Une démonstration de géométrie.

Bonjour,
Réf. https://www.maths-forum.com/cafe-mathematique/caracterisation-une-similitude-directe-t232073.html
En fait, j'ai deux choses différentes à dire concernant cette question.
D'abord une anecdote. Il y a quelques années une question était posée sur la décomposition d'une similitude. En gros, exactement la même question.
Un prof, lui a répondu : il faut faire une translation, une rotation et une homothétie.
C'est vrai, c'est une possibilité, mais (dans le cas général) une similitude direct est définie par une "homothétie-rotation".
Le professeur n'a pas apprécié mais n'a pas beaucoup insisté. J'ai cité le théorème, l'auteur du livre et la page, mais non, venant de moi, c'était forcément faux. Un certain Léon est intervenu soigneusement pour le faire savoir. Finalement, le modérateur de service m'a demandait si je fumais autre-chose que du tabac.

La seconde chose : d'abord je ne vois pas ce que vient faire le calcul matriciel dans le cadre de cette question. Je n'insisterai pas. La figure géométrique m'a intrigué. Je me suis demandé où son auteur voulait en venir.
Je ne suis pas sûr d'avoir trouvé, mais voila ce que je comprends.
C'est une figure fausse : on croit voir la représentation de deux vecteurs, ils se coupent en un point non nommé et l'angle entre les deux directions est nommé. On voit aussi deux cercles qui se coupent en deux points, l'intersection des deux directions et un point oméga. J'ai cru comprendre que le but de l'auteur de cette figure était de montrer que les deux cercles doivent être tangents et donc les deux points sont confondus.
Je n'aime pas du tout cette méthode qui consiste à montrer quelque-chose de faux.

Bonjour Dlzlogic,

Décidément, tu n'en loupes pas une ! Et dire que ce forum s'intitule "Géométriquement ... "



I est l'intersection de (AB) et (A'B'), et Oméga l'autre intersection des cercles circonscrits à IAA' et IBB' .

Oméga est le centre de la similitude qui envoie A sur A', B sur B', et alpha est l'angle de cette similitude.

Peux-tu comprendre ?

Non, là j'avoue que je n'ai pas compris.
J'ai peut être mal lu les noms des points.
Bon, pardon, j'ai relu l'énoncé il était effectivement question de trouver DEUX similitudes, l'une directe, l'autre indirecte.
Donc, je retire ma critique.

Le dessin ci-dessus correspond à la construction du centre de la similitude directe. As-tu compris cette construction (classique, attribuée à Euler) ?

Soit deux figures directement semblables, il existe (cas général) une homothétie-rotation et une seule pour passer d'une figure à l'autre. Le centre de rotation et le centre d'homothétie sont confondus.
Le centre de rotation est l'intersection de deux segments homologues.
Dans la pratique, il est courant de rajouter une translation. En ce cas il existe une infinité de transformations possibles.

Ce type de problème est courant en topométrie, on l'appelle "changement de base". Pour une meilleure précision, on utilise plusieurs points de base, bien que 2 suffisent à déterminer le transformation. Le méthode de calcul très utilisée est connue sous le nom de Helmert. Cette transformation conserve les angles. Etant donné les outils informatiques, il est préférable d'utiliser la transformation affine. Le nombre de points de base nécessaires est 3, mais il est préférable d'en avoir au moins 4 et de préférence une dizaine.

Bon d'accord. Tu n'as pas compris la construction d'Euler du centre de la similitude, illustrée par la figure.

Le centre de rotation et le centre d'homothétie sont confondus.
Le centre de rotation est l'intersection de deux segments homologues.

Dois-je comprendre que pour toi, le centre de la similitude est l'intersection des deux segments ? Tu vois bien que c'est faux.

Oui, tu as raison, j'avais oublié cette construction.
Mais j'avoue que c'est un peu loin.
Et j'avoue aussi que je me suis planté.