Course de robots

Bonjour,
Réf. : https://www.ilemaths.net/sujet-course-de-robots-890402.html
Un nouvel exercice de Flight.
A mon avis, ce qui est intéressant, c'est la méthode de calcul.

Bonjour,
La suite de la discussion sur l'ile est intéressante.
En ce qui me concerne, c'est là que le terme "espérance", très mal utilisé par ailleurs prend tout son sens.
La définition est "produit de la probabilité par le gain". Donc deux petites multiplications et puis c'est tout.
L'intervention de Verdurin montre bien qu'il n'a pas compris ce qu'était l'espérance.

Le message de Gbzm mérite à mon avis une réaction.

Bonjour,
Cet exercice a intéressé de nombreux membres.
Pour moi, c'est particulièrement intéressant, d'une part, on constate que la notion d'espérance n'est pas vraiment très claire pour tout le monde. Par exemple, pour Wikipédia, c'est l'intuition et pour une grande majorité de matheux, c'est la valeur vraie, généralement inconnue.
Pourtant la bonne définition de l'espérance est très claire : le produit du gain par sa probabilité.

Autre point : les simulations. Il y a deux approches différentes :
soit faire une simulation avec un grès grand nombre d'épreuves
soit faire quelques simulation avec un nombre limité d'épreuves.
La seconde méthode est bien préférable, ne serait ce que par le fait que l'on peut comparer les différents résultats et avoir ainsi une idée précise de la dispersion.

Bonsoir,
Gbzm ne voulait pas rester de côté concernant cette question du type probabiliste.
Bien sûr son énoncé est fait pour contredire les notions fondamentales des probabilités. C'est dommage mais c'est comme ça.
Ce qu'il expose est le cas connu de l'escargot qui avance sur une planche de 10 mètres le long, de 5mètres le jour et recule de 3 mètres la nuit. La question posée est : quand arrivera-t-il au bout de la planche.
Observation typique de l'incompétence connue de Gbsm : il fait la simulation 1000000 fois, alors qu'une centaine aurait suffit. simplement il oublie que si un robot fait des grands pas de 10 mètres, il arrivera très vite au bout de 100 mètres. Si la distance à parcourir était plus grande (j'ai fait la simulation) le résultat ne serait pas le même.
En fait je me demande si Gbzm est incompétent ou s'il prend les autres pour des imbéciles. Probablement les deux.

Bonjour,
Si un ou une professeur enseigne les probabilités à des étudiants, il me parait indispensable qu'il (ou elle) en apprenne les rudiments.
Suite à son intervention, j'ai fait une petite simulation = je prends un dé à 6 faces ordinaire. Je le lance 6 fois, pourquoi pas, et j'ajoute les scores.
Je ne sais pas si cette loi a un nom, peut-être loi uniforme. Vassillia proposait une loi binomiale non symétrique, je vais le faire aussi.

Code:

Dé à 6 faces de valeurs 1 à 6
Nombre = 1000  Moyenne = 21.00  emq=4.20  ep=2.80
Médiane = 21.00 Min = 8.00  Max 33.00
    Rapport EMQ/EMA = 1.25  théorique 1.25
Classe 1  nb=  3  0.30%       théorique 0.35%    |H
Classe 2  nb=  16  1.60%         théorique    2%    |HH
Classe 3  nb=  79  7.90%         théorique    7%    |HHHHHHHH
Classe 4  nb= 189  18.90%     théorique  16%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 5  nb= 256  25.60%     théorique  25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 6  nb= 190  19.00%     théorique  25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 7  nb= 166  16.60%     théorique  16%    |HHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 8  nb=  79  7.90%         théorique    7%    |HHHHHHHH
Classe 9  nb=  18  1.80%         théorique    2%    |HH
Classe 10 nb=  4  0.40%       théorique 0.35%    |H
 

Le résultat de l'expérience est typiquement conforme à la loi normale.

Et voilà avec une pièce truquée :

Code:

pièce déséquilibrée 1/6 5/6
Nombre = 1000  Moyenne = 50.06  emq=3.08  ep=2.06
Médiane = 50.00 Min = 39.00  Max 59.00
    Rapport EMQ/EMA = 1.25  théorique 1.25
Classe 1  nb=   5  0.50%     théorique 0.35%    |H
Classe 2  nb=  14  1.40%     théorique    2%    |HH
Classe 3  nb=  60  6.00%     théorique    7%    |HHHHHH
Classe 4  nb= 215  21.50%     théorique   16%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 5  nb= 241  24.10%     théorique   25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 6  nb= 244  24.40%     théorique   25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 7  nb= 160  16.00%     théorique   16%    |HHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 8  nb=  52  5.20%     théorique    7%    |HHHHHH
Classe 9  nb=   8  0.80%     théorique    2%    |H
Classe 10 nb=   1  0.10%     théorique 0.35%    |H

On remarquera le rapport emq/ema caractéristique de la répartition normale qui est bien 1.25

Bonjour,
J'aimerais bien des réactions concernant cette affirmation :

Verdurin a écrit:Ce qui a entraîner mon premier message est la croyance fausse que E(1/X)=1/E(X) où X est une variable aléatoire

pour X prend deux valeurs 2 et 3
fais le calcul

Salut Beagle,
Il est bien précisé que X est une variable ALÉATOIRE.
On est dans l'environnement aléatoire, donc la théorie à appliquer est la théorie des probabilités et non de l'arithmétique.
D'ailleurs, ça va même plus loin que ça : il est indispensable de définir E(), c'est à dire l'espérance. et là, le moins que l'on puisse dire, c'est que c'est très flou.

X est une fonction qui va dans IR non?
elle prend bien des valeurs dans IR ta fonction X , non?

Oui, mais X n'est pas n'importe que quoi, c'est une variable aléatoire, donc la loi des grand nombres et la loi normale s'applique.

Bof, j'espère que ce cours n'est pas donné à trop d'étudiants.

Par contre, j'ai observé que dans ce cours la définition de l'espérance est bonne (produit du gain par la probabilité) c'est assez rare pour le signaler.

Bien-sûr, comme le rappelle Gbzm, la moyenne harmonique n'est pas égale à la moyenne arithmétique.
Mais, pourquoi parler de moyenne, alors qu'il s'agit d'espérance ?
C'est un exercice de probabilité posé par Flight. la question posée est "sur quel robot parier ?".
Si on applique la définition de l'espérance, et il s'agit bien de cela, alors on compare le produit du gain par la probabilité pour chaque robot et on choisi celui qui a la plus grande valeur.
Je peux observer que à force de contredire, de chercher des contre-exemples en prenant bien soin d'oublier le hypothèses, on oublie les bases de la théorie.
J'attends avec impatience qu'on me dise que la théorie de la gravitation universelle n'est pas vraie : preuve les avions volent.
J'ai déjà eu un contre-exemple avec Neptune ou je ne sais plus quelle planète, peut-être Saturne.

La remarque de Verdurin est intéressante.
Il est vrai que dans le système arithmétique, la moyenne harmonique n'est pas égale à la moyenne arithmétique. Bien-sûr, tout le monde ne le sait pas forcément, mais ce que Verdurin semble ignorer, c'est qu'ici, on est dans un univers probabiliste. même si les opérations arithmétiques restent valables, les notions et relations dans un cadre probabiliste ne s'appliquent pas aux notions élémentaire de arithmétique.
Pour faire simple, la composition de deux écarts n'est pas la somme de ces deux écarts.
Mais, là, je crois que cela dépasse le niveau de connaissance et de compréhension de nombreux matheux.
Par contre si X est une va iid et E() est la fonction "espérance" habituellement admise, alors E(1/X) ~ 1/E(X).

Bonjour,
Je suis content que ce message ait plu à Léon.
Je commence à comprendre à quel point ces notions de probabilités peuvent complètement hors de portée de certains matheux.

Bonjour,

J'aimerais apporter un complément $|g(E(X))-E(g(X))|\leq 1/2 ||g''||_\infty  V(X)$.

PS : $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$

Bonne journée.

Salut Dattier,
Je ne sus pas sûr de tout comprendre le code Latex.
Je suppose que tu mets en évidence la nécessité d'avoir des valeurs strictement positives.
Je suppose aussi que tu calcules la variance.
Oui, bien-sûr, je ne suis pas rentré dans les détails. J'ai seulement voulu préciser qu'une liste de valeurs résultant d'une expérience aléatoire avait des caractéristiques qui dépassait l'arithmétique élémentaire. En l'occurrence, ça s'appelle la loi des grands nombres.

J'ai voulut juste préciser des conditions pour que g(E(X)) soit proche de E(g(X)).

J'ai cherché une manière de le démontrer, mais je sèche un peu.
Voilà mon raisonnement. Il vient de la visualisation du postulat de la moyenne.
Soit une liste le valeurs observées d'une même chose suivant le même protocole.
Si on classe ces valeurs par ordre croissant, par exemple.
On calcule la moyenne entre la première et la dernière valeur.
On calcule la moyenne entre la deuxième valeur et la n-1 ième.
Etc. On observe que ces différentes moyennes sont très proches.

Si on remplace toutes ces valeurs par leur inverse, et qu'on réalise le même calcul. On va observer que ces différentes moyenne des inverses sont très proches. Et par conséquent l'inverse de cette moyenne sera très proche de la première moyenne générale.
Pour un nombre infini de valeurs, elle seront égales. C'est un peu intuitif, mais j'ai pas mieux.

Si X> M et V(X) <M, avec M grand, alors E(1/X) est de l'ordre de 1/E(X) à 1/(M**2) près.

J'avoue que je ne comprends pas ta ligne.
Quand on écrit E(X), c'est quoi X ?
A priori X est une variable aléatoire, c'est à dire quelque-chose d'abstrait.
Si on écrit E(X) = A, cela veut dire que l'espérance de la variable aléatoire X vaut A.
En d'autres termes si on met en œuvre une expérience conformément à la variable aléatoire X, on va obtenir des valeurs x1, x2, ... xn et si on fait la moyenne arithmétique, on obtiendra une valeur M proche de A, lequel A est généralement inconnu.

Alors, que veut dire X > M ?
Que veut dire V(X) < M ?
Si M est une valeur numérique, en l'occurrence la moyenne résultant d'un expérience, alors je ne comprends pas.
Il ne faut pas oublier que V(X) (si c'est bien la variance) alors, c'est un carré, comparable à rien du tout.

V(X) est un nombre réel fixé c'est la variance.

X>M veut dire que la fonction X prend des valeurs plus grande que M.

M est un nombre réel positif fixé.