L'histoire de la caissière

Bonjour,
L'histoire de la caissière est revenue sur la tapis. Je recopie l'énoncé :

Gbzm a écrit:Prix de l'entrée 5€, clients qui paient leur place avec des billets de 10€ ou 5€, caissière qui a en caisse au début quelques billets de 5€, va-t-elle pouvoir rendre la monnaie jusqu'au bout ?

D'abord, il faut définir la variable étudiée : c'est le nombre de billets que la caissière pourra vendre, c'est à dire le nombre de clients à qui elle pourra rendre un billet de 5€ s'ils n'ont qu'un billet de 10€.
Il y a là deux éléments indépendants qui vont influer, l'état actuel de la caisse et le type de billet possédé par le client. Le premier élément dépend des clients précédents, il n'a donc aucun rapport avec le second élément.
Comparons avec la durée de vie d'un composant sans vieillissement et sans usure qui caractérise la loi exponentielle : tous les composants résultent de la même fabrication et chaque composant est indépendant des autres.
Dans le cas présent, c'est exactement la même chose, à un détail près : le nombre de place est limité, ce qui fait que l'expérience cesse lorsque toutes les places sont vendues. Si on veut faire la comparaison avec la durée de vie des composants, l'appareil qui contient ce composant est déclaré obsolète et on le jette, bien qu'il fonctionne encore.

J'ai simulé l'expérience.
D'abord, le nombre de billets vendus :

Code:: Proportions de billet vendus Nombre = 1000 Moyenne = 411.60 emq=370.04 ep=246.70 Médiane = 244 min= 10 max=1000 Rapport Emq/Ema = 1.14 Théorique = 1.25 Classe 1 nb= 0 0.00% théorique 0.35% | Classe 2 nb= 0 0.00% théorique 2% | Classe 3 nb= 0 0.00% théorique 7% | Classe 4 nb= 372 37.20% théorique 16% |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH Classe 5 nb= 260 26.00% théorique 25% |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH Classe 6 nb= 94 9.40% théorique 25% |HHHHHHHHHH Classe 7 nb= 40 4.00% théorique 16% |HHHH Classe 8 nb= 234 23.40% théorique 7% |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH Classe 9 nb= 0 0.00% théorique 2% | Classe 10 nb= 0 0.00% théorique 0.35% |

On observa la répartition très caractéristique de la loi exponentielle, sauf que la classe 8 accumule tout le reste de l'expérience : le nombre total est vendu.

Puis, j'ai répété cette expérience 500 fois et naturellement on observe la répartition normale.

Code:: Proportions de Caisse-vide : moyennes sur 500x1000 Nombre = 500 Moyenne = 778.84 emq=12.87 ep=8.58 Médiane = 779 min= 740 max=811 Rapport Emq/Ema = 1.25 Théorique = 1.25 Classe 1 nb= 1 0.20% théorique 0.35% |H Classe 2 nb= 10 2.00% théorique 2% |HH Classe 3 nb= 31 6.20% théorique 7% |HHHHHHH Classe 4 nb= 87 17.40% théorique 16% |HHHHHHHHHHHHHHHHHH Classe 5 nb= 116 23.20% théorique 25% |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH Classe 6 nb= 136 27.20% théorique 25% |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH Classe 7 nb= 78 15.60% théorique 16% |HHHHHHHHHHHHHHHH Classe 8 nb= 25 5.00% théorique 7% |HHHHH Classe 9 nb= 16 3.20% théorique 2% |HHHH Classe 10 nb= 0 0.00% théorique 0.35% |

Gbzm a écrit:Où est ton argument pour affirmer qu'il s'agit d'une loi sans mémoire ?

Je constate que tu n'as rien répondu à ça :

La situation de la caisse n'est évidemment pas la même si les cinq clients précédents avaient tous des billets de 10€, ou s'ils avaient tous des billets de 5€. Ça tombe sous le sens, non ? Alors, parler de loi sans mémoire dans ce cas, c'est vraiment faire preuve qu'on n'y comprend absolument rien.

Que veut dire "loi sans mémoire", pour toi ?
Supposons que la caissière démarre avec deux billets de 5€ en caisse. Penses-tu que la probabilité qu'elle puisse rendre la monnaie aux 50 premiers clients est égale à la probabilité, sachant qu'elle a réussi à rendre la monnaie aux 50 premiers clients, qu'elle puisse continuer à la rendre aux 50 suivants ?
Il paraît que tu argumentes. Vas-y, argumente !
Je prévois ta réaction tu vas te défiler. Et quand tu en auras marre d'étaler ton incompétence en n'ayant rien de sérieux à me répondre, tu vas me bannir.

Pour moi, la réponse est simple : que ce soit les 4 précédents ou les 4 premiers ou n'importe quelle autre situation ne change strictement rien au problème posé. Il s'agit de deux types d'évènements indépendants. La possession d'un billet de 5€ ou de 10€ par le client concerné n'a aucun lien avec la possession de tel ou tel billet d'un client déjà servi ou d'un client encore dans la file d'attente. C'est le principe des lois dites "sans mémoire".
Une loi dite sans mémoire se définit par le temps au bout duquel un évènement précis survient, par exemple, le claquage d'un composant. A cet instant on note le résultat et l'expérience est terminée. Puis on recommence l'expérience jusqu'à ce que l'évènement attendu se produise, on note le résultat et l'expérience est terminée.
On recommences ces expériences jusqu'à avoir le nombre de résultats souhaités. On calcule la moyenne, on vérifie que le rapport avec le médiane est bien log(2) et on obtient le résultat final.
C'est exactement ce que demande l'exercice de la caissière.

Oui, j'ai bien lu ta définition de la loi sans mémoire, je l'énoncerais plutôt de cette façon : la probabilité d'un élément de durer plus de T est 1/2 de la moyenne des médianes observées.

GBZM Messages : 1340 Date d'inscription : 05/06/2020

Comme prévu, tu te défiles et ne réponds pas à la question. Je la repose :

Supposons que la caissière démarre avec deux billets de 5€ en caisse. Penses-tu que la probabilité qu'elle puisse rendre la monnaie aux 50 premiers clients est égale à la probabilité, sachant qu'elle a réussi à rendre la monnaie aux 50 premiers clients, qu'elle puisse continuer à la rendre aux 50 suivants ?

N.B. : pour une loi sans mémoire, la probabilité de durer au moins 50h est la même que la probabilité, sachant qu'on a déjà duré 50h, de durer au moins 100h.

(Ce n'est pas "ma" définition de loi sans mémoire. C'est celle de TOUT LE MONDE - sauf toi ?)

Dattier Messages : 3071 Date d'inscription : 08/05/2019

Bonsoir,

Je ne participe pas, j'avais dit tous ce que j'avais à dire, sur le sujet, dans la conversation que GBZM avait ouvert sur mon forum.

C'était juste pour souhaiter la re-re...bienvenue à GBZM et de ne surtout pas hésiter à utiliser le secret que je lui avais confié Wink

Bonne soirée.

GBZM Messages : 1340 Date d'inscription : 05/06/2020

Imaginons toute une population de caissières qui démarrent chacune avec 2 billets de 5€ en caisse.
Au bout de 20 clients, environ la moitié des caissières ne peut plus rendre la monnaie : autrement dit, environ 50% des caissières a réussi à servir les 20 premiers clients en rendant la monnaie quand il le fallait.
Au bout de 40 clients, il ne devrait plus rester que le quart des caissières, n'est-ce-pas, s'il s'agit bien d'une loi exponentielle, ou plutôt géométrique, sans mémoire ?
Bien d'accord, Dlzlogic ?

Désolé, Dattier, mais je ne me souviens pas que tu m'aies appris quoi que ce soit sur ce sujet. Wink

Bon, je suis dans un bon jour, alors, une petite information.
Quand on veut détecter une loi du type "sans mémoire", c'est à dire géométrique ou exponentielle, il suffit de regarder dans la description de l'expérience si l’événement qui arrête cette expérience est fixée au départ ou dépend d'un évènement extérieur, même s'il dépend des différents évènement passés de la même expérience.
C'est à mon avis le gros problème du fameux "sachant que". En gros, qui sait quoi ? L'expérimentateur ou la mémoire interne de l'expérience.
Dans les docs, il est bien précisé que la connaissance des évènements passés ne donne pas d'information sur les évènements futurs, comme la loi des grands nombre le précise pour des expériences où elle s'applique. Il en résulte que la seule conclusion possible est pour un composant : quelle est la probabilité qu'il claque après cette date Tm, la réponse est 50%.

Bonsoir Gbsm,
Tu sais les devinettes, les "supposons que" ne me passonnent pas vraiment. Alors, désolé, je ne répondrai pas à ton énoncé.
Dans le cas présent, étant donné un nombre de places de cinéma, la question importante est "combien doit-on donner à la caissière de billets de 5e pour satisfaire tous les clients ?".
Dans un contexte plus réaliste, connaissant la moyenne de demie-vie des ampoules, quel stock doit-on prévoir pour les remplacer quand elle claquent. Pour une grande surface ce type de question n'est pas du tout anecdotique.

PS désolé, mais ce type de problème de stock me rappelle un exercice où pas mal de tes copains se sont plantés : "il faut prévoir 27 pièces de rechange, puisque les 27 pannes peuvent survenir le premier mois". Je sais bien que ces notions sont un peu difficiles à comprendre, mais c'est la base des probabilités.

GBZM Messages : 1340 Date d'inscription : 05/06/2020

Imaginons toute une population de caissières qui démarrent chacune avec 2 billets de 5€ en caisse.
Au bout de 20 clients, environ la moitié des caissières ne peut plus rendre la monnaie : autrement dit, environ 50% des caissières a réussi à servir les 20 premiers clients en rendant la monnaie quand il le fallait.
Au bout de 40 clients, il ne devrait plus rester que le quart des caissières, n'est-ce-pas, s'il s'agit bien d'une loi exponentielle, ou plutôt géométrique, sans mémoire ?
Bien d'accord, Dlzlogic ?

Pourquoi ne réponds-tu pas aux questions précises ? Tu te défiles encore une fois parce que tu sais bien au fond que ton histoire de loi sans mémoire pour la caissière c'est du flanc !

Ben oui, si ça te fait plaisir, c'est du flan, va raconter ça à un gérant de stock de pièces de rechange.

GBZM Messages : 1340 Date d'inscription : 05/06/2020

Tu es si peu sûr de toi que tu n'es même pas capable de reconnaître cette propriété fondamentale d'une loi sans mémoire ?

Imaginons toute une population de caissières qui démarrent chacune avec 2 billets de 5€ en caisse.
Au bout de 20 clients, environ la moitié des caissières ne peut plus rendre la monnaie : autrement dit, environ 50% des caissières a réussi à servir les 20 premiers clients en rendant la monnaie quand il le fallait.
Au bout de 40 clients, il ne devrait plus rester que le quart des caissières, n'est-ce-pas, s'il s'agit bien d'une loi exponentielle, ou plutôt géométrique, sans mémoire ?
Bien d'accord, Dlzlogic ?

Dattier Messages : 3071 Date d'inscription : 08/05/2019

@GBZM : pas grave, comme on le dit, tu as la mémoire courte.

Aller bonne dispute.

GBZM Messages : 1340 Date d'inscription : 05/06/2020

Puisque Dlz est bien incapable de donner une réponse sensée, voici ce qu'il en est.
Rappel des hypothèses :
1) Au début, la caissière a deux billets de 5€ en caisse
2) Chaque client arrive avec un billet de 10€ ou un billet de 5€, e manière équiprobable et indépendante de ce qui s'est passé pour les clients précédents. Bien entendu, cela ne signifie absolument pas qu'on a une loi sans mémoire pour le nombre de clients servis avant impossibilité de rendre la monnaie sur 10€ : l'état de la caisse dépend évidemment de l'histoire passée !

La probabilité que la caissière puisse servir au moins n=2k clients est égale à (C_{2k}^{k-1}+C_{2k}^{k}+C_{2k}^{k+1})/2^{2k} (les C sont les coefficients binomiaux). C'est un simple dénombrement des marches aléatoires symétriques sur Z de longueur 2k partant du niveau 2 et qui ne touchent jamais le niveau -1, et ce dénombrement s'effectue très simplement par le principe de réflexion (attribué à Désiré André).

Donnons quelques valeurs :
au moins 20 clients : 49,7%
au moins 40 clients : 36,4%
au moins 50 clients : 32,8%
au moins 100 clients : 23,6%

Il apparaît clairement que ça n'a rien d'une loi exponentielle ni même d'une loi géométrique.

On peut ajouter qu'il est presque sûr que la caisse va se trouver en défaut à un moment donné si on poursuit indéfiniment, mais par ailleurs l'espérance du nombre de clients servis est infinie.

Bonjour Gbzm,
T'as fait une simulation pour vérifier cela ?

PS. J'aimerais avoir au moins 3 valeurs de plus que les 4 que tu as données.

J'ai rajouté 3 valeurs moi-même, voilà la régression :

Je trouve que pour une exponentielle, c'est pas trop mauvais.

GBZM Messages : 1340 Date d'inscription : 05/06/2020

Facile. La probabilité qu'au moins n clients soient servis est :

n=10 : 65,6%, .
n=20 : 49,7%, .
n=30 : 41,5%, .
n=40 : 36,4%,
n=50 : 32,8%,
n=60 : 30,1%,
n=70 : 28,0%,
n=80 : 26,2%,
n=90 : 24,8%,
n=100 : 23,6%,
n=110 : 22, 5%,
n=120 : 21,6%,
n=130 : 20,7%,
n=140 : 20,0%,
n=150 : 19,3%,
n=160 : 18,7%,
n=170 : 18,2%,
n=180 : 17,7%,
n=190 : 17,2%,
n=200 : 16,8%

Ton ajustement exponentiel ne vaut pas tripette. As-tu remarqué qu'il vaut 72,4 pour X=0 alors qu'il devrait valoir 100 ? Et qu'il donne 22,4 pour X=200 alors que la bonne valeur est 16,8.

Une simulation, pour quoi faire ? Elle ne ferait que confirmer les résultats que je donne. Mais rien ne t'empêche d'en faire une. Je peux aussi t'expliquer la démonstration de la formule donnée plus haut - si tu penses pouvoir la comprendre (ce dont je doute).

Ben non pourquoi faire ? TOI tu sais, alors à quoi ça sert d'essayer d'échanger ?
Ceci dit, je trouve qu'avec tes nouvelles valeurs, ça fait une exponentielle tout à fait présentable.

Mais, t'as raison, ma régression, comme tout ce que je fais, ne vaut pas tripette. Tu es assurément le seul individu compétent en France et en Navarre.

PS Je tiens à préciser que je n'ai fait que montrer que ton calcul est très proche d'une exponentielle. Donc, si ton calcul représente effectivement une réponse théorique au problème de la caissière, cela confirme que la loi suivie par ce problème est très proche de la loi exponentielle.

GBZM Messages : 1340 Date d'inscription : 05/06/2020

Je confirme et on le voit bien sur ton graphique que l'ajustement exponentiel ne vaut vraiment pas tripette !
Ce n'est en aucune façon le problème que tu te débrouilles mal pour faire l'ajustement exponentiel. C'est juste que la loi n'est pas exponentielle, elle n'est pas sans mémoire.

Quand tu dis que c'est une loi exponentielle, tu racontes des salades : la preuve est là.

Tu es assurément le seul individu compétent en France et en Navarre.

Certainement pas. Par contre, je peux t'assurer que tu es assez unique dans le genre "incompétent se croyant plus compétent que tout le monde".

PS. As-tu remarqué que ton dernier ajustement exponentiel ne tend pas vers 0 quand X tend vers l'infini, mais tend vers 19. Pour une loui exponentielle, c'est tout de même un peu embêtant !

As-tu remarqué que mon ajustement utilise TES valeurs ?
La seule chose qu'on peut déduire de cette régression est que la formule que tu utilises donne un résultat proche d'une fonction exponentielle. Aucune Aucune autre conclusion n'est possible.
Aucun argument n'est non plus possible.

GBZM Messages : 1340 Date d'inscription : 05/06/2020

As-tu remarqué que mon ajustement utilise TES valeurs ?

Bien sûr, et comme mes valeurs sont exactes, la très mauvaise qualité de l'ajustement exponentiel (qui nécessite en plus un constante additive !!!) montre qu'il ne s'agit ABSOLUMENT PAS d'une loi exponentielle.

Ça se voit d'ailleurs directement puisqu'on passe :
- de la valeur 1 pour 0 à la valeur 0.328 pour 50 en multipliant par 0.328
- de la valeur 0.328 pour 50 à la valeur 0.236 pour 100 en multipliant par 0.720
- de la valeur 0.236 pour 100 à la valeur 0.193 pour 150 en multipliant par 0.818
- de la valeur 0.193 pour 150 à la valeur 0.168 pour 200 en multipliant par 0.870
Ce n'est donc ABSOLUMENT PAS une progression géométrique. car le rapport n'est pas constant, et de loin !

On peut parfaitement raisonner et tirer des conclusions, même si tu en es incapable. Pourquoi essaies-tu de faire passer des vessies pour des lanternes ? J'ose espérer que ce genre de blague est réservé à ta pratique forumesque, et que tu étais plus sérieux dans ta pratique professionnelle.

Ben oui, naturellement ton calcul théorique est approximativement une loi exponentielle, constante additionnelle comprise, cela n'a rien à voir avec la loi "exacte" de l'expérience de la caissière.
Petit indice : chaque nombre de clients satisfaits, je parle du dernier qui clôt l'expérience, n'a rien à voir avec ce qui s'est passé précédemment et l'étai du porte-feuille du client suivant. Il est bien évident que cet évènement dépend de l'étai de la caisse. Donc, le fameux "sachant que" qui te permet de faire ce calcul, "qui sait quoi ?" est hors-sujet. Ce que as du mal à comprendre, c'est que la situation instantanée de la caisse et la possession de tel billet du client sont des évènement parfaitement indépendants. C'est à dire que le "sachant que" n'a plus aucun sens.
Bizarre que tu ne sois pas capable de comprendre cela.
Ceci dit, continue tes insultes, j'y suis habitué. Apparemment, c'est ton seul argument de discussion.

PS Je pense que ta formule est une bonne approximation, le seul critère de vérification serait une simulation. Naturellement, tu dis que c'est inutile.

GBZM Messages : 1340 Date d'inscription : 05/06/2020

On peut conclure sur cette "histoire de la caissière".

Rappel des hypothèses :
1) Au début, la caissière a deux billets de 5€ en caisse
2) Chaque client arrive avec un billet de 10€ ou un billet de 5€, e manière équiprobable et indépendante de ce qui s'est passé pour les clients précédents.

On se demande quelle est la probabilité que la caissière puisse servir au moins n clients sans être à court de monnaie sur un billet de 10€.
Le problème est entièrement spécifié, il a une réponse exacte et unique que j'ai donnée pour le cas n=2k :

(binomial(2k, k-1) + binomial(2k, k) + binomial(2k, k+1)) / 2^{2k}

La démonstration de cette formule est tout à fait classique.

Cela ne relève absolument pas d'une loi sans mémoire, puisque l'état de la caisse à un moment donné dépend bien évidemment de ce qui s'est passé pour les clients précédents.
Et la loi du temps d'attente du premier défaut de monnaie n'est absolument pas une loi exponentielle.
Tout ce qu'il y a en commun avec une loi exponentielle, c'est que la probabilité que ce temps d'attente soit supérieur à n décroît vers 0 quand n tend vers l'infini. Mais pour une loi exponentielle, la décroissance est exponentielle, en exp(-n). Tandis qu'ici, la décroissance est en n^(-1/2), ce qui est totalement différent !

Tout est là, et ce que raconte Dlzlogic sur cette histoire de caissière n'est qu'un tissu de balivernes. Dernier exemple : "ton calcul théorique est approximativement une loi exponentielle, constante additionnelle comprise, cela n'a rien à voir avec la loi "exacte" de l'expérience de la caissière.".

L'histoire de la caissière

L'histoire de la caissière

Re: L'histoire de la caissière

Re: L'histoire de la caissière

Re: L'histoire de la caissière

Re: L'histoire de la caissière

Re: L'histoire de la caissière

Re: L'histoire de la caissière

Re: L'histoire de la caissière

Re: L'histoire de la caissière

Re: L'histoire de la caissière

Re: L'histoire de la caissière

Re: L'histoire de la caissière

Re: L'histoire de la caissière

Re: L'histoire de la caissière

Re: L'histoire de la caissière

Re: L'histoire de la caissière

Re: L'histoire de la caissière

Re: L'histoire de la caissière

Re: L'histoire de la caissière

Re: L'histoire de la caissière

Re: L'histoire de la caissière

Re: L'histoire de la caissière

Re: L'histoire de la caissière