Distinction entre variable aléatoire et résultat.

Unknown a écrit:\"Il est quasiment impossible que la covariance de deux variables soit nulle, sauf sur le papier. \"
Tu confonds la covariance de deux variables aléatoires \"sa valeur vraie\" et son estimation à partir de tirages.
Si X et Y sont indépendantes alors cov(X,Y)=0. Pas \"très petite\", 0. Ca ne veut pas dire que si je dispose de tirages indépendants (xi,yi), la covariance empirique sera égale à 0.
Tout comme si X est une variable d\'espérance nulle, ça ne veut pas dire que si je dispose de réalisations indépendantes (x1,...,xN) sa moyenne empirique sera 0.
Ce serait bien d\'arrêter de confondre moyenne de tirages et espérance.
Exemple : une variable uniforme sur {1,2,3,4,5,6} a pour espérance 3.5
Si je lance 1000 fois un dé équilibré, et que je somme le nombre de points qui est apparu et que je divise par 1000 j\'aurais a peu près 3.5.
\"Alors, pourquoi insister tellement sur ce point.\"
C\'est juste une conséquence basique, qui permet entre autre de montrer que \"les erreurs (indépendantes) se somment quadratiquement\" : Var(X+Y)=Var(X)+2cov(X,Y)+Var(Y)
donc Var(X+Y)= Var(X)+Var(Y) si X et Y indépendantes.
En général on insiste sur le fait que c\'est une condition nécessaire mais pas suffisante : deux va peuvent avoir une covariance nulle (exactement) sans être indépendantes.
\"Dans mon message précédent, j\'ai posé une question précise, qui admet une réponse précise.\"
Tu appelles ça une \"question précise\" ? Quelle rigolade. En plus la réponse ne va pas te plaire : ce n\'est pas une question de mathématique mais de modélisation. Donc \"ça dépend\", non pas du choix du matheux, mais du contexte précis.
Détaillons :
Donc si X_i est la position à l\'instant i et qu\'elle influence X_{i+1}, clairement X_i et X_{i+1} ne peuvent pas être indépendantes.
En revanche, en général, ce genre de problème dynamique se modélise ainsi :
X_{i+1} = X_i + u_i + e_i
où
Xi est toujours la position
ui est le controle qu\'on applique à l\'instant i (qui est typiquement une fonction de l\'écart entre la position réelle Xi et celle qui était visée)
e_i est l\'erreur aléatoire.
Souvent, mais pas toujours, les erreurs e_i sont supposées indépendantes et généralement Gaussiennes.
Le mot clef pour cette approche est \"modèle linéaire quadratique Gaussien\" (LQG), dont l\'un des résultats les plus employés est le filtre de Kalman.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Commande_LQG
ou http://www-sop.inria.fr/members/Pierre.Bernhard/cours/LQ.pdf
Pour conclure
\"Chaque position est un évènement au sens des probabilités et la variable aléatoire est la fonction qui produit chaque position.\"
est un contre sens.
Un évènement c\'est, par exemple, X_i \\in A où A est un ensemble donné, qui est une notation pour dire
\"l\'ensemble des omega dans Omega tel que X_i(omega) \\in A\".
{X_i = x}, où x est un point fixé, est un évènement aussi (\'ensemble des omega tel que X_i(omega)=x) mais généralement peu intéressant : dans un Modèle à erreur gaussienne il sera négligeable (c\'est à dire de probabilité nulle), quelle que soit le controle ou la variance de l\'erreur.
P.S:
\"envoie régulièrement des mails, via mon site, pour me répéter que je n\'y connais rien\"
Je ne fais pas que dire que tu n\'y connais rien, je te fourni s des explications précises et étayées de pourquoi ça se voit clairement. Comme tu refuses de faire le moindre effort de compréhension tu décrètes que je n\'explique rien.
\"Là j\'ai posé une question précise, il ne s\'est pas manifesté.\"
Et alors ?
Et les questions précises que je t\'ai posées, tu y as répondu ? Par exemple :
1) qu\'est ce qui est exponentiel dans \"https://dlz9.forumactif.com/t771-un-exercice-difficile\". Pour mémoire tu parles de \"loi de la fonction P\", mais tu ne défini pas de fonction P. Par ailleurs tu affirmes que c\'est exponentiel sans justification, et toutes les variables aléatoires en présence ne sont pas des exponentielles (rappel des faits : https://dlz9.forumactif.com/t780-la-methode-dlzlogic message 4)
2) dans quel document un peu sérieux \"somme de variable aléatoires\" est dis être autre chose que l\'addition de ces variables aléatoires ?
3) où est-il écrit dans le document de l\'EN, que Kolmogorov ne connait pas le TCL ? La phrase que tu cites dis simplement que la démonstration moderne d\'un résultat est différente de la démonstration historique. Cela n\'implique en rien que Kolmogorov ne connaissait pas un théorème aussi fondamental que le TCL. En revanche il est l\'auteur d\'un livre de référence sur les extensions du TCL.