Quesstion d'intégrabilité.

Bonjour,
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,1836734
Voila le type d'exercice qui m'étonne toujours.

Soit ( x_n) une suite des v.a. intégrables
Tq: pour tout événement A, on a l'espérance
E(1_A.x_n) converge . Alors la suite ( x_n) est uniformément intégrable.

"variable aléatoire" est mis en abrégé, mais l'article et le qualificatif sont au pluriel, donc il n'y a pas d’ambiguïté.
On a donc plusieurs variables. Pour mémoire, une variable est une fonction.
Je sais bien que l'intégrabilité a été introduite dans la notion de probabilité pour contourner la fameuse suite de Cauchy qui était un faux contre-exemple.
Donc, ma question : qu'est-ce qu'on cherche ? Je voudrais un exemple. Merci d'avance.
Par exemple dans la phrase "pour tout évènement A, on a l'espérance E(... " E est l'espérance de quoi ? Qu'est-ce qui converge ? Les différentes v.a. sont indépendantes et ont chacune leur liste de valeurs pour chaque évènement Ai ?
L'abstraction, c'est bien, mais il est indispensable de définir parfaitement les termes employés.