On fait pas d'omlette sans casser des oeufs.

Bonjour,
réf. https://www.maths-forum.com/superieur/proba-conditionnelle-dans-exo-sur-binomiale-t215793.html
Je trouve aussi l'énoncé un peu perturbant.
Voyons le problème sous un autre aspect.
Il trouve un œuf fêlé. Que va-t-il faire ?
1- bof, y'a un œuf fêlé, il faudra que je remette de la paille.
2- je cherche s'il y en a un autre;
  2a- j'en trouve un autre ==> si c'est le seul, ouf, je vais les vendre au marché
  2b- j'en trouve plus d'un autre je les vend aux fabriquant de pâtes alimentaires
etc.

Dans le cas présent la question peut être traduite "quelle est la probabilité qu'il y ait exactement 2 œufs fêlés". Je crois qu'il y a une formule pour ça.

Mais comme exercice, je comprends mieux celui de la marche aléatoire avec p différent de 1/2.

Salut Pierre,
la réponse de LB2 était bonne.
Mais hier soir je me disais:
" On a observé qu’au moins un des 40 œufs était fêlé, quelle est alors la probabilité qu’il y en ait exactement un 2ème ?

le mec sait qu'il ya un oeuf félé sur les 40, mais il ne sait pas encore combien il y en a de félé au total sur les 40.
Donc la question le gars qui a remarqué l'oeuf félé il le sait comment?
Il a jeté un oeil distrait?

Et tu remarqueras que c'est le dada des vidéos bayésiennes que Dattier nous a indiqué (de Nguyen Hoang)
La façon dont est collectée l'information transforme totalement la façon d'analyser  et calculer ensuite les probas.
D'où mon intervention.

Bonsoir,
Cet exercice continue à me tracasser ; je copie l'énoncé.

Dans la production d'un poulailler, sur l’ensemble des œufs pondus, certains sont susceptibles d’être fêlés.
On suppose que la proportion d’œufs fêlés est de 5%. En février, on a prélevé au hasard 40 œufs dans la production de ce mois, soit X la variable aléatoire qui à tout échantillon de 40 œufs dans cette production de février fait correspondre le nombre d’œufs fêlés dans l’échantillon.
[...]
2) On a observé qu’au moins un des 40 œufs était fêlé, quelle est alors la probabilité qu’il y en ait exactement un 2ème ?

L'énoncé est très clair : on prélève 40 œufs au hasard, la probabilité d’œufs fêlés est 5%. Soit, pour un échantillon de 40, la moyenne probable, qu'il y ait des œufs fêlés, est 2.
L'échantillon étant prélevé il est probable qu'il y en a 2 fêlés, mais il y en a peut-être 0, ou 1 ou 3 ou 4.
On a l'information que un œuf est fêlé, qu'est-ce que ça apporte comme information nouvelle ? RIEN. Si on a prélevé les 40 œufs soigneusement, cette opération n'a aucune influence sur la suite. L'observation de l’œuf fêlé ne modifie en rien la situation. La probabilité est toujours qu'en moyenne il y aura 2 œufs fêlés sur 40. 
Je veux bien que tu me dises que ce raisonnement est faux, mais j'aimerais bien que tu me dises où.

J'essayais d'imaginer une simulation qui permette de trouver le résultat. Alors, je me suis posé la question habituelle : qui sait quoi. Il était indispensable de l'introduire dans mon calcul, et j'ai pas réussi à répondre à la question.
Le fameux "sachant que" nécessite une opération, c'est à dire une action, quelle qu'elle soit, entre la situation initiale et la situation finale. Cela peut aussi être l'information résultant d'une action précédente ET indépendante. Dans le présent contexte, cela aurait pu être la cas si l'opération de prélèvement comportait un risque, ce n'est pas précisé.
En fait, c'est la base des systèmes experts et de l'IA, mais rien à voir dans le présent exo.
Bonne soirée.

Bonjour Pierre,

random nombre entier de 1 à 20
on va examiner les series de 40 données.
Tu choisis un des 20 nombres, par exemple le 17 comme étant oeuf cassé, les autres sont des œufs frais pas félés.
tu fais occurrence de 17 dans mes series de 40:
donc univers des évènements: 0,1,2,3

La proba conditionnelle consiste à changer d'univers, changer l'ensemble total, changer le proba de tout fait 1, changer le 1

donc toutes les séries avec occurrence zero fois le 17 partent à la poubelle.
et maintenant tu vas calculer la frequence d'avoir 1 ou 2 ou 3 fois le 17 sur ce nouvel ensemble qui est l'ensemble au moins 1 fois le 17.
Ensemble qui a viré du 1total , l'évènement zero fois le 17.

Ensuite et pour faire plaisir à beagle, tu vas examiner partiellemnet tes series et tu checheras occurrence de 17 pour tous les emplacements multiples de 4 dans la série des 40,
donc tu examines 10 oeufs sur les 40
Là idem si zero 17 observé = poubelle
et tu recercheras au sein du nouveau 1 total, au sein des au moins 1 détecté sur les x4,
tu vas chercher frequence de 1 seul , de 2 , de 3...

a plus

Bonjour,
J'avoue que je n'ai pas très bien compris ton cheminement.
J'ai fait une simulation. Soit 1000 lots de 40 œufs. Un lot correspond à un échantillon.
Pour chacun de 1000 lots de façon aléatoire, il y en a 5% qui sont fêlés.
Voila le résultat :

Code:

Total des oeufs fêlés sur 40 000 = 1986
Nombre de lot contenant 0 oeufs fêlé 133
Nombre de lot contenant 1 oeufs fêlé 257
Nombre de lot contenant 2 oeufs fêlé 286
Nombre de lot contenant 3 oeufs fêlé 197
Nombre de lot contenant 4 oeufs fêlé 87
Nombre de lot contenant 5 oeufs fêlé 27
Nombre de lot contenant 6 oeufs fêlé 9
Nombre de lot contenant 7 oeufs fêlé 3
Nombre de lot contenant plus oeufs fêlé 1

Naturellement, au passage, ça vérifie le fiabilité de mon générateur.

Bon, le contrôleur prend au hasard un lot.
Il constate qu'il y a 1 oeuf fêlé. Il a donc 1 chance sur (1986-133) de tomber sur un tel lot.
La probabilité que ce lot comporte exactement 2 oeufs fêlés est 286/1986.

Son collègue fait le même contrôle, l'information est qu'il s'est cogné la tête en passant sous la porte.
La probabilité que le lot qu'il vérifie comporte exactement 2 oeufs fêlés est 286/1986.

Donc, je ne comprends pas l'impact de l'information "il constate qu'il y a un oeuf fêlé".

Salut Pierre, j'avoue ne pas comprendre ce qu'est 1986 - 133
c'est une soustraction d'un nombre total d'oeuf, à ce nombre on enlève 133 lots de 40 œufs.
Franchement je dis toujours que j'utilise les ensembles peut-être parce que je suis limité en abstraction,
je conseille à tout le monde d'utiliser les ensembles,
je déplore que l'on ne fasse pas un support ensembliste au raisonnement pour les élèves,
et là je me surprend à penser que l'ensemble c'est bien sur le dedans et le dehors, ce sont ces limites là que je veux caler,
mais c'est aussi finalement des unités de trucs, les éléments dans un ensemble, finalement on retombe sur savoir définir ses unités,
les torchons et le serviettes.
Bref on arrète là mon pédagogisme.

je reprends ton étude informatique intéressante
a tout de suite

tu as donc 133 lots sans œufs félés

Donc sur les 1000 lots, lorsque je tombe sur un des 133 lots sans œufs félés,
ben je dis là dedans il n' y a pas au moins un oeuf félé.
Donc si j'examine au hasard un lot de 40 et que je dis tiens un oeuf est félé, ah mais dis donc quel pourcentage alors je vais avoir de 1 ou 2 ou 3 ou … œufs félés
dans ce lot de 40
ben pour un seul oeuf félé, je prends les 257 lots de 1 seul oeuf félé
et je divise par tous les lots où il y a au moins un oeuf félé:
c'est le classique tous les lots : 1000 moins les lots avec aucun oeuf félé :133

lorsque j'ai connaissance d'un oeuf félé dans un lot, alors je dis j'ai fréquence observée de 1 seul sachant au moins 1:

257 / (1000-133)

Je le recopie pour l'avoir sous les yeux.

Code:

Total des oeufs fêlés sur 40 000 = 1986
Nombre de lot contenant 0 oeufs fêlé 133
Nombre de lot contenant 1 oeufs fêlé 257
Nombre de lot contenant 2 oeufs fêlé 286
Nombre de lot contenant 3 oeufs fêlé 197
Nombre de lot contenant 4 oeufs fêlé 87
Nombre de lot contenant 5 oeufs fêlé 27
Nombre de lot contenant 6 oeufs fêlé 9
Nombre de lot contenant 7 oeufs fêlé 3
Nombre de lot contenant plus oeufs fêlé 1

J'ai 1000 lots de 40 oeufs, donc au total 1986 (pour 2000 th.) qui sont fêlés.
Suivant l'énoncé : le contrôleur examine un lot au hasard. Il y a en tout 1000 lots. Comme il trouve un oeuf fêlé, il ne peut pas faire partie des 133 lots d'oeufs intactes. Il a donc (1000-133)   867/1000  chance sur de tomber que un lot ayant au moins un oeuf fêlé (et non ce que j'avais écrit).
Maintenant la question est posée, quelle probabilité qu'il y ait exactement 2 oeufs fêlés dans ce lot ?
Sur les 1000 lors il y en a 286 qui ont exactement 2 oeufs fêlés. La probabilité que le lot qu'il examine ait exactement 2 oeufs fêlés est donc 286/1000.

Evidemment on peut se dire "pour tomber sur un lot comportant exactement 2 oeufs fêlés il faut qu'il ait choisi un lot parmi les 867 et un lot parmi les 286. soit 0.867*0.286. Ca, c'est le raisonnement bayésien.
Mais il ne s'est rien passé pendant l'examen des lots. Donc, pour quel motif l'observation "un oeuf fêlé" aurait une influence sur la probabilité demandée. En entrant dans la pièce, il voit de loin un lot, c'est celui-là qu'il va examiner. Son collègue fait pareil, sauf qu'il est distrait et se cogne la tête.

C'est pas la première fois qu'on discute de ce point précis et je suppose qu'il y aura d'autres fois.

L'énoncé aurait pu être "l'acheteur des oeufs veut prouver à l'éleveur que ses oeufs sont fragiles. Subrepticement, il a mis les 133 lots bien au fond de la pièce avant que l'éleveur ne regarde un lot etc.". Alors oui, là, le "sachant que" fonctionne. Ca me rappelle vraiment l'histoire des 3 portes.

et oui 3 portes , le paradoxe des deux enfants etc... c'est du banal Bayes.

Si tu vois au moins un oeuf félé
lots favorables deux œufs félés = 286
à diviser par le nombre de lots possibles

c'est ce possible qui change, ici le possible c'est 1000 - 133
les 133 lots où il n' y apas d'œufs félés ne sont pas un possible de je vois un lot avec un oeuf félé.

Oui, je comprends bien, mais ce n'est pas applicable dans la réalité. C'est tout de même l'éternel débat : les raisonnements concernant les calculs de probabilités sont-ils applicables uniquement dans le monde réel ou aussi dans un univers théorique des mathématiques. Tu connais ma réponse.