Un exercice étonnant

Bonsoir,
Réf. : https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/2337289/theoreme-central-limite-et-convergence-en-probabilite
J'aimerais bien avoir une idée de la part de Humx3

Bonjour Dlzlogic,
Cet exercice illustre le fait que le chapitre suivant du programme de l'agrégation :

11.3 Convergences de suites de variables aléatoires
(a) Convergence en probabilité, dans Lp, presque sûrement, en loi. Inégalité de Markov, inégalité de Bienaymé-Tchebychev, théorème de Lévy.
(b) Loi faible et loi forte des grands nombres. Théorème central limite.

a un contenu qui n'est pas évident. Il y a plusieurs façons de converger qui ne sont pas équivalentes. La loi faible des grands nombres parle de convergence en probabilité. Le théorème central limite parle de convergence en loi.
Cet exercice met le doigt sur le fait que la convergence en probabilité est strictement plus forte que la convegence en loi.

Bonjour,
En tout cas, j'en connais qui doivent frétiller de plaisir de pouvoir démontrer que le TCL est faux. C'est à dire démontrer que la théorie des probabilités, c'est complètement du pipeau, donc une bonne raison de sécher les cours. Je ne sais pas les arguments pour y arriver, mais venant de super-matheux, ça ne peut être que vrai.

Vous me demandez des informations, je vous réponds en vous les donnant : il y a plusieurs notions de convergence, le théorème central limite donne la convergence en loi et pas la convergence en probabilité.
Au lieu d'essayer de comprendre (ce sont des notions pas tout à fait évidentes, ça demande du travail), vous intervenez de façon très désagréable et racontez une fois de plus des bêtises. le TCL n'est pas faux, il a des hypothèses d'intégrabilité et sa conclusion est une convergence en loi vers la loi normale. En mathématiques, ce n'est pas comme on veut, il faut être précis dans l'énoncé des théorèmes
J'ai l'impression que vous vous sentez agressé parce qu'il y a des notions un peu pointues de théorie des probabilités que vous ne connaissez pas. Ça devrait au contraire vous réjouir qu'il y ait des choses nouvelles à apprendre. Moi, je suis toujours émerveillé d'aborder de nouveaux sujets en mathématiques et de comprendre petit à petit ce qu'il s'y passe.

Si vous voulez vous renseigner sur les différentes notions de convergence en théorie des probabilités :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Convergence_de_variables_al%C3%A9atoires

Oui, je connaissais ces nuances, mais j'avoue ne pas avoir creusé pour la raison suivante : l'étude des probabilités est intéressante dans un contexte réel observable. J'ai bien compris que ce type d'étude était strictement applicable à des contextes strictement abstraits. Donc on utilise les termes d'un contexte réel à des applications abstraites. Je peux imaginer que ça puisse intéresser certains, mais pas moi.
Suite à une question sur un forum, je me suis intéressé à un sujet concret. J'ai trouvé cela utile et j'ai voulu en faire part. Je vous laisse imaginer le résultat.
http://www.dlzlogic.com/aides/Lorenz_Gini.pdf

En fait, je constate que le bilan général est le suivant :
les probabilités utilisées dans un contexte réel observable sont peu étudiées, voire ignorées
il existe un chapitre des mathématiques qui a pour titre "probabilités" qui étudie des notions abstraites, par définition non vérifiables.

On aura compris que les matheux ne s'intéressent pas aux probabilités dans le contexte réel, et moi, le contexte abstrait ne convient pas.
Pour le présent fil, il n'est pas utile de perdre son temps ici. Je l'ai ouvert simplement parce que le but d cet exercice était de démontrer que le TCL était faux.
Petit HS à propos du TCL.
Lors de mes premiers échanges dans ce domaine, il y a 20 ans, j'ai énoncé le second théorème de Bernoulli. On m'a dit "c'est pas vrai ... etc" et on m'a donné un lien sur Wikipédia : le TCL. J'ai comparé mot à mot cette définition et la mienne, c'était strictement la même.
Un certain temps plus tard j'ai relu la définition de Wikipédia, elle avait doublé de longueur et était devenue incompréhensible.

le but d cet exercice était de démontrer que le TCL était faux.

Absolument pas. Si vous connaissez vraiment les différentes notions de convergence, pourquoi rabachez-vous cette bêtise ? Le but de l'exercice est de montrer qu'il faut être soigneux dans la formulation des théorèmes et que le théorème central limite concerne la convergence en loi et pas la notion plus forte de convergence en probabilité.

Oui, quand j'ai cité la phrase "pour montrer que le TCL est faux", c'était simplement pour dire ce qui avait attiré mon attentions.
Je n'aime pas beaucoup qu'on dise que je "rabâche des bêtises". Il m'arrive d'employer des expression un peu fortes, mais ce ne sont jamais des bêtises, ou alors si quelque-chose m'a échappé, il faudrait me le préciser.

Je cherche à montrer (exercice trouvé sur une vieille feuille de TD) que le théorème central limite est faux pour la convergence en probabilité.

Dans la formule donnée, on met n en facteur et un simplifie par n.
Ensuite on compare la moyenne des Xi et l'espérance m. Ils ne seront jamais égaux. Mais ce n'est certainement pas pour autant que le TCL serait faux pour je ne sais quelle convergence.
Simplement cette notion "tend vers" peut être interprétée de différentes façon, suivant les besoins.

La formulation du questionneur est maladroite, et normalement on comprend ce qu'il veut dire quand on lit "pour la convergence en probabilité". Dans mes deux premiers messages, je vous ai expliqué de quoi il retourne. Je précise, puisque vous me le demandez : c'est une bêtise de maintenir, après les explications que j'ai données, que le but de l'exercice est de montrer que le TCL est faux.

Oui, j'ai bien compris que vous n'acceptez pas ma solution à l'exercice.
Pour info, j'ai beaucoup cherché la "source" de ce TCL. La seule chose que j'ai trouvée, c'est l'ambiguïté concernant le titre, mauvaise traduction allemand->français ? Mais je n'ai rien trouvé d'autre. Je voudrais bien savoir si P. Lévy utilise cette expression.

Je confirme que votre "solution" n'en est pas une.

Donc Yn [=formule] converge en 0 oui ou non ?

Non. La variable aléatoire Y_n de l'énoncé corrigé converge en loi vers une variable gaussienne standard (théorème central limite).

Je n'avais pas vu la correction.
Mais de toute façon cet énoncé ne me passionne pas vraiment.

Alors pourquoi avez-vous voulu en parler ?

Je l'ai dit, parce qu'il y avait la phrase "pour démontrer que le TCL est faux", ça m'a vraiment amusé.