Méthode de simulation.

Bonsoir,
La technique de simulation est souvent utilisée pour résoudre, ou au moins trouver un résultat numérique à un problème précis, que l'on arrive à bien définir, mais difficile à traduire numériquement. C'est le principe de la méthode de Monte-Carlo.
Il est courant de voir des simulations sur un très grand nombre de valeurs.
J'ai déjà signalé que cette méthode n'était pas forcément la meilleure. Il est préférable de faire un certain nombre de simulations, disons une centaine, d'un nombre assez limité. L'avantage principal et vraiment important est d'avoir une valeur de la répartition des écarts. En l'occurrence, il s'agit réellement de l'écart-type, puisqu'il s'agit d'expérience de même loi, c'est à dire de même procédure.

Il est clair que cette méthode est celle qu'impose la rigueur mathématique. Il est illusoire de produire un résultat sans préciser sa précision.

Bon Dimanche,
Comme je m'y attendais, Dlzlogic a verrouillé le fil où j'avais commencé à parler de la répartition des longueurs de cordes dont les extrémités sont prises au hasard sur le cercle, et de la façon dont la constante pi apparaît dans cette répartition.
Remarque en passant : c'est Dlzlogic lui-même qui avait introduit, une fois de plus, le sujet des longueurs de cordes dans ce fil, page 2 : https://dlz9.forumactif.com/t977p25-new-special-unknown#12726. Au bout de la page 6 et à court d'arguments, il décrète que c'est hors-sujet et ferme le fil.:
Je reproduis le début de cette présentation ici. Ça me semble approprié puisqu'il y avait justement une simulation avec un grand nombre de tirages de cordes au hasard. Et puisqu'il est question de mesurer l'écart-type, j'ai complété la simulation en faisant apparaître non seulement la moyenne, mais l'écart-type sur l'échantillon d'un million de cordes. Voici la simulation.

Code:

import random as rd
import numpy as np

n = 1000000
Cordes = [2*np.sin(np.pi*rd.random()/2) for i in range(n)]
moy=np.mean(Cordes)
et=np.std(Cordes)
print("Moyenne de l'échantillon : {:.4f}. Écart-type de l'échantillon :{:.4f}"\
     .format(moy,et))

Moyenne de l'échantillon : 1.2732. Écart-type de l'échantillon :0.6152

Et voici l'histogramme des longueurs de cordes :



La moyenne trouvée ne montre pas de rapport évident avec pi=3.14... . Comment pi se cache-t-il donc derrière la moyenne ? On verra ça bientôt.

En attendant, on peut discuter l'avantage pour la précision de la moyenne d'avoir un échantillon de grande taille. L'écart-type mesuré pour la répartition des longueurs est de 0.6152. L'écart type sur la moyenne de n résultats va donc être d'environ 0.62/racine(n). Si n est un million, cela fait 0.62 * 10⁻³. On peut donc affirmer avec raisonnablement de sûreté que la "vraie moyenne" des longueurs de cordes est entre 1.270 et 1.276.
Plus l'échantillon de la simulation est grand, plus on a de précision pour la moyenne (à partir du moment où la loi de probabilité a bien une espérance et une variance).

Bonjour,
Pour mémoire, le sujet que j'ai fermé hier n'avait rien à voir avec les intervention de Unknown. Celui-ce, il y a des années avait réagi sans appel en citant un bout de phrase de J.H. : "On peut pas savoir". Alors, si "on peut pas savoir", on se demande bien pourquoi J.H. attachait tant d'importance à ce point, citait Borel et utilisait ce "paradoxe" en introduction à son chapitre sur le hasard.

Bon, ici, on va parler de simulation et de méthode de simulation.
Pour un certain nombre de raisons, certaines simulations peuvent avoir un décalage dans la valeur de la moyenne. Prenons l'exemple de la durée de vie d'une ampoule électrique. Sa durée de vie est liée à deux paramètres, l'usure du filament et la valeur du paramètre de la fonction exponentielle.
Si on fait une simulation, il faudra que ces deux paramètres interviennent dans la formule.

Dans le cas présent de l'étude des cordes d'un cercle, la fonction de répartition est forcément du type exponentielle, puisque pour une corde, le résultat est binaire : elle est plus grande ou plus petite que le côté du triangle inscrit. Cette simulation est très comparable aux simulations de type exponentielle et on sait bien que les répartitions ne sont pas symétriques et surtout que la moyenne n'a pas vraiment de signification, contrairement à la médiane, justement parce que le résultat attendu est binaire.

L'écart-type est une unité de comparaison. Son calcul est basé sur la moyenne arithmétique (je pourrais développer). Si la moyenne n'a pas vraiment de signification, alors la valeur calculée pour l'écart moyen quadratique non plus et a fortiori si on l'appelle "écart-type".
Par contre, si on simule, disons 50 cordes définie par 2 points, un aura une valeur de la médiane qui sera la valeur de la probabilité obtenue avec cette méthode. On recommence 100 fois cette expérience, on obtiendra une répartition normale, et alors la moyenne et l'écart-type ont un sens.
Oui, je sais, j'affirme et je vais le faire et donner le résultat.

Dyslogic a écrit:
Dans le cas présent de l'étude des cordes d'un cercle, la fonction de répartition est forcément du type exponentielle, puisque pour une corde, le résultat est binaire : elle est plus grande ou plus petite que le côté du triangle inscrit.

Tu es sérieux quand tu écris ça ?
On a bien vu que la répartition des longueurs de cordes n'avait rien, mais absolument rien, d'une loi exponentielle.

Trêve de balivernes, revenons sur terre.
Quand le "pur hasard" choisit les extrémités de la corde", le demi-angle au centre de la corde est uniformément réparti entre 0 et pi/2. Notons t ce demi-angle au centre ; la longueur de la corde est 2*sin(t) : ceci explique la formule

Code:

2*np.sin(np.pi*rd.random()/2)

sur laquelle est construite ma simulation. L'espérance de la longueur de la corde est donc 2/pi fois l'intégrale pour t de 0 à pi/2 de 2*sin(t), ce qui fait 4/pi. Donc pi est égal à 4 divisé par l'espérance de la longueur de la corde.
Vérifions sur la simulation : on avait trouvé 1.2732 comme moyenne des longueurs de l'échantillon d'un million de cordes. Ça nous donne comme valeur approchée de pi : 4/1.2732 = 3.1417.  Je discuterai dans un prochain post de la précision de cette approximation.

Voila, J'ai fait 100 fois 500 tirages de corde.
Je n'ai pas utilisée la médiane, juste fait le calcul de moyenne.

Code:

 Longueur de cordes définies par 2 points.
Nombre = 100  Moyenne = 127.15  emq=2.85  ep=1.90
Médiane = 127   min= 115.81  max=134.23
Rapport Emq/Ema = 1.28 Théorique = 1.25
Classe 1  nb=   1  1.00%   théorique 0.35%    |H
Classe 2  nb=   0  0.00%   théorique    2%    |
Classe 3  nb=   7  7.00%   théorique    7%    |HHHHHHH
Classe 4  nb=  17 17.00%   théorique   16%    |HHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 5  nb=  24 24.00%   théorique   25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 6  nb=  25 25.00%   théorique   25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 7  nb=  20 20.00%   théorique   16%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 8  nb=   3  3.00%   théorique    7%    |HHH
Classe 9  nb=   3  3.00%   théorique    2%    |HHH
Classe 10 nb=   0  0.00%   théorique 0.35%    |



La moyenne est donc 1.27 avec un emq = 0.0285
Je crois que ça correspond bien à ton résultat.

Très bien, sur 50000 cordes tu as donc une moyenne des longueurs de 1.27, ce qui correspond bien au résultat théorique démontré 4/pi. Quand tu fais une simulation, tu arrives à des choses cohérentes.

Comme je l'ai écrit, je reviendrai sur les problèmes de précision liés à ces simulations (et par exemple sur l'écart-type sur les moyennes de 500 que tu trouves dans ta simulation), mais plus tard.

Petit aparté :
Il a été reproché à Levallois de parler de "variable éventuelle" alors que l'expression "variable aléatoire" était connue et utilisée depuis longtemps.
Quand Levallois par de "variable éventuelle" il parle de valeurs. Quand "on" parle de "variable aléatoire", on ne sait jamais s'il s'agit d'une application ou d'une valeur. Depuis quelques temps, dans Wikipédia, on peut lire que les valeurs renvoyées par un variable aléatoire sont appelées "variations aléatoires". Apparemment cette expression n'est pas utilisée.

Petit aparté :
Dlzlogic-Dyslogic, c'est Docteur Jekyll et Mr. Hyde. Quand il fait des simulations, il est capable de les faire raisonnablement et d'obtenir des résultats cohérents. Quand il se met à parler de théorie, il débite des inexactitudes à flot continu.

Dyslogic a écrit:Quand Levallois par de "variable éventuelle" il parle de valeurs.

Précisons : "Une variable est dite éventuelle quand elle peut prendre l'une quelconque des valeurs x_1x_2... de valeurs auxquelles sont attachées des probabilités a_1a_2...", dixit Levallois. Une variable éventuelle est un truc qui prend des valeurs , autrement dit une fonction. La variable éventuelle x, ce ne sont pas les valeurs x_1x_2 etc..

Dyslogic a écrit:Quand "on" parle de "variable aléatoire", on ne sait jamais s'il s'agit d'une application ou d'une valeur.

Tout le monde parle de variable aléatoire (y compris P. Lévy à partir des années 1930 : "Propriétés asymptotiques des sommes de variables aléatoires enchainées", 1934) ; Levallois, dans son cours de 1960, a plusieurs trains de retard. Et pour tout le monde une variable aléatoire est une fonction. Pour citer un auteur vedette :
J. Harthong : "Une variable aléatoire est une fonction définie sur l'espace des épreuves, à valeurs réelles".
fin de l'aparté

Revenons aux simulations et à la précision de leurs résultats.

On a calculé plus haut l'espérance de la longueur d'une corde dont les extrémités sont choisies au hasard sur le cercle.
Il n'est pas difficile de calculer son écart-type.
(Harthong p.132 : "Des cordes étant distribuées d'une manières aléatoire .... la longueur d'une corde est une variable aléatoire" ; pour la définition d'écart-type d'une variable aléatoire, voir page 139.)
L'espérance du carré de la longueur est 2/pi * l'intégrale pour t de 0 à pi/2 de 4 sin²(t), ce qui fait 2. Le carré de l'espérance est 16 / pi², donc la variance de la longueur est 2 - 16/pi² et son écart-type racine(2-16/pi²) = 0.6155...
La valeur trouvée avec le tirage d'un million de cordes rapporté plus haut était 0.6152.

Comme on connaît l'écart type de la longueur, on connaît l'écart-type de la moyenne de n longueurs :  0.6155/racine(n)
Pour n=500, ça fait 0.0275 à comparer au 0.0285 de la simulation de Dlzlogic.

D'ici quelque temps, je compléterai cette discussion par l'examen de la précision de l'approximation de pi par cette méthode.

Bonjour,
On est bien dans l'étude des simulations. En fait, ça ferait plus "sérieux" de parler de méthode de Monte-Carlo. Cette dernière se justifie par le fait que la densité des résultat est plus forte au voisinage de la valeur cherchée.
Dans le cas des simulations en général et en particulier dans celle dont on parle, corde définie par 2 points sur le cercle, il n'est pas rare que la répartition des résultats n'ait pas cette caractéristique de posséder un axe de symétrie.
Celle qui nous intéresse a deux bornes, 0 et 2. Que représente la moyenne arithmétique des longueurs de corde, en fait, pas grand chose. Voila un résultat avec 500 cordes :  

Code:

  Longueur de cordes définies par 2 points.
Nombre = 500  Moyenne = 1.27  emq=0.62  ep=0.41
Médiane = 1   min= 0.01  max=2.00
Rapport Emq/Ema = 1.15 Théorique = 1.25
Classe 1  nb=   0  0.00% |
Classe 2  nb=   5  1.00% |H
Classe 3  nb=  69 13.80% |HHHHHHHHHHHHHH
Classe 4  nb=  65 13.00% |HHHHHHHHHHHHH
Classe 5  nb=  75 15.00% |HHHHHHHHHHHHHHH
Classe 6  nb= 110 22.00% |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 7  nb= 176 35.20% |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 8  nb=   0  0.00% |
Classe 9  nb=   0  0.00% |
Classe 10 nb=   0  0.00% |



La dissymétrie évidente montre que le terme "moyenne" dans le sens "valeur la plus probable" ou "valeur a adopter" n'est pas vraiment approprié, pas plus que celui d'"espérance".
De même, l'écart moyen quadratique est de l'ordre de la moitié de la moyenne, soit une demie corde moyenne. Alors, lui donner le qualificatif d'écart-type, pour moi, ce n'est pas justifié.
J'ai écris de nombreuses fois que le qualificatif d'écart-type devrait être réservé lorsque la courbe de répartition est la courbe de Gauss représentative de la loi normale.
Je rappelle que j'ai utilisé mon outil habituel pour représenter la répartition.
Par contre, si on répète cette expérience alors la moyenne sera une moyenne de résultats et l'écart moyen quadratique pourra être appelé "écart-type", puisqu'il sera calculé à partir de valeurs comparables.
Il est clair que numériquement, dans le cas présent où les bornes sont fixées, c'est la même opération arithmétique de faire 100 fois 500 épreuves ou 50 000 épreuves, mais l'écart-type n'a pas la même signification.

Chose promise, chose due !

On passe de la moyenne des longueurs de cordes à l'approximation de pi par la fonction x |--> 4/x. La dérivée de cette fonction en 4/pi (l'espérance de longueurs de corde) est - pi²/4.
À une précision mesurée par l'écart type sigma sur la moyenne des longueurs correspond approximativement une précision donnée par l'écart-type sigma * pi²/4 pour la valeur approchée de pi. Avec un million de cordes tirées, l'écart-type pour la moyenne des longueurs est  0.62 * 10⁻³, ce qui donne un écart-type d'environ 1.53*10⁻³ sur la valeur de pi.

Si on fait maintenant 500 évaluations de la valeur de pi à partir des moyennes de 2000 longueurs de cordes, on obtient le bel histogramme à la Dlzlogic suivant :

La moyenne des 500 évaluations est 3.143, et l'écart-type de l'échantillon des 500 évaluations est 0.031.  En calculant de manière théorique comme ci-dessus, l'écart-type qu'on trouve est 0.034. Aucune surprise, simulation et théorie s'accordent bien.

Rien à redire sur la simulation de Dlzlogic Dr Jekill, à part que son outil de présentation des résultats n'est absolument pas adapté à une répartition qui n'est pas normale. Et la simulation montre bien qu'il y a des répartitions de variables aléatoires qui ne sont pas normales (Dlzlogic Dr Jekill nous en avait montré un autre exemple avec sa simulation sur les distances au centre des impacts). Sa moyenne 1.27 et son écart-type 0.62 collent très bien avec les valeurs théoriques 4/pi et racine(2-16/pi²).

Par contre, comme d'habitude, quand ******* Mr Hyde se met à pontifier sur la théorie, c'est la cata !

   La dissymétrie évidente montre que le terme "moyenne" dans le sens "valeur la plus probable" ou "valeur a adopter" n'est pas vraiment approprié, pas plus que celui d'"espérance".

Encore une fois, la moyenne de l'échantillon et l'espérance de la variable aléatoire ont parfaitement un sens et sont des notions pertinentes même quand la répartition n'est pas normale. L'évaluation de pi par l'intermédiaire de la moyenne des longueurs en est, me semble-t-il, une preuve éclatante.
Encore une fois, ******* Mr Hyde essaie de plaquer ce qu'il a appris dans le cadre applicatif de la théorie des erreurs à l'ensemble des probas, sans faire l'effort de comprendre les concepts probabilistes qui débordent de ce cadre étroit.

   De même, l'écart moyen quadratique est de l'ordre de la moitié de la moyenne, soit une demie corde moyenne. Alors, lui donner le qualificatif d'écart-type, pour moi, ce n'est pas justifié.

C'est la terminologie de la théorie des probabilités et de tous les probabilistes. Ça ne plaît pas à ******* Mr Hyde, mais c'est comme ça.

   Il est clair que numériquement, dans le cas présent où les bornes sont fixées, c'est la même opération arithmétique de faire 100 fois 500 épreuves ou 50 000 épreuves, mais l'écart-type n'a pas la même signification.

C'est sûr que l'écart-type de la variable aléatoire "longueur d'une corde" n'est pas du tout le même que l'écart-type de la variable aléatoire "moyenne de 500 longueurs de cordes".
Comme Dlzlogic Dr Jekill l'a constaté dans sa simulation, l'écart type sur la première variable aléatoire est racine(2-16/pi²) = 0.6155... . Cet écart type a bien un sens, la preuve c'est qu'il donne l'écart type pour la moyenne de 500 (la deuxième variable aléatoire) en divisant par racine(500) : 0.0275. Ça concorde bien avec l'écart-type trouvé par Dlzlogic Dr Jekill dans sa première simulation : 0.0285.

Bref, espérance et écart-type ont bien un grand intérêt pour les variables aléatoires même non normales, comme le montrent les simulations correctes de Dlzlogic Dr Jekill, et contrairement aux affirmations sans fondement de ******* Mr Hyde.

Oui, cela pourrait être une méthode de vérification d'un générateur.
C'est gentil de faire un parallèle entre mon pseudo et l'histogramme en 10 classes.
Et qu'est-ce qu'on pourrait mettre en parallèle avec ton pseudo ?
Des idées ? des propositions ?

Avec ma simulation 500 x 2000 j'obtiens 3.1412
Avec nos deux générateur, on arrivera peut-être à une valeur exacte de pi

Tu sais, GBZM, tu as le droit de raconter tout ce que tu veux; mais tu n'as pas le droit de m'insulter ou de transformer mon pseudo.
Je te prie de corriger ton message avant que je ne supprime.

C'est gentil de faire un parallèle entre mon pseudo et l'histogramme en 10 classes.

Il n'y a aucune allusion à l'histogramme en 10 classes dans le ********** Mr Hyde opposé à Dlzlogic Dr Jekill.
Dys, ce n'est pas dix.

Bonsoir,
Bien-sûr, il est tout à fait incorrect de restituer un message effacé par la modération, mais il me semble qu'il y a des choses plus importantes.
Petit préalable important : je vais soigneusement choisir que les termes que j'emploie. C'est à dire que toute intervention ou message que je jugerai inapproprié ou hors-sujet sera effacé.    

Gbzm a écrit:La moyenne des 500 évaluations est 3.143, et l'écart-type de l'échantillon des 500 évaluations est 0.031.  En calculant de manière théorique comme ci-dessus, l'écart-type qu'on trouve est 0.034. Aucune surprise, simulation et théorie s'accordent bien.

Il y a une simulation et une théorie.
Gbzm appelle théorie un calcul rigoureux de superficie. Ce n'est pas une théorie, c'est une application simple et directe du calcul intégral.
Si je fais erreur sur le terme théorie, je veux bien une explication.
Par contre le résultat d'une simulation pose problème, pour plusieurs raison :
1- que fait une simulation ? En terme de vulgarisation, une simulation génère des nombres de façon aléatoire. Quel est ce mode de génération ?
2- suivant quel principe une quelconque méthode de génération de nombres produirait une suite de nombre aléatoires ?
3- que signifie "aléatoire" ? comment peut-on définir des critères d'une suite aléatoire ?

Là, mes trois questions ont une solution dans la théorie des probabilités. Où trouver une explication et un formalisme de cette théorie ?

Gbzm appelle théorie un calcul rigoureux de superficie. Ce n'est pas une théorie, c'est une application simple et directe du calcul intégral.
Si je fais erreur sur le terme théorie, je veux bien une explication.

La théorie, c'est le b-a-ba de la théorie des probabilités (la vraie) qui nous dit, quand on a une variable aléatoire T (le demi angle au centre de la corde) uniformément répartie sur [0,pi/2], comment calculer l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire L = 2*sin(T) (la longueur de la corde), comment calculer à partir de là l'écart-type de la moyenne d'une suite de n variables aléatoires L1,...,Ln indépendantes de même loi que L. Ce calcul fait intervenir des intégrales très faciles à calculer, et le théorème sur les sommes de variables aléatoires indépendantes.

Par contre le résultat d'une simulation pose problème, pour plusieurs raison :
1- que fait une simulation ? En terme de vulgarisation, une simulation génère des nombres de façon aléatoire. Quel est ce mode de génération ?
2- suivant quel principe une quelconque méthode de génération de nombres produirait une suite de nombre aléatoires ?
3- que signifie "aléatoire" ? comment peut-on définir des critères d'une suite aléatoire ?

Non, les simulations que j'ai faites et celles que tu as faites utilisent des générateurs de nombres PSEUDO-aléatoires, qui conviennent très bien pour ce genre de simulation.
J'utilise pour ma part le random() de la bibliothèque random de python. Il donne des nombres pseudo aléatoires uniformément répartis dans [0,1[ par l'algorithme  Mersenne-twister documenté ici :
https://www.semanticscholar.org/paper/Mersenne-twister%3A-a-623-dimensionally-uniform-Matsumoto-Nishimura/098d5792ffa43e9885f9fc644ffdd7b6a59b0922
Voir aussi la page wikipedia : https://fr.wikipedia.org/wiki/Mersenne_Twister
Il ne peut pas servir à tout (en particulier pas pour des application cryptographiques), mais il est parfaitement adapté aux simulations de type Monte-Carlo, celles que nous faisons ici.
Il existe plusieurs batteries de tests (dont Diehard), basés sur des propriétés fines des suites de variables aléatoires indépendantes uniformément réparties, pour tester les générateurs de nombres pseudo-aléatoires. Ce n'est absolument pas mon domaine, mais quand toute une communauté de gens compétents s'accorde sur la qualité d'un générateur de nombres pseudo-aléatoires pour les usages que nous en avons, moi j'ai confiance. Et les résultats obtenus dans les simulations que je fais ont tout pour me conforter dans cette confiance.
Après, le générateur de nombres pseudo-aléatoires ne fait pas tout dans une simulation. Il faut aussi que le code traduise exactement les spécifications du problème.

Dlzlogic, as-tu des raisons de douter de tes simulations ? Si oui, peux-tu dire clairement ces raisons ?

Bonjour Gbzm,

Gbzm a écrit:Dlzlogic, as-tu des raisons de douter de tes simulations ? Si oui, peux-tu dire clairement ces raisons ?

Ben non, je n'ai aucune raison de douter des simulations.
Simplement j'aurais bien aimé qu'on précise la raison pour laquelle une simulation produit le résultat attendu et pourquoi tu affirmes avec autant de sérieux et autant de suffisance que le rattrapage du retard, dans le cas de pile ou face ou autres boules, c'est pas vrai.
En fait c'est toujours et encore la même chose : toi, tu sais, alors tout ce que peuvent dire les autres ne peut être que des bêtises.
Je sens que ce sujet ne restera pas longtemps ouvert.
En d'autres termes, j'aurais bien aimé qu'on discutes un peu sérieusement de cette question.
Je te rappelle que tu n'as pas encore trouvé un exemple d'application de la théorie des probabilités. C'est probablement ça qui te rend aussi agressif et bloque ton cerveau.

la raison pour laquelle une simulation produit le résultat attendu

C'est simple : parce que la prévision du résultat est faite selon la vraie théorie des probabilités, que le générateur de nombres pseudo-aléatoires utilisé est de bonne qualité et que le code de la simulation respecte bien les spécifications du problème. Tu as pu constater que ça marche très bien quand ces conditions sont réunies : les résultats de tes simulations correspondent aux résultats issus de calculs probabilistes élémentaires.

pourquoi tu affirmes avec autant de sérieux et autant de suffisance que le rattrapage du retard, dans le cas de pile ou face ou autres boules, c'est pas vrai.

Soyons précis.
Première affirmation : s'il y a eu au moins 60 piles dans les 100 premiers tirages, alors il y aura probablement plus de faces que de piles dans les 101 suivants. Ça, c'est faux : la probabilité qu'il y ait plus de faces est exactement 1/2. Tu n'es pas de cet avis ?
Deuxième affirmation : la proportion de piles parmi les n premiers tirages tend presque sûrement vers 1/2  quand n tend vers l'infini. Ça c'est un théorème (loi forte des grands nombres).
Troisième affirmation : la différence entre le nombre de piles et le nombre de faces au bout de n tirages tend vers 0 quand n tend vers l'infini. Ça, c'est complètement faux.
Quatrième affirmation : dans une suite de tirages, il y aura presque sûrement une infinité de temps où le nombre de piles est égal au nombre de faces. C'est un théorème, qui demande une démonstration pas tout à fait immédiate. C'est aussi un théorème que l'espérance du temps d'attente du premier retour à l'équilibre pile-face est infini.

j'aurais bien aimé qu'on discutes un peu sérieusement de cette question.

Tout à fait d'accord. Quand vas-tu te mettre à être sérieux ?

Aucune discussion n'est possible avec toi, je ferme le sujet