Encore une conique.
Sam 22 Juin - 13:46
Bonjour,
https://www.maths-forum.com/superieur/equation-pour-trouver-centre-une-ellipse-fonction-t208507.html
Il est clair que l'approche par le demandeur, dans sa question initiale, n'est pas bonne.
En effet 4 points déterminent exactement une ellipse (sauf cas tordus). Or l'équation qu'il propose n'est valable que si les axes de coordonnées sont parallèles aux axes de symétrie (petit axe et grand axe), ce qui correspond à un cas particulier.
Je ne vois qu'une seule méthode pour résoudre cette question et ce serait assez long de le résoudre à la main.
J'ai hâte de voir d'autres réponses.
J'ai rectifié, 4 points déterminent une ellipse si les axes de symétrie sont parallèles aux axes ds coordonnées.
Pour moi, la solution consiste à écrire que les 4 point satisfont à l'équation ax² + cy² + dx + ey + f = 0
https://www.maths-forum.com/superieur/equation-pour-trouver-centre-une-ellipse-fonction-t208507.html
Il est clair que l'approche par le demandeur, dans sa question initiale, n'est pas bonne.
Je ne vois qu'une seule méthode pour résoudre cette question et ce serait assez long de le résoudre à la main.
J'ai hâte de voir d'autres réponses.
J'ai rectifié, 4 points déterminent une ellipse si les axes de symétrie sont parallèles aux axes ds coordonnées.
Pour moi, la solution consiste à écrire que les 4 point satisfont à l'équation ax² + cy² + dx + ey + f = 0
Wikipédia a écrit:Le coefficient B vaut 0 si les axes de l'ellipse sont parallèles à ceux de coordonnées. On a alors :
A x² + C y² + D x + E y + F = 0
Re: Encore une conique.
Sam 22 Juin - 16:29
https://www.maths-forum.com/enigmes/determination-des-parametres-une-elipse-grace-points-t208513.html
C'est marrant, y aurait-il un virus de conique qui passe par les réseaux ?
Bien-sûr, il y a beaucoup d'application à l'ellipse, par exemple, la forme de la terre, l'ellipse de tolérance, la trajectoire d'un satellite, la forme du stade de France.
A part ces application, il y a bien-sûr la propriété que c'est un affinité du cercle, la section des stations de métro de Paris, avec les propriétés acoustiques qui en découlent, et d'autres trucs plus ou moins amusants , il y a aussi le fait qu'on ne sait pas calculer son périmètre, bref, pour moi, c'est pas très utile.
Espérons qu'un brave membre répondra à Arnaud.
C'est marrant, y aurait-il un virus de conique qui passe par les réseaux ?
Bien-sûr, il y a beaucoup d'application à l'ellipse, par exemple, la forme de la terre, l'ellipse de tolérance, la trajectoire d'un satellite, la forme du stade de France.
A part ces application, il y a bien-sûr la propriété que c'est un affinité du cercle, la section des stations de métro de Paris, avec les propriétés acoustiques qui en découlent, et d'autres trucs plus ou moins amusants , il y a aussi le fait qu'on ne sait pas calculer son périmètre, bref, pour moi, c'est pas très utile.
Espérons qu'un brave membre répondra à Arnaud.
Re: Encore une conique.
Dim 23 Juin - 15:37
Bonjour,
Je ne sais pas s'il faut rire ou pleurer. Je résume :
Quatre points définissent une ellipse dont les axes sont parallèles aux axes de coordonnées. Disons que c'est l'ellipse du secondaire.
Cinq points définissent une ellipse dans le cas général.
Je me place dans le cas où on a une ellipse et non une hyperbole.
Ceci est clair et précis.
Si on a plus de 5 points, on a des points en sur-nombre. Dans ce cas, et seulement dans ce cas, il faut avoir recours à des méthode basées sur les moindres carrés, parfaitement classique, mais apparemment assez peu connu et quelque fois même contredites pas certains universitaires (normal, ils ne connaissent pas, donc, ça ne peut pas être vrai ).
Hier, j'ai expliqué cela en MP à F.E. Il n'a pas répondu, mais je suis presque sûr qu'il l'a lu.
Bonne journée.
Je ne sais pas s'il faut rire ou pleurer. Je résume :
Quatre points définissent une ellipse dont les axes sont parallèles aux axes de coordonnées. Disons que c'est l'ellipse du secondaire.
Cinq points définissent une ellipse dans le cas général.
Je me place dans le cas où on a une ellipse et non une hyperbole.
Ceci est clair et précis.
Si on a plus de 5 points, on a des points en sur-nombre. Dans ce cas, et seulement dans ce cas, il faut avoir recours à des méthode basées sur les moindres carrés, parfaitement classique, mais apparemment assez peu connu et quelque fois même contredites pas certains universitaires (normal, ils ne connaissent pas, donc, ça ne peut pas être vrai ).
Hier, j'ai expliqué cela en MP à F.E. Il n'a pas répondu, mais je suis presque sûr qu'il l'a lu.
Bonne journée.
Re: Encore une conique.
Lun 24 Juin - 12:34
Bonjour,
C'est marrant, GBZM n'a pas pu s'empêcher de ramener sa science.
Il oublie deux choses, d'abord, sauf cas particulier théorique et vrai seulement en math, 4 points ne peuvent pas être cocycliques. Et surtout, la question posée est "comment calculer l'ellipse qui passe par 5 points ?".
L'autre question qui va tout à fait en parallèle : "comment calculer l'ellipse la plus probable passant (presque) par 13 points ?".
C'est tout de même assez triste de voir que cette question n'a pas de réponse depuis 2 jours.
Bonne journée.
C'est marrant, GBZM n'a pas pu s'empêcher de ramener sa science.
Il oublie deux choses, d'abord, sauf cas particulier théorique et vrai seulement en math, 4 points ne peuvent pas être cocycliques. Et surtout, la question posée est "comment calculer l'ellipse qui passe par 5 points ?".
L'autre question qui va tout à fait en parallèle : "comment calculer l'ellipse la plus probable passant (presque) par 13 points ?".
C'est tout de même assez triste de voir que cette question n'a pas de réponse depuis 2 jours.
Bonne journée.
Re: Encore une conique.
Lun 24 Juin - 18:22
Le problème posé par le calcul de l'ellipse définie par une quinzaine de points est intéressant.
Il ne me parait pas raisonnable de compenser les 5 paramètres en bloc. Le calage de plan est une fonction linéaire en X et Y, ici la fonction n'est pas linéaire. La méthode de Jean Jacquelin est certainement intéressante, amis on ne sait pas dans quelles conditions on peut l'adopter.
Une ellipse est caractérisée par son contre, le petit axe et le grand axe et son angle.
Chaque groupe de 5 points détermine une ellipse unique. Pour chaque ellipse, on peut déterminer la position du centre, le petit axe et le grand axe, l'angle de rotation.
Ces éléments définitifs pourront être la moyenne arithmétique. L'intérêt, d'abord on pourra éliminer les ellipses peu précises, et on aura une valeur de l'écart observé. La somme des distances au centre de gravité pourra servir au poids dans le calcul de la moyenne.
Donc, la méthode serait :
1- Pour chaque ellipse, calcul du centre de gravité et somme des distances
2- on ne garde que les 10 meilleures
3- on calcule les 10 translations, les 10 axes et les 10 angles
4- on adopte la moyenne arithmétique.
Il ne me parait pas raisonnable de compenser les 5 paramètres en bloc. Le calage de plan est une fonction linéaire en X et Y, ici la fonction n'est pas linéaire. La méthode de Jean Jacquelin est certainement intéressante, amis on ne sait pas dans quelles conditions on peut l'adopter.
Une ellipse est caractérisée par son contre, le petit axe et le grand axe et son angle.
Chaque groupe de 5 points détermine une ellipse unique. Pour chaque ellipse, on peut déterminer la position du centre, le petit axe et le grand axe, l'angle de rotation.
Ces éléments définitifs pourront être la moyenne arithmétique. L'intérêt, d'abord on pourra éliminer les ellipses peu précises, et on aura une valeur de l'écart observé. La somme des distances au centre de gravité pourra servir au poids dans le calcul de la moyenne.
Donc, la méthode serait :
1- Pour chaque ellipse, calcul du centre de gravité et somme des distances
2- on ne garde que les 10 meilleures
3- on calcule les 10 translations, les 10 axes et les 10 angles
4- on adopte la moyenne arithmétique.
Re: Encore une conique.
Mar 25 Juin - 13:52
Bonjour,
J'en reviens à la question de DjoDjo : trouver le centre de l'ellipse.
Au début il y a eu un petit doute, l'ellipse était définie par 4 ou 5 points, mais c'est sans grande importance.
Là on en est arrivé au point remarquable : 2 membres sont d'accord pour la résolution d'un système linéaire. Mais il ne faut par rêver, pour être sur de ne pas être compris, on a créé un 6è point, fantôme ou aléatoire (?) et on parle de "matrice de système homogène" et de "déterminant nul".
Il est vrai que le problème posé est très compliqué : on a à calculer les paramètres de l'équation ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0, comment faire ? On a 6 paramètres à calculer et on ne connait que 5 points ! GBZM a trouvé la solution, il suffit d'inventer un 6è points ! A ce moment là, un petit lycées, fraichement bachelier lui fait une petite suggestion : "et si on divise tout par 'a', ben y'aura un paramètre de l'équation qui sera connu, il vaudra 1, et on aura un système de 5 équations à 5 inconnues. J'ai mérité mon titre de bachelier ?".
Revenons à la question de base : "trouver le centre de l'ellipse. Combien faudra-t-il encore de pages pour y parvenir ?
J'en reviens à la question de DjoDjo : trouver le centre de l'ellipse.
Au début il y a eu un petit doute, l'ellipse était définie par 4 ou 5 points, mais c'est sans grande importance.
Là on en est arrivé au point remarquable : 2 membres sont d'accord pour la résolution d'un système linéaire. Mais il ne faut par rêver, pour être sur de ne pas être compris, on a créé un 6è point, fantôme ou aléatoire (?) et on parle de "matrice de système homogène" et de "déterminant nul".
Il est vrai que le problème posé est très compliqué : on a à calculer les paramètres de l'équation ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0, comment faire ? On a 6 paramètres à calculer et on ne connait que 5 points ! GBZM a trouvé la solution, il suffit d'inventer un 6è points ! A ce moment là, un petit lycées, fraichement bachelier lui fait une petite suggestion : "et si on divise tout par 'a', ben y'aura un paramètre de l'équation qui sera connu, il vaudra 1, et on aura un système de 5 équations à 5 inconnues. J'ai mérité mon titre de bachelier ?".
Revenons à la question de base : "trouver le centre de l'ellipse. Combien faudra-t-il encore de pages pour y parvenir ?
Re: Encore une conique.
Mar 25 Juin - 15:28
Merci à GBZM d'avoir remarqué l'accent circonflexe en trop sur le 'o' de conique.
Il est vrai que la question d'origine portait que 4 points, ce qui sous-entendait une ellipse dont les axes sont parallèles aux axes de coordonnées. Mais très vite on a évoqué le cas général qui nécessite donc 5 points.
GBZM a sorti une très jolie formule valable pour une ellipse définie par 4 points. On ne sait pas très bien d'où elle sort, mais c'est pas très grave elle est belle.
J'avoue humblement que je n'ai pas vraiment cherché à comprendre les nombreuses interventions. Je me suis contenté de résoudre le problème.
La solution est en 2 étapes
1- calcul des paramètre de l'équation d'une conique passant par 5 points. Dans le cas dont on parle, la conique recherchée est une ellipse, mais si c'était une hyperbole, ça marche aussi bien, simplement on constaterait que l'expression b²-ac aurait un signe contraire.
2- calcul du centre de la conique.
Il est vrai que le calcul de l'équation de la conique est sans grand intérêt. Dans le cas présent ce n'est qu'une étape, mais elle est tellement facile à comprendre et à réaliser que ce serait bête de s'en priver.
Il est vrai que la question d'origine portait que 4 points, ce qui sous-entendait une ellipse dont les axes sont parallèles aux axes de coordonnées. Mais très vite on a évoqué le cas général qui nécessite donc 5 points.
GBZM a sorti une très jolie formule valable pour une ellipse définie par 4 points. On ne sait pas très bien d'où elle sort, mais c'est pas très grave elle est belle.
J'avoue humblement que je n'ai pas vraiment cherché à comprendre les nombreuses interventions. Je me suis contenté de résoudre le problème.
La solution est en 2 étapes
1- calcul des paramètre de l'équation d'une conique passant par 5 points. Dans le cas dont on parle, la conique recherchée est une ellipse, mais si c'était une hyperbole, ça marche aussi bien, simplement on constaterait que l'expression b²-ac aurait un signe contraire.
2- calcul du centre de la conique.
Il est vrai que le calcul de l'équation de la conique est sans grand intérêt. Dans le cas présent ce n'est qu'une étape, mais elle est tellement facile à comprendre et à réaliser que ce serait bête de s'en priver.
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