Liste aléatoire et moyenne.

Bonjour,
https://www.maths-forum.com/superieur/nombre-aleatoire-entre-qui-tend-vers-t207633.html
Pour plus de lisibilité, je répète la question initiale :

Voila un petit programme java (processing) mais vous pouvez l'écrire dans n'importe quel langage.
Cela génère un nombre float aléatoire entre 0 et 1, le garde dans un liste de 100 000 000 de longueur.
La valeur se stabilise a 0.5.

Les mots importants sont "programme", donc il s'agit d'un traitement informatique, en l'occurrence, une simulation ;
"Nombre aléatoire". en effet, le code contient un appel à la fonction random qui alimente un tableau très grand ;
"Valeur", naturellement il faut comprendre "moyenne".
Cette question fait partie de celles qui ne correspondent pas à un exercice précis, mais au besoin de comprendre de certains étudiants, un peu plus curieux que les autres.
Je vais essayer d'être le plus rigoureux possible.
D'abord, je rappelle que cette méthode qui consiste à utiliser l'informatique pour ce type de problème est parfaitement légitime. Cette méthode est connue sous le nom de Méthode de Monte-Carlo.
Par contre, dans le cas présent il aurait été plus éclairant de faire 100 fois l'expérience avec 1000 tirages, mais c'est un autre sujet.
Il faut définir ce qu'est un nombre aléatoire.
D'abord, c'est un nombre qui peut représenter une mesure, par exemple une longueur ou une direction. Prenons l'exemple du tir sur cible. On dit que le point d'impact est caractérisé par 2 nombres aléatoires, la distance au centre de la cible et l'angle du vecteur par rapport à un repère. Ces deux nombres sont aléatoires, en effet, avant le tir, il était impossible de les prévoir, après le tir, on peut les mesurer et les noter. On dit que ces deux nombres dépendent du hasard.
On remarque que cette opération de tir sur cible comporte deux variables aléatoires indépendantes. Chacune de ces variables aura eu autant de valeurs que de tirs effectués. Ce sont des valeurs numériques qui ont directement ou non, une unité (ici, le mètre et le degré d"angle), contrairement à certaines expériences trompeuses avec des dés à jouer. Dans de nombreux cas, ces valeurs numériques correspondent à des comptages, alors on parlera de fréquence.

Dans ce même exemple du tir sur cible, intéressons-nous à la distance au centre. Classons les valeurs de la plus petite à la plus grande, puis écrivons la moyenne entre la premiere et la dernière, puis entre la seconde et l'avant dernière et ainsi de suite. On supposera le nombre de valeurs pair. On constate que toutes ces moyennes sont très proches entre elles. On dit que la moyenne arithmétique de toutes ces valeurs est la valeur la plus probable. On appelle cela le "postulat de la moyenne".

Reprenons la simulation faite avec la fonction random.
D'abord quelques détails sur cette fonction. La méthode de calcul est très simple, il s'agit d'une addition et d'une opération modulo, sur des entiers. De nombreux logiciels produisent un nombre dans l'intervalle [0;1[, mais je suis sûr que la méthode utilisée est celle avec les entiers, puis division du résultat par RAND_MAX.
Faisons l'expérience de tirer 30 valeurs entre 0 et 1 avec cette fonction random. Classons les résultats par ordre croissant et calculons les moyenne 2 à 2 comme avec les distances au centre de la cible. Intuitivement, on comprend bien que chaque moyenne va être très proche de 0.5 et on ne sera pas étonné que la moyenne générale soit très proche de 0.5.
Naturellement, ceci n'est en aucun cas une démonstration, mais seulement une explication du postulat de la moyenne.
Cette notion est fondamentale dans la théorie des probabilités et peut se résumer ainsi "Soit une liste résultat de la mesure ou de l'observation d'une même chose, la moyenne arithmétique est la valeur la plus probable du résultat cherché".
Les deux théorèmes de Bernoulli, la loi des grands nombres et la loi normale, utilisent ce postulat.