Ben, c'est pour ça qu'on a inventé les nombres. Pour les alphabets, c'est la même chose. C'est quoi une lettre ? Ben un signe. Avec un certain nombre de ces signes, on peut former des mots et, avec un certain nombre de mots on peut former des phrases. Quelques-uns vont même jusqu'à écrire des livres.

Je ne cherche pas à paraphraser le fil cité, mais j'observe de plus en plus souvent qu'on se demande quelle opération effectuer avant de décrire soigneusement ce qu'on veut faire. Le dernier exemple en date est la question concernant la "corrélation entre deux séries de valeurs". Cela rappelle l'élève de primaire qui demande "je dois faire une multiplication ou une division ?".    

Il semble qu'on a inventé un nouveau formaliste en mathématique. Je n'ai pas trouvé d'autre terme que "formalisme", je que je veux dire qu'au lieu d'employer des termes français on utilise des signes (cf. "il existe", "quelque soit", "appartient à" etc.) là c'est assez simple. Mais ça se complique. En logique de base, il y a 3 opérateurs : AND, OR, NOT que j'ai écrits volontairement en anglais. C'est homogène à "multiplication", "addition" et "négation" ainsi qu'à "intersection", "union", "complément" et d'autres. Pourtant il s'agit strictement de la même notion. On a inventé des signes différents suivant la spécialité, et il y a à remarquer que le même signe 'U' et le même la tête en bas, a son correspondant dans une autre spécialité 'V' et le même la tête en bas. En d'autre termes la même notion, suivant le chapitre du cours de maths où elle est utilisée, bénéficie de représentations symboliques différentes.  
Il faut remarquer au passage que l'opposé se trouve aussi : le même terme représente (ou signifie) de notions ou des choses différentes. J'ai tenté d'évoquer ce type de problème en ouvrant des fils de titre "sémantique", sans grand succès.

Pour l'anecdote, il y a mot nouveau inventé par je ne sais qui : "isoligne". Je précise que mon correcteur orthographique le refuse et il a raison, puisqu'il n'a aucun sens, ou plutôt c'est un pléonasme.

Bonjour,
J'ai bien aimé la réponse de Jean Lismonde.

Bonsoir,

Un nombre est un élément dans un monoïde* infini.

* : un monoïde est un ensemble munit d'une l.c.i. associative.

Bonne soirée.

Bonsoir Dattier,
Et bien, je ne suis pas d'accord.
La technique actuelle est de définir des notions élémentaires à partir d'une longue théorie, et si on la détaille depuis le début, je suis persuadé qu'elle repose sur des axiomes artificiels.
Un nombre c'est ce qu'on a trouvé de plus simple pour compter des choses. On a eu besoin d'ajouter des choses, d'en multiplier etc. J'ai un livre de calcul de prix en fonction du nombre d'objets et du prix unitaire.
Bien sûr la notion de nombre est plus ancienne que l'édition de ce livre, mais le problème est le même. C'est un peu comme l'alphabet, il a été inventé pour former des mots.
Le problème de certains matheux est de chercher à justifier certaines choses parfaitement évidentes pour un grand nombre d'utilisateurs. Ce long discours sur la "définition" de nombre est un exemple caractéristique. J'ai bien rigolé quand on a associé "nombre" à "matrice". J'en ai déjà parlé.

Petit souvenir, lors d'un cours d'informatique générale, le professeur a évoqué le sujet "quel est le plus petit élément en informatique". Il nous a expliqué que quand il était jeune il expliquait que c'était le bit. Puis quand il a pris de la maturité il s'est rendu compté que le bit, en lui-même n'avait pas de signification. Donc le plus petit élément était l'octet.
Ce que j'essaye d'exprimer c'est qu'un chiffre ne représente rien, c'est seulement un dessin. Une suite ordonnée de chiffres est un nombre. Il représente quelque-chose s'il est rattaché à un notion précise, par exemple, le prix d'un poisson sur un marché à l'époque de Salluste, à Rome.

[suite]
Je vais prendre un exemple très simple : les théorèmes de base de la géométrie euclidienne. Il s'agit de nombres, tout simplement. Il se trouve que ces nombres représentaient des longueurs. Donc en l'occurrence les nombres étaient rattachés à des longueurs. Ils représentaient simplement de support.

PS. A la lecture des autres messages, il apparait qu'on fait un amalgame généralisé entre nombre, matrice, vecteur, fonction etc.
Décidément, il me semble que les mathématiques actuelles deviennent une leçon d'abstractions, voire d'aberrations.

Bonjour,


@Dlzlogic : je pense que tu te fourvoies, sur ce que sont les maths depuis Euclide.

Encore une fois une théorie mathématique n'est rien d'autre qu'un jeu, qui cherche à rendre compte d'un certain phénomène.

Prends par exemple les axiomes d'Euclide, on cherche à rendre compte de ce qui se passe quand on utilise des outils de géométrie plane.

Et comme dans tout jeu, il n'y a rien de naturel la dedans, on pourrait très bien définir la géométrie euclidienne autrement qu'Euclide, c'est d'ailleurs ce que l'on fait de nos jours (avec le produit scalaire).

Tout comme en changeant légèrement les axiomes d'Euclide on peut définir un nouveau jeu, une nouvelle géométrie...



Tu parles de nombre comme pour évaluer des quantités, mais quelle quantité évalue le nombre i (i^2=-1).



Bonne journée.

Bonjour Dattier,
Les mathématiques ne sont pas un jeu, mais un outil.
Un outil est fait pour servir à quelque-chose. Si l'outil est compliqué à comprendre et/ou à utiliser il faut un long apprentissage. Si on constate au bout de cet apprentissage que cet outil ne sert à rien, on a perdu son temps.
Cela n'empêche pas de faire de la recherche fondamentale : peut-être qu'un jour, on trouvera une utilisation à cet outil.

"Encore une fois une théorie mathématique n'est rien d'autre qu'un jeu, qui cherche à rendre compte d'un certain phénomène."
Ben non, c'est le contraire. On a besoin d'un outil pour résoudre un certain problème, alors on cherche un outil pour le faire.
Sais-tu que la topométrie est l'un des métiers les plus anciens ? Tous les ans, le Nil déborde et envahit les plaines cultivées. Au printemps, à l'époque des semailles, les habitants avaient besoin de retrouver leurs limites il s'adressaient aux géomètres. L'ordre des Géomètres Experts n'existaient pas encore, mais on a inventé la topométrie.

Il y a une exemple très simple d'un outil très compliqué qui a été mis au point en faisant abstraction de tout ce qu'on savait : la théorie des probabilités.
Je rappelle pour mémoire que dans l'axiomatique de K. il n'y a pas la loi normale. Alors, j'ai demandé des exemples d'utilisation de cette fameuse théorie des probabilités qui a permis à Olivier Garet d'écrire des bouquins, pour l'instant je n'en ai eu aucun. La théorie des probabilités est bien cernée, c'est pas en balayant tout d'un revers de la main qu'on fera mieux.

Concernant les nombres, tu poses la bonne question "nombre de quoi", ben c'est justement que l'outil utilisant les nombres a été bien étudié, puisqu'on n'a pas besoin de préciser ce dont il s'agit pour pouvoir l'utiliser. Ton exemple avec i²=-1 est un autre argument. Les "nombres imaginaires" profitent de quelques caractéristiques des nombres.

Réf. : https://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/942466-calcul-de-disance-un-espace-vectoriel-euclidien-existe-t-construction.html
Ce fil est une illustration de ce dont on parle.
Voilà comme je le comprends, mais cela n'engage que moi.
1- On dispose d'un certain nombre d'outils qui sont les axiomes d'Euclide et qui marchent très bien.
2- On met au point la théorie des ensembles. Elle est très intéressante, mais à part faire un certain nombre d'exercices, on voit pas trop à quoi ça pourrait servir.
3- Ah, mais si, on va rebâtir la théorie des études en 2D ! Alors, on redéfini le "vecteur" etc. mais là je ne suis qu'en observateur, en particulier un vecteur, ce n'est plus ce que c'était autrefois. par exemple on arrive à des choses étonnantes telles que :
Soient u et v deux vecteurs, alors ||u+v||² = ||u||²+||v||²

@ Dattier,
Oui, avec ce que tu me dis, je comprends mieux certaines réactions de certains matheux. La remarque que je fais de temps en temps "en maths, c'est comme on veux", est donc tout à fait vérifiée.
Donc, le principe est celui-là : on établit une théorie, soit de toute pièce, soit comme une variante d'une théorie existante et, éventuellement et si on a le temps, on vérifie si c'est compatible avec le réel. Comme le réel est compliqué, plus cette "nouvelle théorie" est compliquée, plus on a de chances qu'un tiers ait du mal à trouver un contre-exemple.
Je sais que j'exagère un peu, mais en fait pas tellement. Voici des "preuves" :
L'utilisation des fameux paradoxes en mathématiques. Si ce que je viens de dire était complètement faux, il serait impossible, par définition, qu'il y ait des paradoxes, or la littérature en est pleine. On peut en déduire qu'effectivement les maths sont un jeu et l'un des buts de ce jeu est trouver la faille.

La recherche quasi-systématique de contre-exemple lors de discussions pour prouver que l'autre a tort. Pour mémoire, je rappelle l'histoire de la loi de Cauchy qui n'a pas de moyenne (ou d'espérance, on sait pas très bien), et même que c'est prouvé mathématiquement. Ca c'est pas mal, une science qui a pour but l'aide et la compréhension de phénomènes est utilisée justement pour "prouver" que c'est faux.

Ca peut même aller très loin. Un grand matheux écrit un livre sur un sujet qui occupe pas mal d'élèves et d'étudiants à plusieurs niveaux. Il écrit un chapitre entier concernant un point précis qui est considéré comme un "paradoxe". Il fait une démonstration rigoureuse jusqu'à la conclusion. Cela n'empêche pas de nombreux matheux de dire "c'est pas vrai" et d'interpréter, à leur façon, ce qui est écrit.

Oui, maintenant je comprends que, pour certains, la mathématique est un jeu.

Dlzlogic a écrit: La recherche quasi-systématique de contre-exemple lors de discussions pour prouver que l'autre a tort. 

En mathématique cela fait partie de la base, mais il arrive aussi bien souvent que l'on puisse prouver qu'il existe un contre exemple, sans pour autant être capable de le décrire précisément

https://fr.wikipedia.org/wiki/Contre-exemple.

Dlzlogic a écrit:Oui, maintenant je comprends que, pour certains, la mathématique est un jeu.      

Oui, on peut ramener la pratique des maths à la pratique d'un jeu.

Le but étant de déduire à partir des règles de la logique classique* et des axiomes, un théorème.

Quand on a réussi à montrer un théorème alors on peut s'en servir pour en déduire d'autres et ainsi de suite.


* : https://fr.wikipedia.org/wiki/Logique_math%C3%A9matique

Mais il y a quelque chose que je ne comprends pas bien encore, ce sont les définitions.

Un logicien te dira qu'une définition n'est qu'une abréviation...

Mais en fait c'est plus que cela, il y a des choses impensable sans la bonne définition.

Exemple on se place dans les entiers, imagine que tu ne connaisses pas la notion de puissance alors ce nombre 2^{2^{2023}} est juste impensable, irreprésentable pour toi.

Dattier, je suis bien sensible à tes messages, mais ile me semble que la logique mathématique est basé sur les définitions, axiomes, démonstrations, et non sur les vérifications.
Les mathématiques constitue la seule science exacte, par opposition à toutes les autres sciences, comme la physique, la biologie ou l'économie etc., puisque toutes les étapes sont démontrées et non pas vérifiées comme pour les autres sciences.
Apparemment la technique actuelle, suivant les forums que je lis, tend à vérifier mon affirmation : "en mathématiques, c'est comme on veut".
Sur un plan général, ce n'est pas fondamentalement gênant, si ça ne concerne que peu d'individus, mais il y a lieu de craindre le pire pour la génération actuelle des étudiants, laquelle est la génération future.

Concernant ton exemple de nombre énorme, il est important de comprendre ce qu'il représente et s'il peut être utile, sinon ce n'est qu'un jeu mathématique.

Bonsoir,

Dlzlogic a écrit: "en mathématiques, c'est comme on veut". 

Les maths fournissent des outils aux autres sciences.

Par exemple la topométrie se décrit bien à l'aide de la géométrie.

Cela veut dire que toute la théorie géométrique (avec les théorèmes trouvés par les mathématiciens et les méthodes, outils développer par eux) peuvent être utilisé.

Et oui, dans la géométrie tu peux choisir l'outil de ton choix pour décrire la situation...

Et il peut arriver que 2 théories différentes peuvent être utilisé pour décrire un même phénomène, et dans ce cas l'utilisateur fait comme il veut, il peut utiliser une théorie ou une autre pour décrire son phénomène.

Le choix en maths est au niveau des règles du jeu étudié, mais une fois le jeu choisit on ne choisit pas ce qui y sera vrai ou pas*...

* : bien qu'il arrive que l'on choisisse un jeu exprès pour avoir tel et tel propriété vérifier, comme par exemple les proba de K., dans la théorie de K. tout les anciens théorèmes sont toujours vraie, il y a compatibilité, sans cela la théorie serait sans intérêt pour les probas, elle décrirait une autre théorie que celle connue au par avant.


Bonne soirée.

Salut Dattier,
Oui, je comprends bien ta réaction.
Simplement je constate que certaines "vérités" enseignées aux étudiants ne correspondent pas forcément à la vérité vraie.
Il y a plusieurs domaines assez différents dans mes connaissances. L"un d'eux réside dans la compréhension des probabilités.
Autrefois on enseignait l'analyse combinatoire, c'était déjà assez difficile à comprendre. Puis on a mis les probabilités au programme. Là au lieu de donner la définition "rapport du nombre de cas favorable que le nombre de cas possibles", on a donnée une définition qui en fait résulte d'une conséquence.
Je parle souvent du fameux "paradoxe de Bertrand", si j'ai bien compris tes retours, tu as bien compris à quel point cet énoncé ultra simpliste reflète l'incompréhension de nombreux matheux.
J'avoue avoir quelque fois des expressions ou formules un peu brutales, mais j'avoue que dans la négation systématique, je ne sais plus quel langage employer.
Bonne soirée.