Interdépendance de deux variables

Bonjour 
Le sujet récemment discuté (si on peut dire) sur les courbes de Lorenz est tout à fait en lien avec celui-ci.

openclassrooms.com/forum/sujet/interdependance-de-deux-variables#message-89614607

Prenons le jeu de données suivant :
Individu n° // Taille // Richesse
1  //  80  //  100
2  //  100 //  120
3  //  110 // 110
4  //  120  //  90
5  //  90  //  80
Si on trace les 2 Courbes de Lorenz de ces 2 séries de données, les courbes vont se superposer parfaitement (Pour tracer une courbe de Lorenz, on classe les valeurs par ordre croissant, ici 80 90 100 110 120 pour les  2 axes, puis on fait un graphique en fréquence cumulée).
Comme les 2 courbes se superposent parfaitement, on va conclure qu'il y a corrélation parfaite.
Alors que la corrélation est faible, voire nulle

La conclusion était bien établie :
Cette méthode ne fonctionne donc pas du tout pour décider si deux variables sont corrélées ou non.

Bonjour,

Montrer la corrélation dépendance ou non, de 2 variables est un problème difficile.

Si la question était vraiment tranchée, alors on n'aurait pas de pseudo aléatoire : du faux aléatoire généré de manière déterministe et, pour l'instant, indiscernable du vrai.

Donc tout teste de corrélation dépendance, à ses points forts et ses défauts...


Bonne journée.

La corrélation entre deux séries statistiques est une question ultra classique. Il y a de bons tests, pas très compliqués, pour cela.

Une méthode qui commence par trier par ordre croissant (ou par classes) les séries statistiques ne peut évidemment plus percevoir la dépendance ou l'indépendance des deux.

L'hypothése de Riemann est une question ultra classique d'arithmétique...

Ces tests pas compliquées, sont là pour mettre en évidence des dépendances affines (ou un certain type de dépendance) et non une dépendance quelconque.

Bref, une méthode n'est pas bonne ou mauvaise à priori, elle est bonne dans son domaine de validité et mauvaise en dehors...

PS : j'ai changé l'occurence des mots "corrélation", par "dépendance", en effet dans le titre il est question d'interdépendance et non juste de corrélation.

Vous parlez de corrélation linéaire ok.
Ne pas confondre la corrélation et l'indépendance.

La dépendance entre deux variables aléatoires n'est pas forcément linéaire, et les tests (chi2 par exemple, méthode simple !) de dépendance ne supposent pas de linéarité.

Par ailleurs , vous parlez du domaine de validité d'une méthode. Très bien. Connaissez-vous les courbes de Lorenz ?

Regardez l'exemple du premier post. On considère deux variables aléatoires qui peuvent prendre les valeurs 80, 90... 120.
Les valeurs prises sont exactement les mêmes, donc les courbes de Lorentz seront exactement les mêmes.
Quelle conclusion cela implique t'il quant à la dépendance ou l'indépendance et des deux variables ? Il n'y a évidemment aucun lien.

De plus, bien sûr deux variables aléatoires dépendante peuvent avoir des cours de Lorenz très différentes

Conclusion 
À moins de dire que des variables qui suivent une même loi de probabilité sont dépendantes (ce qui est totalement farfelu), il n'y a aucun lien entre les courbes de Lorenz et la dépendance entre variables aléatoires

Pour ce qui est des courbes de Lorenz pour déterminer une éventuelle dépendance entre 2 variables, je ne connaissais pas, jusqu'à avoir lu le papier de Dlzlogic.

Pour le domaine de validité, il faut demander à Dlzlogic.

PS1 : j'ai cru comprendre, que sa méthode ne s'applique que pour un grand nombre de données, pour ton exemple tu as seulement les valeurs pour seulement 5 personnes, c'est vraiment pas bezef.

PS2 : si X et Y va indépendante (aux sens des probas) et de même loi, alors X et Y ont un lien de dépendance (aux sens français) entre elles, en effet elles ont même loi.

Bonsoir,

Code:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def Lorenz(L,lab) :
    som=np.sum(L)
    l=len(L)
    abs=np.arange(0,1,1/(l+1))
    S=np.sort(L)
    Sompart=[0]
    for s in S : Sompart += [Sompart[-1]+s]
    ord=np.array(Sompart)/som
    plt.plot(abs,ord,label=lab)
    plt.legend(loc='best', frameon=False)
    
def TestLorenz(n,M,P,Q,R) :
    A=np.random.default_rng().uniform(0,1,n)
    B=np.random.default_rng().uniform(0,1,n)
    C=np.random.default_rng().uniform(0,1,n)
    D=np.random.default_rng().uniform(0,1,n)
    X=np.round(M*(A+B),decimals=2)
    Y=np.round(P*(C+D),decimals=2)
    Z=np.round(Q*(A+B)+R,decimals=2)
    Lorenz(X,"X")
    Lorenz(Y,"Y")
    Lorenz(Z,"Z")
    plt.show()

Commentaire : on voit que X et Y sont indépendants, tandis que Z est une fonction affine de X.

Code:

TestLorenz(1000,88,33,20,60)

Dattier, 
Vous voulez un exemple avec 5000 valeurs , tous les nombres compris entre 1 et 5000 , je peux le faire !
Vous donner 5000 valeurs n'a aucun intérêt. Se donner 5 valeurs à un intérêt pédagogique pour comprendre l'idée de la démonstration.

Si vous avez lu le document de Dlz, vous avez dû comprendre qu'il faisait une erreur d'appréciation sur le potentiel de la méthode. Mais vu votre remarque sur le nombre de valeurs, j'ai un doute sur le fait que vous ayez compris le souci.

Et le souci de la méthode est simple à expliquer : deux variables aléatoires qui suivent la même loi de probabilité, sur de grandes séries vont donner des courbes de Lorenz quasi identiques. Mais évidemment on ne peut pas déclarer qu'elles sont dépendantes ou indépendantes...


PS
Par ailleurs, quand on me parle de dépendance entre deux variables aléatoires, je pense faire des mathématiques avec le vocabulaire mathématique,  et non étudier le vocabulaire français avec un Petit Robert. Comme vous avez dit il y a pas longtemps, chacun sa réalité.

La discussion est maintenant ici
dlz9.forumactif.com/t2008-courbe-de-lorenz#23998

@Léon : N'ayons pas peur des mots tant que ceci ont un sens clair.

Je t'invite à lire le fil de GBZM sur Lorenz, Dlzlogic est entrain de s'y expliquer.

Bonne soirée.

Je vous invite à traduire les propos de Dlz,
car ils sont mathématiquement incompréhensibles.

Bonjour,

Hun a écrit:Je vous invite à traduire les propos de Dlz,
car ils sont mathématiquement incompréhensibles.

Il me semble que je parle et que j'écris à peu près en Français.
La question posée à l'origine et qui m'a fait étudier cette question, était posée par quelqu'un qui avait certainement un très faible formation mathématique, mais qui s'intéressait, probablement de part son métier, au développement des enfants dans des pays peu développés.
On a l'impression que les mathématiques ne sont faites que pour embêter les élèves et pour occuper certains professeurs. Ben non, les mathématiques sont faites pour servir à ceux qui en ont besoin et certains enseignants feraient bien de comprendre cela.

Hun a écrit:Si vous avez lu le document de Dlz, vous avez dû comprendre qu'il faisait une erreur d'appréciation sur le potentiel de la méthode.

Par simple curiosité, j'aimerais bien savoir l'erreur d'appréciation que j'ai faite.

Dlzlogic a écrit:Bonjour,

Il me semble que je parle et que j'écris à peu près en Français.

Par simple curiosité, j'aimerais bien savoir l'erreur d'appréciation que j'ai faite.

Bonjour 
Oui , vous utilisez des mots français, vos phrases sont grammaticalement bien faites, l'orthographe est très bonne, aucun souci de ce côté.
En revanche, mathématiquement, cela ne tient pas.

Vous aimeriez savoir l'erreur d'appréciation que vous faîtes ? Nous sommes deux à l'expliquer depuis plusieurs jours ! Et sur le site web signalé en premier post, on vous l'a expliqué il y a 9 ans...
openclassrooms.com/forum/sujet/interdependance-de-deux-variables#message-89614607

La première chose que vous devriez faire pour avancer, c'est de traité numériquement les exemples qu'on vous donne, et non les rejeter systématiquement.

HumHunHum a écrit:Et le souci de la méthode décrite par Dlzlogic est simple à expliquer : deux variables aléatoires qui suivent la même loi de probabilité, sur de grandes séries vont donner des courbes de Lorenz quasi identiques. Mais évidemment on ne peut pas déclarer qu'elles sont dépendantes ou indépendantes..

Évidemment, Dlzlogic n'est pas Lorenz.

Lorenz a utilisé ses courbes pour vérifier une équitable distribution dans une population.

Dlzlogic veut les utiliser pour savoir si deux variables aléatoires sont dépendantes ou pas.

Ce n'est pas Lorenz qui se trompe ! C'est celui qui emploie les courbes pour un objectif autre chose que leur emploi initial,  un objectif qu'elles ne peuvent clairement pas atteindre.

Là, je vais répondre.
Vous parlez de deux variables aléatoires qui suivent la même loi de probabilité. Vous devriez développer.
Oui, il y a une variable que l'on peut appeler A = "taille", une autre que l'on peut appeler B = "richesse".
Si la variable A dépend de la variables B , alors on peut dire que ces variables ne sont pas indépendantes et les courbes de Lorenz seront presque confondues. On peut conclure que le développement des enfants dépend du niveau de richesse.
Par contre, si la variable A est totalement indépendante de le variable B (cad dans ce pays tous les enfants mangent tous à leur faim et sont soignés de la même façon), alors on observera que les courbes sont bien différentes.
Bien-sûr, c'est une application directe de la théorie des probabilités, laquelle est ignorée de quelques (beaucoup) de matheux.

A propos de loi de probabilités : oui, c'est la même loi, les enfants sont choisis au hasard.

PS Evidemment, le tracé de ces courbes n'a de sens que si les observations résultent d'une enquête aléatoire, sans faute ni tricherie. Le tracé de courbes suivant des valeurs artificielles n'a donc aucun sens.

Dlzlogic a écrit:Si la variable A dépend de la variables B , alors on peut dire que (...) les courbes de Lorenz seront presque confondues

c'est faux : Si la variable A dépend de la variable B, alors les courbes de Lorenz peuvent être presque confondues ou très différentes  !
Si on choisit aléatoirement une boule, A son rayon et B = 4/3 Pi R^3 le volume de cette boule, les deux variables sont liées
et sur des séries vous verrez des courbes de Lorenz totalement différentes.

Par contre, si la variable A est totalement indépendante de le variable B, alors on observera que les courbes sont bien différentes.

c'est faux : Si la variable A est indépendante de la variable B, alors les courbes de Lorenz peuvent bien différentes ou presque confondues !
Si on choisit aléatoirement deux boules de rayon A et B, alors les deux variables A et B sont indépendantes
et sur des séries vous verrez des mêmes courbes de Lorenz.

Voulez vous traiter les exemples qu'on vous donne ? au lieu de continuer à affirmer que les gens ne connaissent rien aux probabilités.

Le tracé de courbes suivant des valeurs artificielles n'a donc aucun sens.

aucun sens pour vous, c'est votre moyen de refuser de réfléchir à vos erreurs.
Vous affirmez sans donner d'exemple, et vous refusez tous les exemples qu'on vous donne. Que dire de plus ?

Les courbes de Lorenz n'ont jamais été utilisées pour enquêter sur l' (in)dépendance de DEUX variables aléatoires.
Ces courbes sont introduites pour vérifier UNE équitable distribution dans une population. Donc rien à voir avec ce que vous croyez.

Bonjour,

Si la variable A dépend de la variables B , alors on peut dire que ces variables ne sont pas indépendantes et les courbes de Lorenz seront presque confondues

C'est faux, la variable Z de mon exemple est une fonction affine de X et les courbes de Lorenz sont totalemùent différentes.

Par contre, si la variable A est totalement indépendante de le variable B (cad dans ce pays tous les enfants mangent tous à leur faim et sont soignés de la même façon), alors on observera que les courbes sont bien différentes.

C'e'st faux, les vairables X et Y de mon exemple sont indépendantes mais leur courbes de Lorenz sont identiques.

A propos de loi de probabilités : oui, c'est la même loi, les enfants sont choisis au hasard.

La personne qui écrit cela prétend donner des leçons de probas  ?  

Hun a écrit:Vous affirmez sans donner d'exemple, et vous refusez toues les exemples qu'on vous donne. Que dire de plus ?

Il me semble que j'ai donné pas mal d'exemples dans mon papier.
La seule différence c'est que les listes utilisées dans mes exemples, sont des listes réelles, alors que celles de vos exemples sont artificielles.

Humx3 a écrit: A propos de loi de probabilités : oui, c'est la même loi, les enfants sont choisis au hasard.

La personne qui écrit cela prétend donner des leçons de probas ? Very Happy

J'ai demandé à Hun de développer ce qu'il voulait dire à propos de loi de probabilité. Je n'ai pas eu de réponse. Pourrez-vous m'expliquer ?

Vous vous cachez derrière des mots "réels / artificiels" , "honnêteté / tricherie" ...
Pour vous, même les rayons et volumes des boules sont artificiels. Que dire de plus ?

Les courbes de Lorenz n'ont jamais été utilisées pour enquêter sur l' (in)dépendance de DEUX variables aléatoires.

Ces courbes sont introduites pour vérifier UNE équitable distribution dans une population. Donc rien à voir avec ce que vous croyez.

Je n'ai pas eu de réponse

Vous tenez tant à nous montrer que vous ne lisez pas les réponses ? cela n'étonne personne.

Hun a écrit:Les courbes de Lorenz n'ont jamais été utilisées pour enquêter sur l' (in)dépendance de DEUX variables aléatoires.
Ces courbes sont introduites pour vérifier UNE équitable distribution dans une population. Donc rien à voir avec ce que vous croyez.

C'est la raison pour laquelle j'ai étudié ce point et écrit ce papier.

oui, cela se comprend bien.

Malheureusement,

HumHunHum a écrit:
Si la variable A dépend de la variable B, alors les courbes de Lorenz peuvent être presque confondues ou très différentes  !
Si on choisit aléatoirement une boule, A son rayon et B = 4/3 Pi R^3 le volume de cette boule, les deux variables sont liées
et sur des séries vous verrez des courbes de Lorenz totalement différentes.

Si la variable A est indépendante de la variable B, alors les courbes de Lorenz peuvent bien différentes ou presque confondues !
Si on choisit aléatoirement deux boules de rayon A et B, alors les deux variables A et B sont indépendantes
et sur des séries vous verrez des mêmes courbes de Lorenz.

ce qui explique pourquoi votre méthode personnelle (même courbes de Lorenz <=> variables liées) est clairement incorrecte.

HumHunHum a écrit:il n'y a aucun lien entre les courbes de Lorenz et la dépendance entre variables aléatoires

Je pense que vous n'avez pas bien capté que les courbe Lorenz et l'indice de Gini représentent des notions de richesse, santé, argent, c'est à dire la répartition de ces "avantages" dans une population donnée, ce qui est exactement leur application dans mon étude.

les courbes de Lorenz peuvent être utilisées pour représenter la répartition d'UNE valeur cumulative au sein d'une population, pas seulement les revenus ou la richesse.
C'est l'emploi classique des courbes de Lorenz, pas de souci. Ne vous inquiétez pas, je l'avais bien compris.

Je (beaucoup de personnes) pense que vous n'avez pas capté que les courbes de Lorenz ne peuvent pas cerner l'(in)dépendance entre DEUX variables, contrairement à ce que vous dites dans votre étude.
Et cela est clair avec tous les exemples donnés (par plusieurs personnes), montrant vos affirmations mathématiquement erronées.