Loi de Cauchy. Contre-exemple ou astuce de matheux ?

Bonjour,
https://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/852806-esperance.html
Il est ici fait allusion à une des loi de probabilités préférée des matheux : la loi de Cauchy.
Elle est connue pour être une exception dans le cadre de la loi normale et du TCL. En effet, sa fonction n'est pas intégrable, ni même de carré intégrable, donc c'est une exception à la règle générale, donc la règle générale est fausse !
Bon, il faut être sérieux. Les lois de probabilités sont des lois de la nature, constatées, vérifiées, démontrées. Si un matheux a découvert un contre-exemple, c'est qu'il s'est trompé, soit dans la compréhension de ces lois, soit dans la formalisation de ce prétendu contre-exemple.

Bonsoir,
Apparemment un lecteur du forum "futura-sciences" a eu la même observation que moi : cette fonction rappelle la loi de Cauchy.

Feanorel a écrit:Pour compléter : la variable suggérée n'est pas sans rapeler la loi de Cauchy.

Cette classe de variables aléatoires n'a effectivement pas d'espérance et donc ne suis pas la loi des grands nombre (dont l'énoncé requiert une suite de va iid admettant une espérance).
D'ailleurs la moyenne d'une suite de loi de Cauchy indépendantes est elle même une loi de Cauchy de même type.

[orthographe non corrigée]
Petit rappel concernant le sens des termes.
En mathématique, l'espérance est le produit du gain par la probabilité. C'est une notion utile dans le cadre des jeux, ce qui n'est pas le cas ici.
Par extension, le terme "espérance" est souvent utilisé à la place de "moyenne arithmétique". Cela signifie que, étant donné un grand nombre d'épreuves d'une expérience, la moyenne arithmétique est la valeur la plus probable. Cette notion est connue sous le nom de "postulat de la moyenne".
Il en résulte la loi des grands nombres et la loi normale, les deux théorèmes de Bernoulli.
Il est tout à fait vrai que dans le cas de la loi normale centrée réduite, la moyenne est égale à l'intégrale de la fonction de Gauss. Mais dans le cas présent, on place la conclusion avant l'hypothèse, en d'autres termes, les matheux profitent de la démonstration de la loi normale pour définir la justification que ce qu'ils nomment l'espérance est égale (dans la plupart des cas) à la moyenne arithmétique.
Tout ceci est une confirmation de mon premier message :
1- la formule de la loi de Cauchy n'est pas intégrable,
2- la loi des grands nombres met en cause l'"espérance" qui est, dans le cas général la moyenne arithmétique,
3- comme la formule de Cauchy n'est pas intégrable, son espérance n'existe pas.
4- il en résulte que on a trouvé un contre-exemple à la loi des grand nombres
5- CONCLUSION : la loi des grands nombres et le TCL qui en résulte, n'est pas générale, et c'est qu'un cas particulier enseigné aux lycéens.

Il est clair que ce message de Feanorel confirme mon premier message. Merci à lui de l'avoir écrit.