A propos des transformations

Bonjour,
https://www.ilemaths.net/sujet-matrice-de-rotation-plane-autour-d-un-point-836365.html
Voilà à sujet qui n'est pas très souvent abordé, probablement parce que ce n'est plus au programme : les transformations.
C'était une partie importante du programme de math-élèm en géométrie. Maintenant il semble que ce n'est plus étudié que dans le cadre des matrices.
Il y a une transformation qui est peut-être décrite dès le collège : la translation. J'ai eu un peu de mal à comprendre la logique pédagogique, en effet la définition de la translation nécessite la connaissance de la notion de vecteur, laquelle est très floue dans les programmes et enseignée plus tard.
Il y a une transformation qu'il faut connaitre : la symétrie. Elle peut être vue par rapport à un point, par rapport à une droite ou par rapport à un plan. J'ai lu "symétrie orthogonale", le suppose qu'il s'agit de symétrie par rapport à une droite ou par rapport à un plan. La symétrie par rapport à un point est une rotation.
Il y a trois transformation importantes :
- l'homothétie      
- la rotation
- l'affinité.
Ces trois transformations sont très importantes dans le contexte actuel de l'informatique graphique, c'est à dire où les divers dessins, cartes, plans occupent une place importante.
Souvent, plusieurs transformation sont regroupées suivant le même vocable. La similitude directe est la composition d'une homothétie et d'une rotation. Pour différentes raisons, on peut lui adjoindre une translation. Pour être clair, soit deux figures directement semblables, c'est à dire que l'on peut passer de l'une à l'autre par une similitude directe, alors il existe une homothétie-rotation et une seule pour passer de l'une à l'autre. Sion rajoute une rotation, alors il existe une infinité de triplets translation-homothétie-rotation.  

Soient deux figures représentant la "même chose", par exemple deux cartes. Ces deux cartes ont été établies par des géographes différents, à des époques différentes et suivantes des méthodes différentes. On souhaite mettre ces deux cartes en superposition pour observer les différences et/ou évolutions de certains éléments, ou tout simplement parce qu'un carte est le résultat d'une opération de relevé topographique et que l'autre document est une photo aérienne. La transformation à utiliser est la transformation affine. C'est le composé d'une translation, d'une homothétie, d'une rotation et d'une affinité. Cette transformation est unique, dans le plan, les équations sont :
X=TX + XX.x + XY.y
Y=TY + YX.x + YY.y
Il y a donc 6 paramètres TX, TY qui sont les composantes du vecteur de translation, XX, XY, YX, YY les paramètres de composition de l'homothétie, de la rotation et de l'affinité. Bien qu'elle soit très souvent employée, je n'en ai jamais vu de référence dans les questions sur les forums.
Je rappelle la question posée

ok merci pour ces 2 messages éclairant je crois que je comprends le problême (un peu) je n'aurais pas de forme matricielle équivalente à la combinaison d'une translation et d'une rotation mais je vais continuer de chercher car en réalité mon but est de montrer que une combinaison de plusieurs rotations autour de centres différents est une bijection si je comprends bien ca revient a montrer que une combinaison de rotation autour de l'origine et de translation forme une bijection ca semble évident mais l'écrire proprement  demande un peu d'éfforts.

La réponse pourrait être "dans le plan, sauf cas particulier d'images parallèles, le composé de plusieurs rotations est une rotation." Rien n'interdit d'utiliser les outils qu'on préfère, par exemple les matrices. Tout dépend de ce que sont les hypothèses et ce qu'on veut faire.
Si on connait la matrice de rotation, alors on a dû calculer le centre de rotation et l'angle de rotation, et cela pour chaque transformation.
Sauf erreur de ma part, la matrice de translation est [TX 0] [0 TY]. Donc la première étape va être de déterminer TX, TY et Théta, pour chaque transformation.