Groupe non simple.

Salut,

Je vous annonce que change de politique, maintenant ici je donnerais la justification de ce que j'avance, comme cela je m'entraînerais à écrire des preuves, et j'aurais un endroit où mes preuves sont écrites.


G un groupe non simple et p le plus grand entier premier divisant o(G), alors il existe un groupe distingué H tel que p | o(H).

PS : bien sûr si vous voyez une erreur n'hésiter pas.

Cordialement.

Je vous mets maintenant le résultat dont, l'énigme n'est qu'un corollaire.

Si G un groupe fini non simple, et H le plus grand groupe distingué de G, alors o(G) | o(H)!

Edit : il y a une erreur.

On dirait que l'on peut rattraper l'erreur.

Soit H un groupe distingué de G.

On note F le sous groupe des permutations de H, paramétré par g un élément de G,
f_g: x->g*x*g^{-1}.

On note I le sous groupe de G, composé des élements g de G tel f_g=id.

Alors G/I quotienté par la relation g équivalant à g' ssi g'*g^{-1} dans E, donne un groupe isomorphe à F, donc I distingué et o(G/I) | o(H)!

À noter o(G) | o(I)*o(H)!  et I et H distingués.

On a donc le résultat principal sans avoir le résultat, intermédiaire.

Bonsoir,

Pourquoi la question est difficile alors que j y ai répondu en 5 lignes ?

Pour répondre à la question il faut penser à introduire les fonction f_g, qui est un concept nouveau.

C est t autant plus difficile que les concepts à introduire pour résoudre un problème ne sont pas naturels.

Bonne soirée.

Sans vouloir t'offenser, faire agir G par conjugaison ne me semble pas vraiment un "concept nouveau". Cette action par conjugaison de G est un outil classique pour l'étude des groupes finis.

Par ailleurs, il y a une faute dans ton raisonnement : ce n'est pas parce que o(G)/o(I) divise o(H)! que o(G) divise o(H)! : prendre par exemple G=C_9 et H le C_3 sous-groupe de G.

On a o( G) | o(I) * o(H)! avec I et H des sous groupes distingués.

Donne un lien pour voir où cela est utilisé.

Ps : il est connue qu une fois le concept introduit d autre le renomme pour montrer le côté naturel de la chose, mais ne vous y trompez pas, ce n est pas parce que l on donne un nom naturel que le concept l ait.

"On a o( G) | o(I) * o(H)! avec I et H des sous groupes distingués. "
Oui, d'accord. Et quel rapport avec les résultats que tu énonces dans tes deux premiers messages ??

Un lien sur l'utilisation de l'action par conjugaison ? Tu peux voir les démonstrations des théorèmes de Sylow, par exemple. Tu peux aussi voir la démonstration du fait que le centre d'un p-groupe fini n'est pas trivial.

Oui, tu as raison, mais cela n en est pas moins intéressant.

Pour ce que tu cites on travaille sur les orbites, or pour les fonctions je considère on travaille sur une seule orbite H, ce groupe étant supposé distingué.

Euh, Dattier, tu crois que H se compose d'une seule orbite pour l'action (g,x) --> g x g^(-1) ?

Oui, H est suppose distingué et cette orbite c est H lui même. Non ?

Ps n oublies pas que dans notre cas pour l action g.x on a toujours x dans H.

Non : tu fais agir G par conjugaison sur les éléments de H, et sauf si H est trivial il y a plusieurs orbites. En effet, l'élément neutre e est un point fixe de l'action, ce qui veut dire que {e} est une orbite.
Si tu fais agir G par conjugaison sur l'ensemble de ses sous-groupes, alors H est un point fixe pour cette action, et dans ce cas son orbite est {H} (et pas H, tu vois la différence ?).

C est un débat secondaire, ce que j'aimerais que mon lectorat retienne c'est l'idée suivante :

Dattier a écrit:C est t autant plus difficile que les concepts à introduire pour résoudre un problème ne sont pas naturels.

Je répète qu'en l'occurrence faire intervenir l'action par conjugaison du groupe est tout à fait classique, et assez naturel je trouve.

Et je ne trouve pas, la manière dont je l'utilise n'est pas classique.

Bof, si ça peut flatter ton égo de penser ça ....

Bof, si ça peut te faire du bien de dire ça...

Tu es au moins d'accord que H n'est pas une seule orbite pour l'action par conjugaison de G (sauf si H est trivial) ?

Peut importe c est un problème de vocabulaire, qui est à mes yeux secondaires.

Ce n'est pas un problème de vocabulaire, ou alors tu ne sais pas ce que veut dire "orbite" sous l'action d'un groupe.
Toujours autant de difficulté à accepter de s'être trompé. Rassure-toi, tu es anonyme, je ne te connais pas, ça n'a aucune conséquence pour toi.

Bonne nuit.