Traitement des courbes de Bézier.

Bonjour,
https://www.maths-forum.com/lycee/calculer-les-coordonnees-intersection-courbe-droite-t213153.html
Ce type de problème est fréquent dans le monde professionnel en CAO.
Je ne suis pas sûr que les matheux apportent une solution intéressante.
D'abord, il est quasiment certain que la question est posée dans un contexte informatique. Donc je répondrai dans ce contexte.
Un arc de courbe de Bézier, qu'il soit quadratique ou cubique a l'avantage de faciliter les problèmes de dessin L'équation de degré 3, comme la parabole est très compliquée, dans le cas général. Il en résulte que en aucun cas, à ma connaissance, on essaye de la calculer et encore moins de chercher des intersections.
Par contre, la division de ces arcs de courbes en segments est très rapide.
Donc, la solution consiste à diviser la courbe en segments avec la précision désirée et on est ramené à une simple intersection de deux droites.

PS Je ne connais pas très bien les courbes de Bézier cubiques, j'utilise la parabole.
La figure définit un arc de parabole et un seul. Si c'est un arc de degré 3, il me semble qu'il y en a un très grand nombre (certains diraient une infinité). Donc, tel que posé, le problème me parait indéterminé.
Par ailleurs, je n'ai toujours pas compris la raison pour laquelle on utilise souvent des arcs cubiques.

Bon, GBZM a répondu. Si le demandeur a espéré une formule "simple", il va être déçu.
L'arc de Bézier est défini par les tangentes aux extrémités.
Hypothèse, cette courbe est définie dans un repère "vertical", c'est à dire que les directions asymptotiques sont parallèles à l'axe des Y.
Je regarde cela.

PS. Je rectifie en partie mes messages précédents. Dans le figure indiquée, il y 4 points de contrôle, c'est à dire que le sommet de courbe n'est pas l'intersection des 2 tangentes mais le polygone P1, P2, P3, P4 constitue la définition de l'arc. L'arc est donc bien défini. Bon courage pour calculer l'intersection cherchée autrement que par la division en segments.
J'ai l'intuition que ce sujet restera sans solution.

J'ai imprimé l'image et j'ai dessiné le sommet de courbe, d'une part en considérant l'arc de degré 3, d'autre-part en considérant l'arc de degré 2. Graphiquement, il n'y a pas de différence. Il est vrai que le graphisme est assez plat.
Il faudrait faire le test avec des configuration où le point d'intersection des tangentes est assez loin. Mais ça intéresse qui ?

Bonjour,
J'ai lu les derniers échanges.
Bon, quand un professionnel pose une telle question, habituellement, on lui donne le résultat, bien ficelé, prêt à l'utilisation. Apparemment ce n'est pas ce qui se passe.
Il faut tout de même savoir que le dessin en informatique ne peut faire que "tracer un segment d'un point à un autre". Sauf si ce segment est strictement vertical ou strictement horizontal, il sera toujours dessiné en escalier. Si un opérateur veut dessiner une courbe, il aura besoin d'un informaticien pour transformer cette courbe en ligne polygonale. Mais cela n'empêche pas qu'on peut aussi avoir des résultats "exactes" avec la précision qu'on s'est fixée. Par exemple, quand je calcule l'intersection d'une droite et d'un arc de cercle, je fais le calcul rigoureux avec rayon, centre etc., par contre, quand je fait l'intersection d'une droite et d'un arc de parabole, je transforme l'arc de parabole en ligne polygonale. Pour info, il est tout à fait justifiable d'assimiler un arc de cercle à un ou plusieurs arcs de parabole.

Bon, là, on a un peu plus d'explications.
Le point suit une courbe de Bézier existante. Pourquoi du 3è degré ? est-ce indispensable ? La parabole convient parfaitement à ce type de chose. La transformation d'une parabole en ligne polygonale est une opération informatique très rapide. On est ensuite ramené à l'intersection de deux lignes polygonales.
Mais ça marche aussi avec une courbe de degré 3. J'ai le module qui utilise la parabole et, étant le très grand nombre de traitement réalisés, s'il y avait eu un problème, je le saurais.

Je crois avoir compris l'intérêt des courbes de Béziers de degré 3.
Je rappelle que les courbes de Béziers sont utilisées pour dessiner "à main levée" des courbes. La méthode est très efficace, puisque agir sur un point de contrôle modifie immédiatement l'ensemble de la courbe.
Les courbes de degré 3 permettent d'avoir de point d'inflexion.
Si le quadrilatère formé par les 4 points de contrôle est non-croisé (forme de U), alors la courbe n'a pas de point d'inflexion, les demi-droites définissant les tangentes se coupent et cette figure définit un arc de parabole.
Par contre, si le quadrilatère formé par les 4 points de contrôle est croisé (forme de Z), alors la courbe possède un point d'inflexion, les demi-droites définissant les tangentes ne se coupent pas.
Cette nuance est importante, mais, sauf cas particulier, est-il justifié d'utiliser des courbes de degré 3 ? je ne le pense pas.
En tout cas, si c'est pour faire du lissage de courbes définies par une succession de points, l'utilisation de parabole me parait préférable.

Je me demande si GBZM ne fait pas un amalgame entre Java qui est un langage compilé de calcul de tout ordre et JavaScript qui est un langage interprété "côté client".
Si c'est confirmé, alors c'est la preuve d'une méconnaissance totale de l'univers informatique.
D'ailleurs, tel que c'est parti, le demandeur n'aura pas la réponse espérée.

Bonjour,
Réf. : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2334397/courbes-de-bezier-a-luniversite
Il y a longtemps que l'on m'avait pas évoqué ce sujet.
J'ai jeté un coup d’œil sur différents documents et j'ai remarqué avec plaisir que la courbe de degré 3 (4 points de contrôle) n'était plus considérée comme LA courbe de Bézier mais que la courbe de degré 2 (3 points de contrôle) a aussi le droit d'exister.
Il me semble que la parabole est enseignée au lycée, cela me parait être une très bonne application. On peut se demander pourquoi "certains collègues l'interdisent".