Méthode de Monte Carlo.

Bonsoir,
réf. : https://www.maths-forum.com/cafe-mathematique/methode-monte-carlo-t226803.html
Cette présentation de la méthode Monte-Carlo a été inspirée de l'article de Wikipédia.
Il manque à mon avis une notion importante, l'intérêt de cette méthode est due au fait de la forme de la courbe de Gauss. C'est à dire qu'il y a une forte concentration des résultats autour de la moyenne.
On sait que la valeur cherchée est proche de la moyenne arithmétique des résultats obtenus. Cf. le postulat de la moyenne.
Donc, très vite, les résultats vont se concentrer autour de la moyenne.
Il y a une variable aléatoire : c'est la fonction Y=f(xi) J'ai noté xi, puisque cette fonction Y peut avoir plusieurs variables.
On suppose que l'on connait approximativement, voire grossièrement, le domaines de chacun des xi. Si on réitère le calcul avec des valeurs aléatoires de xi, on va obtenir pour chaque groupe de xi une valeur pour la variable Y. La moyenne arithmétique de ces valeurs est la valeur la plus probable, donc la valeur à adopter.

Concernant la précision. Le calcul de l'écart-type permet de voir que 50% des résultats pour Y sont dans l'intervalle égal à la moyenne +/- 1 écart probable. C'est à dire que la valeur recherchée est comprise dans cet intervalle. En fait, la précision obtenue est bien meilleure, pour s'en rendre compte, il suffit de refaire l'opération en prenant comme borne pour les xi, des valeurs plus proches. Cette seconde étape est très facile si il n'y a qu'une seule variable x, plus compliqués s'il y en a plusieurs.
En d'autres termes, les valeurs obtenues pour Y loin de la moyenne sont sans intérêt et surtout sans conséquence, puisqu'il y aura autant de valeurs aussi éloignée de la moyenne, mais dans l'autre sens.
Pour une fonction Y très compliquée, la comparaison de la médiane et de la moyenne est une bonne information sur la qualité du résultat.

Bonjour,
Je reviens sur quelques points de cette méthode.
La convergence n'est pas garantie. Pour la simple raison que la méthode nécessite de fixer correctement le bornes pour les xi. Si ces bornes ne sont pas correctes, c'est à dire si l'un des xi, solution de la fonction étudiée n'appartient pas à l'intervalle, on aura peut-être l'impression que cela converge, mais je résultat sera faux.

Wikipédia a écrit:La loi des grands nombres suggère de construire cet estimateur à partir de la moyenne empirique :

C'est une phrase élégante qui remplace le postulat de la moyenne. Mais cette loi ne garanti en rien la convergence de la méthode.

L'écart-type est très facile à calculer, il est donc connu.
Le calcul qui est fait ne conduit en aucun cas à la conclusion :

En clair, pour N grand, pour environ 95% des tirages possible, on aura la moyenne empirique qui à moins de 1.96 sigma sur racine(N) de l'espérance voulue.

suivant le principe que on ne peut pas évaluer une erreur.
A mon avis, la seule méthode pour avoir un encadrement de la valeur adoptée est de faire l'expérience N fois et observer les variations de ces N résultats. Il est vrai que numériquement, le résultat sera probablement identique. Cela peut faire l'objet de tests intéressants.

Apparemment ijki a posé une question à l'auteur, et il y a eu quelques informations.
Pour moi, il manque une information très importante : la définition des bornes de xi. Il me parait indispensable de contrôler que la répartition de la fonction Y a été suffisamment explorée, autrement dit que la moyenne des yi se trouve bien dans l'intervalle obtenu pour Y ; en d'autres termes que la fonction Y converge dans l'intervalle étudié. Cela sous-entent que l'on connait approximativement, voire grossièrement la valeur recherchée.
Concernant le fait que sigma, c'est à dire l'écart-type, a une valeur exacte inconnue est sans importance. On n'a pas besoin de se préoccuper de la précision de l'écart-type. Par ailleurs, la formule de Koënig est un résultat obtenu pour N infini.
Pour mémoire, je rappelle que la loi des grands nombres dit que la fréquence des résultats tend vers la probabilité. Evidemment on connait le postulat de la moyenne qui dit que la moyenne arithmétique est la valeur la plus probable dans le cas d'un nombre répété de mesures d'une même chose, donc la connaissance de la loi des grands nombre suggère effectivement que la moyenne arithmétique est la valeur qu'on devra adopter.

Si on veut obtenir une valeur crédible de la précision, je ne vois pas d'autre méthode que de refaire l'expérience.

Je voudrais rajouter une petite note personnelle.
Il est clair que l'auteur de cette explication connait les probabilités basées sur les axiomes dérivées de la théorie des ensembles. Pour s'en convaincre il suffit de voir que tout document parlent de probabilités et ne parlant par d'oméga et autres termes spécialisés est catalogué de "torchon". Outre l'insulte caractérisée envers l'auteur d'un document écrit soigneusement est une faute professionnelle.
En matière de probabilités, il y a des notions relativement simples enseignées au niveau lycée. L'application de ces notions permet de répondre à des exercices simples.
Comment se fait-il qu'une fois le stade du supérieur, ces notions sont oubliées, voire déclarées hérétiques ?
Bref j'aimerais bien comprendre.

Bonjour,
Décidément, cette méthode de Monte Carlo est à la Une sur M.F.
L'exemple donné m'étonne un peu. Si j'avais à calculer une intégrale connaissant la fonction et les bornes, je pense que j'utiliserais la méthode des rectangles. Elle consiste à diviser l'intervalle de définition en N parties et de cumuler les aires ainsi obtenues.
Autre exemple : on sait que une équation où apparait la valeur d'un angle et sa ligne trigonométrique ne peut pas être résolue pas des méthodes algébriques. L'exemple typique est de calculer la section mouillée d'un tuyau connaissant la hauteur d'eau. La méthode habituelle pour résoudre ce problème est la méthode de Newton ou la méthode de dichotomie.

J'ai bien aimé cet article. Il est simple et clair.
https://interstices.info/la-simulation-de-monte-carlo/
Il comporte en particulier une bonne définition du TCL.

Les histogrammes dessinés par l'applicatif Python fourni par l'auteur de l'article ne me semblent pas être vraiment proches de la courbe de Gauss. Ce n'est qu'une impression personnelle, à vérifier.

Bonjour,
Réf. : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,2120934
Je trouve que c'est un bon exemple d'utilisation de la méthode de Monte-Carlo.

Code:

Probabilité de présence d'un 5

Nombre = 1000  Moyenne = 338.33  emq=14.94  ep=9.96
Médiane = 338   min= 284.00  max=387.00
Rapport Emq/Ema = 1.25 Théorique = 1.25
Classe 1  nb=   4  0.40%   théorique 0.35%    |H
Classe 2  nb=  17  1.70%   théorique    2%    |HH
Classe 3  nb=  66  6.60%   théorique    7%    |HHHHHHH
Classe 4  nb= 171 17.10%   théorique   16%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 5  nb= 252 25.20%   théorique   25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 6  nb= 239 23.90%   théorique   25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 7  nb= 157 15.70%   théorique   16%    |HHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 8  nb=  76  7.60%   théorique    7%    |HHHHHHHH
Classe 9  nb=  15  1.50%   théorique    2%    |HH
Classe 10 nb=   3  0.30%   théorique 0.35%    |H


Il est dommage qu'il n'y ait pas d'autre résultat que celui de Beagle. Serait-il le seul à prendre la peine de faire un calcul sur le forum concerné ?
Parallèlement, on remarquera que c'est encore une vérification du second théorème de Bernoulli, plus connu actuellement sous le nom de TCL.

Bonjour
mon pauvre Dlzlogic, tu ne rates jamais une occasion de montrer que tu ne comprends pas l'intérêt des questions posées.

Ta simulation ne donne pas le résultat demandé. Ce qu'on demande est une probabilité, pas un histogramme.
On se fiche totalement de Monte-Carlo dans cet exercice tout simple.

Et en plus, tu as mis bien davantage de temps à programmer ton pc pour qu'il donne cet histogramme
( que tu n'interprètes même pas ! ...ce qui montre à quel point il est inutile)
alors que la réponse est instantanée via un mini-raisonnement (cf l'indication de Rebellin )
la probabilité recherchée est 1 -  ( 9 / 10 )^4  = 0.3439
et, contrairement à ce que tu sous-entends, tous les intervenants dans la discussion l'ont parfaitement compris.

La théorie permet de comprendre et prouver des résultats.
Chose que tu ne fais jamais (car tu ne connais pas la théorie) : c'est uniquement par histogramme produit par simulation sur pc que tu procèdes.
Et tes conclusions sont très évasives.

Bref, tu cherches toujours à faire la leçon en tête de classe, alors que tu es loin derrière les forumeurs en terme de compréhension.
A bon entendeur.

Bonjour Lisiane,
Ton message est comme toujours très intéressant pour les détracteurs.
Ce type d'exercice ne m'intéresse pas vraiment. Ce qui m'intéresse ce sont les réactions de ceux qui répondent.
Il y a eu 5 intervenants, et pas des moindres. Je me pose la question : est-ce que le demandeur a compris, c'est à dire est-ce qu'il aura progressé dans la compréhension des calculs en analyse combinatoire. Je n'en suis pas sûr.
J'ai déjà dit que je n'étais pas bon du tout en analyse combinatoire. Quant aux exercices de ce type, je suppose qu'ils sont utiles à autre-chose qu'avoir une bonne note, en tout cas, je ne suis pas sûr qu'ils aident à la capacité de raisonnement.
Dans le monde réel, ce qui est important, c'est la connaissance des probabilités. Je ne cherche pas à faire le procès du système d'éducation.
Il y eu, sur un autre forum, un long exposé sur la méthode de Monte-Carlo. J'ai ouvert un fil pour donner mon avis. J'ai trouvé un exemple d'application, un point c'est tout.

Oui, Lisiane, tu as raison, mes conclusions sont un peu évasives, alors je vais les préciser.
Pour faire ma simulation, j'ai interrogé mon générateur de nombres aléatoires.
Pour prendre les termes appropriés, j'ai une variable aléatoire que je peux appeler X qui prend des nombres entiers, aléatoirement entre 0 et 9999.
J'examine ces nombres, s'ils contiennent un 5 j'incrémente mon compteur.
Je répète l'expérience N fois, j'ai donc une variable aléatoire que j'appelle Y et dont les valeurs sont les N yi. Je ne crois pas que l'on puisse définir avec des mots ou des formules la loi de Y. La seule chose que l'on puisse dire est que toutes les valeurs yi sont des valeurs résultant d'un même loi
Je calcule la moyenne, l'écart-type et la répartition des écarts à la moyenne.
Manifestement, cette répartition est normale, c'est à dire conforme à la loi normale comme le précise le TCL.

Il est clair que cet exercice m'a servi de support à une vérification des notions de base des probabilités, et rien d'autre.

Dlzlogic réalise-t-il que l'estimation d'une probabilité par la fréquence empirique est bien la moyenne empirique de variables aléatoires indépendantes (celles qui valent 1 si un 5 est sorti à un tirage donné et 0 sinon) et qu'on est donc bien dans le cadre du TCL, à savoir que la fréquence empirique sur un grand nombre de tirages est à peu près une loi normale ?
L'histogramme des fréquences empiriques est donc logiquement une gaussienne.

Fun !

Cela n'a bien entendu rien à voir avec le fait que si les xi sont tirés au hasard alors les xi - m auraient un histogramme gaussien.
En effet les xi et les xi - m ont un histogramme ayant exactement la même forme...

Fun !

Donc si je simule une loi géométrique (chaque tirage de la loi étant un xi), l'histogramme des xi - m ne sera pas du tout Gaussien.
De même si je simule une Gaussienne.

Fun !

Ce qui serait Fun, ce serait que Dlzlogic réalise qu'il n'y a pas qu'en "analyse combinatoire" qu'il est notoirement incompétent.

Ce qui serait intéressant et naturellement très inattendu, c'est que Fun produise un exemple de ce qu'il trente d'énoncer.
Mais on peut toujours rêver, tout le monde sait qu'il se contente de dire "c'est pas vrai" ou "t'y connais rien".

Fun a écrit:De même si je simule une Gaussienne.

Et comment tu fais pour simuler une Gaussienne ?

Ce qui serait Fun c'est que Dlzlogic essaie par lui même la chose suivante :
- demander à un générateur aléatoire de tirer 1000 nombres
- tracer l'histogramme de ces 1000 nombres notés x1,..., x1000
- calculer la moyenne de ces 1000 nombres m et faire l'histogramme de x1-m, x2-m,...,x1000-m

Mais on sait bien qu'il ne le fera pas. Il fera autre autre chose. Et prétendras qu'il a raison.

Je crois que Sylviel avait fait un code pour que tu l'observes par toi même dans le fil sur Monte Carlo.
Mais bien sûr tu préfères dire que tous tes interlocuteurs ont tort plutôt que d'essayer de comprendre.

Bonjour Fun,
C'est pas la peine que je te demande pourquoi faire, je sais que tu ne répondras pas.

Code:

tirage de 1000 nombres pour FUN

Nombre = 1000  Moyenne = 484.52  emq=286.84  ep=191.22
Médiane = 491  min= 0  max=998
Rapport Emq/Ema = 1.16 Théorique = 1.25
Classe 1  nb=  0  0.00%   théorique 0.35%    |
Classe 2  nb=  0  0.00%   théorique    2%    |
Classe 3  nb= 110 11.00%   théorique    7%    |HHHHHHHHHHH
Classe 4  nb= 189 18.90%   théorique  16%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 5  nb= 198 19.80%   théorique  25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 6  nb= 207 20.70%   théorique  25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 7  nb= 171 17.10%   théorique  16%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 8  nb= 125 12.50%   théorique    7%    |HHHHHHHHHHHHH
Classe 9  nb=  0  0.00%   théorique    2%    |
Classe 10 nb=  0  0.00%   théorique 0.35%    |


Je crois savoir à quelle simulation de Sylviel tu veux faire allusion. Reste la question "est-il de bonne foi, donc incompétent ou n'a-t-il qu'un seul but : me contredire " ?
Tu as oublié de me dire comment tu faisais pour simuler une gaussienne.

Bonjour Fun,
D'abord, dans ton précédent message, tu laisses entendre que je fais une différence entre un histogramme des valeurs obtenues et celui des différences à la moyenne. Erreur volontaire pour nuire ou incompréhension ? je ne sais pas.
Tu ressors très astucieusement le cas de la loi exponentielle dont on a beaucoup parlé, suffisamment pour que je puisse renvoyer à des réponses déjà faites, mais là, c'est sous forme discrète, donc la loi géométrique.
Propose un contexte qui utilise la loi géométrique et je te fais la simulation.

Ce qui est fun c'est de penser que Dlzlogic crois que son tableau de nombre lui donne raison.
Alors que le tableau en question montre très clairement que ses pourcentages réels ne respectent absolument pas ses pourcentages théoriques...

C'est aussi fun de voir que Dlzlogic ne sait pas savoir ce qu'est un histogramme.

Et si, au lieu de prendre des "écart-probable", tu regardais le maximum, la minimum et divisait l'intervalle en dix ?
On verras alors si l'histogramme obtenu a une quelconque allure gaussienne, que ce soit l'histogramme des xi ou l'histogramme des xi-m.

Mais reposons la question sérieusement :
Affirmes-tu, Ô grand Dlzlogic, que peu importe la loi selon laquelle les xi sont tirés alors :
- l'histogramme des xi aura une forme de Gaussienne ?
- l'histogramme des xi - m aura une forme de Gaussienne ?
ni l'un ni l'autre ?

Wikipédia a écrit:En statistique, un histogramme est une représentation graphique permettant de représenter la répartition d'une variable continue en la représentant avec des colonnes verticales.

Oui, tu as parfaitement raison : un histogramme doit être représenté par des colonnes verticales et moi, je le représente par des colonnes horizontale.
C'est vrai je suis un ignorant.
Chacun ses défauts. Toi, tu ne réponds jamais aux questions.

Bonsoir,

Dlzlogic a écrit:

Code:

tirage de 1000 nombres pour FUN

Nombre = 1000  Moyenne = 484.52  emq=286.84  ep=191.22
Médiane = 491   min= 0  max=998
Rapport Emq/Ema = 1.16 Théorique = 1.25
Classe 1  nb=   0  0.00% théorique 0.35% |
Classe 2  nb=   0  0.00% théorique    2% |
Classe 3  nb= 110 11.00% théorique    7% |HHHHHHHHHHH
Classe 4  nb= 189 18.90% théorique   16% |HHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 5  nb= 198 19.80% théorique   25% |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 6  nb= 207 20.70% théorique   25% |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 7  nb= 171 17.10% théorique   16% |HHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 8  nb= 125 12.50% théorique    7% |HHHHHHHHHHHHH
Classe 9  nb=   0  0.00% théorique    2% |
Classe 10 nb=   0  0.00% théorique 0.35% |


et bien voilà une expérience aléatoire produisant une répartition non gaussienne. Nous sommes d'accord ?

Bonsoir Lisiane,
Je ne comprends pas ton intervention.

Lisiane a écrit:et bien voilà une expérience aléatoire produisant une répartition non gaussienne. Nous sommes d'accord ?

Que sais-tu de cette expérience ? Qui te dis qu'elle est aléatoire ? As-tu fait une expérience du même genre ? Qu'as-tu eu comme résultat ? Comment peux-tu juger que le résultat est gaussien ou pas ?
Je sais que ça fait beaucoup de questions à quelqu'un qui ne répond jamais aux questions, mais au moins je les aurais posées.
Nos derniers échanges concernent un sujet de régression où je t'ai précisé qu'il ne fallait pas intervenir sur un sujet où tu n'a rien à dire. C'est une question de politesse élémentaire.

Bonsoir Fun,
D'abord, pardon pour l'interruption de l'individu Lisiane. Je ne ferai pas de commentaire à son sujet.
Tu sais que le sujet des probabilités et de leur application, les statistique m'intéresse. Alors j'ai fait des calculs et j'ai trouvé que la probabilité que ton prénom ait pour initiale 'L' est 73.25%. Je vais améliorer ce pourcentage, et j'attaque la seconde lettre. Pour l'instant, j'en suis à 23%, donc inutile d'en parler.
Où en est-tu de ta méthode pour générer une gaussienne ?

Bonjour

Dlzlogic a écrit:

Code:

tirage de 1000 nombres pour FUN

Nombre = 1000  Moyenne = 484.52  emq=286.84  ep=191.22
Médiane = 491   min= 0  max=998
Rapport Emq/Ema = 1.16 Théorique = 1.25
Classe 1  nb=   0  0.00% théorique 0.35% |
Classe 2  nb=   0  0.00% théorique    2% |
Classe 3  nb= 110 11.00% théorique    7% |HHHHHHHHHHH
Classe 4  nb= 189 18.90% théorique   16% |HHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 5  nb= 198 19.80% théorique   25% |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 6  nb= 207 20.70% théorique   25% |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 7  nb= 171 17.10% théorique   16% |HHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 8  nb= 125 12.50% théorique    7% |HHHHHHHHHHHHH
Classe 9  nb=   0  0.00% théorique    2% |
Classe 10 nb=   0  0.00% théorique 0.35% |


Lisiane a écrit:et bien voilà une expérience aléatoire produisant une répartition non gaussienne. Nous sommes d'accord ?

Dlzlogic a écrit:Que sais-tu de cette expérience ? Qui te dis qu'elle est aléatoire ? As-tu fait une expérience du même genre ? Qu'as-tu eu comme résultat ? Comment peux-tu juger que le résultat est gaussien ou pas ?
Je sais que ça fait beaucoup de questions à quelqu'un qui ne répond jamais aux questions, mais au moins je les aurais posées.
Nos derniers échanges concernent un sujet de régression où je t'ai précisé qu'il ne fallait pas intervenir sur un sujet où tu n'a rien à dire. C'est une question de politesse élémentaire.

Je te demande si nous sommes d'accord sur un résultat simple, et tu réponds par une série de questions assez étonnantes par leur simplicité évidentes.
C'est toujours étonnant l'agressivité dont tu fais preuve. Alors moi aussi, je te fais un rappel à la politesse...

Je réponds à tes questions : en feras-tu autant ??
Que sais-tu de cette expérience ? ce que tu en as montré.
Qui te dis qu'elle est aléatoire ? mon petit doigt me dit que tu as utilisé un générateur aléatoire pour faire cette simulation.
As-tu fait une expérience du même genre ? oui, évidemment, c'est une expérience aléatoire de base.
Qu'as-tu eu comme résultat ? des résultats similaires aux tiens.
Comment peux-tu juger que le résultat est gaussien ou pas ? je fais la différence entre un rectangle (ce qui est le résultat de ta simulation) et une courbe en cloche.

Alors maintenant, à toi de répondre à ma simple question :
<< Voilà une expérience aléatoire produisant une répartition non gaussienne. Nous sommes d'accord ? >>

Bonjour Lisiane.
<< Voilà une expérience aléatoire produisant une répartition non gaussienne. Nous sommes d'accord ? >>
Ben non, je peux pas être d'accord et tu le sais bien.

Ce serait tellement plus simple que tu dises franchement ce que tu cherches à dire.
Si tu as une théorie à exposer, alors vas-y, mais soit clair.
Propose tes hypothèses, de façon qu'on puisse les comprendre, que l'on puisse répéter l'expérience que tu vas décrire.
Tu emploies le qualificatif "aléatoire" il faudrait le définir. Tu parles de "répartition" de quoi, par rapport à quoi ? Quels sont tes critères pour dire "non gaussien" c'est graphique (visuel) ou numérique ?
Donc, sois précis.

Dlzlogic a écrit:<< Voilà une expérience aléatoire produisant une répartition non gaussienne. Nous sommes d'accord ? >>
Ben non, je peux pas être d'accord et tu le sais bien.

Nous parlons de ta simulation qui a donné ton histogramme ci-dessus.

Je dis que cette expérience aléatoire a produit une répartition non gaussienne. Tu n'es pas d'accord... mais sur quoi ? sois précis !

1/ ce n'est pas une expérience ;
2/ ce n'est pas aléatoire ;
3/ il n'y a pas de répartition ;
4/ la répartition est gaussienne ;
5/ par principe de contradiction systématique.

Je pense que tu vas dire le 4/ , mais j'attends que tu confirmes.

Bon, tu interviens sur un sujet précis "la méthode de Monte-Carlo" en posant une question précise "<< Voilà une expérience aléatoire produisant une répartition non gaussienne. Nous sommes d'accord ? >>" Tu me demande si je suis d'accord, je réponds NON.
Par ailleurs, je précise qu'une question qui comporte une négation est sans intérêt.
Avant de voir des contre-exemples, il parait préférable d'étudier le cas général.
Donc, comme je l'ai écrit dans mon message précédent, expose ta théorie de façon claire et précise.

Dlzlogic a écrit:<< Voilà une expérience aléatoire produisant une répartition non gaussienne. Nous sommes d'accord ? >>"
Tu me demande si je suis d'accord, je réponds NON. 

et je te demande de dire en quoi tu n'es pas d'accord. Mais visiblement, tu n'arrives pas le dire...

Nous parlons de TA simulation qui a donné TON histogramme ci-dessus. Ce n'est pas ma théorie.
Je n'ai pas à préciser ce que tu as fait puisque tu le sais : c'est TA simulation.

Je dis que l' expérience aléatoire, que TU as simulée, a produit une répartition non gaussienne. Tu n'es pas d'accord... mais sur quoi ? sois précis !

1/ ce n'est pas une expérience ;
2/ ce n'est pas aléatoire ;
3/ il n'y a pas de répartition ;
4/ la répartition est gaussienne ;
5/ par principe de contradiction systématique.

Je pensais que tu répondrais 4/ , mais je commence à suspecter que c'est le 5/ , vu que tu ne justifies pas du tout ta négation.

Tu fais une affirmation négative. Tu me demandes si je suis d'accord, je réponds NON.
Fais donc une affirmation positive et je te dirai mon avis si tu me le demandes.

Je rappelle le TCL :
Soit une expérience quelconque, répétitive et de même protocole, alors la moyenne des résultats est la valeur le plus probable et la répartition des écarts des différentes mesures ou observations par rapport à la moyenne est celle de la loi normale.