C'est quoi le TCL ?

Bonjour,
Il est intéressant de discuter des détails d'un énoncé, il est plus intéressant encore de savoir ce que cela représente.
Pour l'initier, je mets en lien un cours
https://mistis.inrialpes.fr/software/SMEL/cours/mp/node20.html
Je propose qu'il serve de support à la discussion, au moins pour commencer.
Ce document m'a été communiqué par Unknown.

"en calculant à chaque passage des réalisations de variables aléatoires indépendantes."
Personnellement j'aurais écrit : "en comptabilisant, à chaque passage les réalisations de la variable aléatoire étudiée".
Tous les documents sont d'accord sur la définition de "variable aléatoire", c'est une application. Cette application étant définie, chaque réalisation de l'expérience aléatoire produit un résultat que l'on appelle "variation aléatoire".

Wikipédia a écrit: Les réalisations d'une variable aléatoire, c'est-à-dire, les résultats des valeurs choisies au hasard en fonction de la loi de probabilité de la variable, sont appelés des variations aléatoires.

Il est vrai que dès que l'on voit "variables aléatoires" au pluriel, il y a ambiguïté et qu'en réalité il s'agit de variations aléatoires d'une unique variable aléatoire.
Exemple de variable aléatoire : un mobile commandé par un système automatique quelconque suit un trajet défini. Pour différentes raisons, il dévie de son trajet théorique. On mesure, à intervalle régulier, les positions de ce mobile et on note la suite des écarts par rapport à la position théorique. Il est bien évident que les écarts au temps t et au temps t+1 ne sont pas vraiment indépendants. Pourtant il n'y a qu'une seule variable aléatoire, la position à chaque mesure. On peut imaginer un exemple comparable où il y aurait deux variables aléatoires. La première serait les "différentes raisons" de l'expérience, la seconde serait le résultat d'une action extérieure, précise et identifiable.

A suivre.

L'énoncé du théorème 4.2 me parait parfaitement clair.
On déclare une valeur Zn qui à une constante multiplicative près est la différence entre la valeur vraie, µ, appelée "espérance" et la moyenne arithmétique des valeurs observées, appelée "moyenne empirique".
Il y a une petite imprécision sur la définition du terme "précision". Mais je ne rentrerai pas dans les détails.

Malheureusement, dans le seconde partie du document, apparait le terme "somme". Associé à l'ambiguïté entre "variables" et "variations", le texte devient incompréhensible. L'allusion à la loi exponentielle ne me parait justifiée que pour un lecteur connaissant parfaitement ces notions.

Bonjour

Dlzlogic a écrit:Malheureusement, dans le seconde partie du document, apparait le terme "somme". Associé à l'ambiguïté entre "variables" et "variations", le texte devient incompréhensible. 

Je trouve ce paragraphe parfaitement clair : des hypothèses limpides, une conclusion claire, une preuve rapide et suffisante.
C'est la même présentation, le même théorème, que dans tous les livres qui exposent le TCL (la preuve donnée étant parfois très différente).

Dlzlogic a écrit:pour un lecteur connaissant parfaitement ces notions.

exactement, il faut connaitre parfaitement les notions de base pour comprendre le TCL. Nous sommes d'accord.

Oui, le problème c'est on ne sait pas de quoi on fait la somme.
La première partie se suffit à elle-même, qu'apporte la seconde partie, je ne sais pas.
Quant à l'exemple de la loi exponentielle, elle est quelque fois appelée "loi sans mémoire", c'est très important, personnellement je considère que la loi exponentielle a besoin d'une autre information dépendant aussi du hasard, mais indépendamment de l'expérience elle-même.
Cas de la mort de l'atome ou d'un composant électronique, même si les éléments sont tous identiques, il y a une raison pour qu'ils claquent. Par ailleurs il y a le hasard qui fait claquer certains avant d'autres.
Cas de la caissière : la file des clients, dépend du hasard, ainsi que la possession d'un biller de 5 €. Par contre, le nombre de clients à qui elle rendra la monnaie dépend aussi du hasard, mais c'est en quelque sorte une autre variable aléatoire.
Quand on fait une expérience suivant la loi exponentielle, la valeur cherchée est la médiane (demie-vie). Si on veut appliquer le TCL, il ne faut pas faire des milliers voire des millions d'expériences, on ne pourra en tirer qu'une médiane, certes très précise, mais si on veut appliquer le TCL, par exemple pour calculer un intervalle de confiance, il faudra répéter l'expérience de façon a avoir plusieurs médianes.
Bon, je sais que je répète toujours le même chose, peut-être l'âge, mais sûrement une bonne compréhension du phénomène.

Il y a des quantités d'application du TCL.
Sur mon site, il y a les 2 exercices à la fin du papier "Notions de probabilités". Personne n'a encore répondu à ces deux exercices. Je sais que j'ai fait une faute de calcul pour la gestion de stock, mais pour le second, pas de réponse. Si c'était si clair, j'aurais eu des réponses.

Il y a des quantités d'application du TCL.
Sur mon site, il y a les 2 exercices à la fin du papier "Notions de probabilités". Personne n'a encore répondu à ces deux exercices. Je sais que j'ai fait une faute de calcul pour la gestion de stock, mais pour le second, pas de réponse. Si c'était si clair, j'aurais eu des réponses.

Bonsoir,
Concernant les exercices et surtout le second, Unknown m'a écrit ceci :

Unknown a écrit:Si, si on t\'as répondu : il manque des hypothèses. Et comme en maths on ne fait pas \"comme on veut\", on ne peut pas y répondre. Mais tu ne veux pas comprendre. Pas de notre faute.

Bon alors je propose que l'on donne des exemples d'hypothèses supplémentaires possibles.

[HS] Selon ses dires, Unknown n'est pas Fun4. Bien sûr je n'ai aucun moyen de vérifier et si j'en avais les moyens, je ne les utiliserais pas. Ceci dit, il est très désagréable d'échanger avec quelqu'un qui vous connait, mais dont on ignore le parcours.[/HS]
Pour les visiteurs qui se demandent comment il peut me contacter sans que je puisse lui répondre, il m'envoie un message, via mon site, et donne une adresse mail bidon. C'est du grand art.

Bonjour,
Dans ce contexte, il y une question intéressante qui date de 12 ans et qui a été remontée par son auteur dernièrement.
Réf. : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?13,472181
Il s'agit d'une suite. En probabilités et en statistique on s'intéresse généralement aux séries, c'est à dire que chaque élément est indépendant des autres et en particulier du précédent.
Là, il s'agit d'une suite, c'est à dire que chaque élément est calculé en fonction du précédent.
On est typiquement dans un cas où la répartition des valeurs par rapport à la moyenne n'a pas de raison de suivre la loi normale. Pourtant la forme de la courbe fait vraiment penser à une courbe de Gauss.
Mais le test emq/ema montre bien que ce n'est pas une courbe de Gauss.
Dans cette expérience, la valeur de U0 est importante. Par ailleurs il n'y a rien d'aléatoire.
Bref, ce n'est pas une exception, c'est une fonction qui pourrait laisser croire que le résultat serait proche d'une loi normale.