Retournement de pièces.

Bonjour,
Et si on revenait au retournement de pièces ?
GBZM donne le résultat précis de 42 + 2/3 pour l'espérance du nombre de coups dans le cas de 5 pièces. Ce résultat précis indique, à mon avis, que c'est un calcul, pas une simulation. Ce calcul, je vois comment le faire à partir de la description du protocole (équiprobabilité pour la pièce qu'on retourne, et aussi indépendance des coups). Je suppose, Dlzlogic, que vous avez suivi le même protocole dans votre simulation.
Le calcul que je sais faire relève de la théorie des chaînes de Markov absorbantes, qui est exposé ici :
https://www.idpoisson.fr/berglund/probamass_html/node18.html
On a n+1 états, chaque état est étiqueté par le nombre de pièces qui ont pile visible : 0,1,2,...,n. L'état n est absorbant : quand on y est arrivé, on a terminé, on s'arrête, et on finit presque sûrement par y arriver. On trouve très facilement la matrice de transition P entre les états.
Il suffit alors d'utiliser le théorème 3.6 pour obtenir l'espérance du temps d'arrivée aux n piles visibles (inutile d'écrire une fois de plus que j'applique sans comprendre, je comprends très bien la démonstration de ce théorème).
J'ai de mon côté écrit le petit programme qui fait ce calcul (j'insiste, ce n'est pas une simulation). Je trouve bien 128/3 pour 5 pièces.  Je trouve aussi 416/5 pour 6 pièces, et 74752/63 pour 10 pièces.
Il n'y a rien de magique à ce que vous retrouviez un résultat qui coîncide à peu près pour 5 pièces : cela indique qu'ici vous avez réalisé correctement la simulation, selon le protocole indiqué.
Remarquez que le calcul donne quasi-immédiatement le résultat dans le cas de 10 pièces, alors que d'après ce que vous écrivez on ne s'en sort pas avec une simulation.

Bien sûr, et cela montre aussi que le calcul matriciel qui a une importance énorme dans la théorie des chaînes de Markov (comme vous avez pu en juger d'après la page que j'ai donnée en lien) est bien utile.

Une application pratique de quoi, s'il vous plait ?

Il y a un article marrant sur des hypercubes de résistances qui est en lien direct avec l'histoire de retournement de pièces. Je redonne le lien :
https://arxiv.org/pdf/0904.1757.pdf
Mais je doute que vous considériez ça comme une application pratique.
Comme je l'ai dit, on peut voir ce problème comme une instance de chaîne de Markov et les chaînes de Markov interviennent dans pas mal de domaines que l'on peut considérer comme pratiques. Je ne suis pas spécialiste de ce sujet, mais vous pouvez voir les Travaux Pratiques de ce cours :
https://helios2.mi.parisdescartes.fr/~rlachiez/enseignement/markov/Markov.pdf

Je vous trouve très négatif. Les algorithmes derrière les moteurs de recherche, ça ne présente aucun intérêt pour vous ?

Il me semble avoir déjà répondu :

Il n'y a rien de magique à ce que vous retrouviez un résultat qui coîncide à peu près pour 5 pièces : cela indique qu'ici vous avez réalisé correctement la simulation, selon le protocole indiqué.

Pour être plus précis : les calculs mathématiques, quand ils sont menés sérieusement, ce n'est pas du pipeau, et une simulation bien faite, correspondant exactement aux données du problème, ne pourra que valider les résultats de ces calculs. Vous n'êtes pas d'accord ? Que cherchez-vous de miraculeux dans cet accord entre théorie et expérimentation ?