Dammier et dé noir et blanc.

Bonjour,
Ca c'est un énoncé amusant :
https://www.ilemaths.net/sujet-probabilite-variable-aleatoire-831681.html
Et là, l'expression "espérance mathématique" a tout ses sens : produit de la probabilité par le gain.
Pour le calcul de la variance, on utilise la formule de Koenig (cf loi des grands nombres). Bien-sûr, cette formule est utilisable pour un calcul théorique, ce qui est le cas ici.
Ce qui est amusant est qu'une faute de raisonnement conduit à une variance négative.
Je vais faire une simulation.

Voila une jolie vérification du TCL

Code:

 Espérance de gain 

Nombre = 100  Moyenne = 151.44  emq=111.98  ep=74.65
Médiane = 152  min= -227  max=465
Rapport Emq/Ema = 1.26 Théorique = 1.25

Nombre = 100  Moyenne = 132.54  emq=114.72  ep=76.48
Médiane = 124  min= -122  max=450
Rapport Emq/Ema = 1.23 Théorique = 1.25

Nombre = 100  Moyenne = 165.33  emq=111.42  ep=74.28
Médiane = 161  min= -94  max=446
Rapport Emq/Ema = 1.22 Théorique = 1.25

Nombre = 100  Moyenne = 150.57  emq=97.72  ep=65.15
Médiane = 153  min= -67  max=467
Rapport Emq/Ema = 1.27 Théorique = 1.25

Nombre = 100  Moyenne = 152.34  emq=103.09  ep=68.72
Médiane = 153  min= -137  max=452
Rapport Emq/Ema = 1.25 Théorique = 1.25



On peut observer que la loi de probabilité est très "compliquée", c'est à dire que ce n'est pas une loi répertoriée.
Il y a 5 simulations. Une simulation est constituée de 100 fois 100 jets de dé.
La dispersion des gains est grande, de -227 à +467 (pour 100 jeux) L'emq (écart-type observé) est assez constant : de 97 à 114, la médianr est toujours très proche de la moyenne (écart maxi enfin, le rapport Emq/Ema est toujours vérifié.
Ce sont les caractéristiques habituelles de la loi normale.

Par ailleurs, je n'ai pas compris la correction, pourquoi la valeur 'x' apparait dans la formule ? Pour moi, l'espérance est 1.5 environ et la variance environ 1. Sauf erreur.

Pour le plaisir, un petit calcul "exact".
Espérance de gain = 30% * 8 * 1/3 + 70% * 3 * 3.5 * 2/3 = 5.7
Espérance de perte = 70% * 12 *1/3 + 30% * 2 * 3.5 * 2/3 = 4.2
soit une espérance de gain = 1.5.
Ce qui confirme la simulation.

Lu sur le fil correspondant :

X a écrit:La moyenne dépend de x. Normal.
La variance dépend de x. Normal aussi.
Et le petit contrôle que l'on peut faire, c'est constater que plus x augmente, plus on a une incertitude sur le résultat du jeu (possibilité de gagner 3x, ou de perdre 2x , proportionnelle à x). Et c'est bien conforme à notre résultat : plus x est grand, plus la variance est grande.

Encore un exemple d'énoncé incomplet !
Celui-ci ne précise pas quelle face est au-dessus quand le dé a été jeté et est retombé sur la table.
Si le joueur comptait sur des matheux pour calculer leur mise de fond et leur probabilité de réussite, ben pas de chance, ils ne savent pas le faire. Il donnent le change en disant qu'il manque une information.
Encore une confirmation.
Peut être que le raisonnement suivant "La moyenne des tirages en comptant le nombre de taches sur un dé à 6 faces ordinaire est 3.5" ne tient pas debout, motif :" impossible, il n'y a pas de face notée 3.5, et surtout la question 1) précisait qu'il s'agissait d'une variable discrète et non d'une variable continue."
J'aimerais bien avoir l'avis de Sylviel.
Bonne journée.

Lu un autre sujet sur le jeu, donc, en rapport avec la FDJ. Je ne le cite pas parce que c'est hors sujet. Mais heureusement, à la FDJ il y a des gens qui connaissent les probabilités.
Donc, ma question : a-t-on intérêt à acheter des actions FDJ ? En effet, avec les jeunes matheux qui n'ont aucune idée des notions élémentaires des probabilités, quand les anciens auront pris leur retraite, il y aura peut-être des soucis à se faire concernant le fonctionnement du système, donc de la valeur des actions.