D872 : Ces fonctions existent-elles ?

Salut,


https://artofproblemsolving.com/community/c7h3335762_d872__does_these_functions_exist


Bonne recherche.

Salut Dattier,
Tes problèmes sont généralement, voire toujours, largement hors de ma portée.
Dans le cas présent, je suppose que R+ veut dire de le domaine est les nombres réels positifs.
Une petite approche, f et g sont forcément du premier degré en x.
J'essaye d'imaginer ce qui se passe au voisinage de x=0. A gauche, on a 4^3 et à droite 1+4 donc c'est impossible.
Et au voisinage de +oo, si on ne garde que les valeurs de degré 3, à gauche x^3 et à droite f * x² + g * x² = x² * (f + g)
En simplifiant x = (f + g)
f = ax + m g=bx + n m et n sont négligeables d'où x = x (a + b) ce qu impose que a et b sont compris entre 0 et 1.
C'est là que les valeurs 4^3 et 1² et 2² rendent impossible cette équation.
Il faut aussi préciser que les deux côtés du signe '=' sont monotone.

f et g sont croissantes continues mais pas forcément dérivables.

Bonsoir Dattier,
J'ai jamais dit qu'elle qu'elles étaient dérivables, sauf erreur, j'ai simplement montré ou essayé de montrer qu'elle ne pouvaient pas exister.
Mais j'avoue que ces notions très particulières me sont bien étrangères.

Bonjour

Dlzlogic a écrit:
f = ax + m  g=bx + n  m et n sont négligeables d'où x = x (a + b) ce qu impose que a et b sont compris entre 0 et 1. 

Tu prends pour f et g des fonctions polynômes, or ce n'est pas forcément le cas.

Bonne journée.

Salut Dattier,
Je n'imagine pas comment f et g pourraient être autre-chose que des fonctions polynomiales.
Pourrais-tu donner un exemple simple indépendamment de toute autre considération ? C'est à dire un cas possible par exemple sur R.
La relation donnée est une équation. généralement on se pose la question de trouver des solutions, là, on se pose la question de la possibilité d'existence d'une telle équation.

Lis la discussion sur aops, SolarisXXX a donné une solution très astucieuse, la solution que j'avais en tête est basé sur la D875.

Désolé, trop compliqué pour moi.