Utilisation de la théorie des probabilités.

Bonjour,
réf. : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?13,2127494
C'est un excellant exemple d'application et de vérification de la théorie des probabilités.
On a donc 100 000 lignes qui contiennent un nombre de personnes et un coût total de ces personnes. On cherche à évaluer le coût individuel.
Il me parait évident que pour chaque localisation, c'est à dire chaque ligne le rapport du coût total sur le nombre de personnes donne la moyenne individuelle par ligne.
Il semble clair que les valeurs de chaque ligne représentent la même chose, c'est donc le TCL qui s'applique.
Un bon moyen de le vérifier : prendre un certain nombre d'échantillons, pour chaque échantillon, calculer la moyenne et la répartition des écarts à cette moyenne. Ensuite on compare les résultats de ces échantillons et on pourra vérifier qu'ils donnent tous les mêmes résultats.

Pour mémoire, ce n'est pas une "technique de statisticien", c'est l'application stricte des lois de probabilités.

Bonsoir,

L’effet Dunning-Kruger, aussi appelé effet de surconfiance, est un biais cognitif selon lequel les moins qualifiés dans un domaine surestiment leur compétence.
Dunning et Kruger attribuent ce biais à une difficulté métacognitive des personnes non qualifiées qui les empêche de reconnaître exactement leur incompétence et d’évaluer leurs réelles capacités :
la personne incompétente tend à surestimer son niveau de compétence ;
la personne incompétente ne parvient pas à reconnaître la compétence de ceux qui la possèdent véritablement ;
la personne incompétente ne parvient pas à se rendre compte de son degré d’incompétence ;

On peut le rapprocher de l'ultracrépidarianisme : le comportement qui consiste à donner son avis sur des sujets à propos desquels on n’a pas de compétence crédible

L'intérêt du TCL réside dans la répartition des écarts à la moyenne dans le contexte d'une expérience de même loi.
C'est la loi des grands nombres qui s'intéresse à la moyenne des valeurs renvoyée par une expérience.
S'il n'y avait pas le TCL, la méthode de Monte-Carlo n'existerait pas.
Beaucoup de gens se passent complètement du TCL. C'est pour cela que des matheux compétents ont mis au point des tests, Khi², par exemple, qui sont basés sur le TCL, mais c'est transparent pour l'utilisateur. Le fameux et bien connu 95% pour 2 sigma est basé sur le TCL, mais personne ne s'en préoccupe.

@ Fun,
Sauf erreur, tu m'as demandé de te montrer une définition du TCL qui corresponde à ce que je tente d'expliquer.
Voila : https://www.math.univ-toulouse.fr/~rau/retro%20stat%20inf/c3.pdf
Il est vrai qu'il est écrit "une suite de v.a. ... " comme il y a la formule, il n'y a pas de doute sur la signification. Il n'est en aucun cas question de "somme". D'ailleurs "v.a." peut très bien être compris comme "valeurs aléatoires" ou "variations aléatoires".

Ce document est un support de présentation orale. Je voulais seulement te montrer la définition du TCL dans l'encadré.
J'avais déjà remarqué et cité des cours de l'université de Toulouse. C'est une référence crédible.

bonjour

Dlzlogic a écrit:Il est vrai qu'il est écrit "une suite de v.a. ... " comme il y a la formule, il n'y a pas de doute sur la signification. Il n'est en aucun cas question de "somme". .  

Dlzlogic, tu ne rates pas une occasion pour montrer que tu ne comprends pas les documents mathématiques !

Bien évidemment qu'il est question de somme (et de moyenne)  : le symbole Sigma  désigne une somme ...  Et cette somme X_1 + ... + X_n est divisée par n, ce qui s'appelle Moyenne :





C'est assez gros pour que tu le vois ?

Ben oui, dans l'encadré du TCL il est bien question de moyenne et non de somme.
Même dans l'explication de pile ou face, il est vrai qu'il y a le signe sigma majuscule mais il s'agit d'un comptage.
Quelqu'un m'a dit une fois, à l'occasion de ceci : http://www.dlzlogic.com/aides/Lorenz_Gini.pdf "on ne peut pas faire la somme de tailles d'enfants". Pour calculer une moyenne, je ne vois pas comment faire autrement que commencer par faire une somme.

Pourrais-tu faire une application numérique ou donner un exemple d'application du TCL, s'il te plait.
Apparemment, on ne comprend pas l'énoncé de ce théorème de la même façon.

Dlzlogic a écrit:Ben oui, dans l'encadré du TCL il est bien question de moyenne et non de somme.

tu ne vois pas de lien entre moyenne et somme ??

Dlzlogic a écrit:mais il s'agit d'un comptage. .

justement, un comptage est une somme : X_1 + ... + X_n , où les X_i valent 1 ou 0, si le ième tirage est pile ou pas (respectivement) ! C'est ce qui est expliqué dans le document.



Et une fréquence est une moyenne : division du comptage par n .

Allez, encore un effort, et tu vas y arriver !

Tu ne veux pas me donner un exemple numérique ?

A te lire on a l'impression que tu ne vois pas vraiment la différence entre une somme et une moyenne.
J'ai l'impression que c'est la notion de moyenne qui n'est pas très claire pour toi.
Quand t'étais lycéen, tu ne calculais pas le moyenne de tes notes ?

Je te renvois à :   https://dlz9.forumactif.com/t660-vecteur-gaussien#9737

"2- chaque prélèvement de 100 poissons est un "échantillon" du banc étudié. La moyenne et l'écart-type des tailles de chaque prélèvement de 100 poissons sera quasiment identique."
La moyenne suivra a peu près une loi normale centrée sur l'espérance de la taille des poissons et d'écart-type sigma / 100^0.5 = sigma / 10 (où sigma est l'écart-type des tailles de poissons)
C'est une application élémentaire du TCL (pour de vrai cette fois : retourne lire l'énoncé).

Bon, moi je vais te donner un exemple.
Ton scientifique fait un prélèvement de 100 poissons, de même espèce pêchés avec un filet dans un banc de poissons.
Il note les tailles de ces 100 poissons et en calcule la moyenne. Pour des raisons pratiques de calcul, il sera peut-être obligé de passer par la somme, qu'il divisera par le nombre de poissons pour avoir la moyenne.
Comme il a bien suivi les cours de lycée, il sait calculer l'écart-type.
Là je crois que c'est clair.
Ma question : peut-on appliquer le TCL ?

oui, on peut appliquer le TCL , dont la conclusion est  :
La moyenne suivra a peu près une loi normale centrée sur l'espérance de la taille des poissons et d'écart-type sigma / 100^0.5 = sigma / 10

La conclusion du TCL ne porte absolument pas sur la répartition de la taille des poissons, mais sur la loi de probabilité suivie par la moyenne.

Mais, mon cher, la moyenne, c'est un nombre, ce qui se trouve dans une cellule de tableur quand on a appelé la fonction "moyenne".
Un nombre ne peut pas suivre une loi, c'est la différence d'avec une fonction. Un nombre c'est un résultat unique, si on n'a pas fait de faute de calcul, il est bon.
Ou alors c'est une nouvelle théorie mathématique, TA théorie. N'oublie pas de la publier. C'est vraiment nouveau.

Fun fact du jour : Dlzlogic nous montre, une fois de plus, qu'il ne sait pas lire un énoncé. Et même des dizaines d'interlocuteurs lui montrant son erreur ne suffisent pas à le faire se remettre en question.

Dans l'exemple des poissons Xi est la taille du ième poisson pêché.
Le TCL ne dis rien sur sa loi (donc sur son histogramme).
En revanche il parle de X_n^barre = (X1+ X2+...+Xn)/n. Dans l'exemple n = 100 et Xn barre est la taille moyenne de 100 poissons.

Le TCL dis que X_n^barre est approximativement une loi normale (de moyenne la "moyenne théorique" et d'écart-type sigma / 10 où sigma est "l'écart-type théorique"),
dans le sens où l'histogramme d'un grand nombre de réalisation de Xn^barre (donc l'histogramme des tailles moyennes d'un grand nombre de caisses)
sera approximativement gaussien.



Fun fact 2: Dlzlogic ne comprends pas le lien entre moyenne et somme.
Il pense que dire que "Sn = X1+...+Xn" a une loi gaussienne et que "Mn = Sn/n" a une loi gaussienne est deux choses différentes.
Et ce malgré de nombreuses explications détailles (sur lesquelles il n'a bien sûr jamais posée de question, il a simplement déclaré que cela n'avait pas d'importance
et que les matheux confondaient moyenne et somme).

Fun fact 3 : Dlzlogic n'a toujours pas compris que la moyenne empirique est une variable aléatoire et pas un nombre.
Prenons un exemple : tous les jours je vais pêcher 100 poissons. Je les mesurer et faire la moyenne de leurs tailles.
Cette moyenne est-elle un nombre, le même tous les jours ? Ou un nombre qui va changer chaque jour (dépendant de la taille des 100 poissons pêché au jour J) ?
En d'autres termes c'est un nombre ou une variable aléatoire ?

Une somme est un nombre, une moyenne est un nombre. Ces deux nombres que le matheux appellent "empirique" sont des nombres observés, ou plutôt calculés à partir d'observations.
Si on prend un certain nombre de moyennes, c'est à dire une liste de nombres, si les conditions d'expérience sont remplies, alors on pourra appliquer le TCL.
Quand j'insistais sur la différence entre "variable aléatoire" qui est une fonction et "liste de nombres aléatoires" qui est une liste de résultats d'appels à une fonction, je n'imaginais que cela dépassait largement la simple rigueur d'écriture.

Gérard a écrit:En fait, il n'y a aucune preuve mathématique que quand on joue à pile ou face, on a à chaque lancer une chance sur 2 de faire pile, une chance sur 2 de faire face : Les mathématiques ne prouvent rien sur la réalité, elles parles d'objets abstraits (je n'ai jamais rencontré le nombre 3, ailleurs que dans les maths ou leur utilisation. Cette supposition (*) est simplement un modèle de ce qui se passe, modèle suffisamment efficace pour qu'on s'en soit servi (avec des pièces spéciales) pour simuler des nombres aléatoires (tables de la Rand).

"est ce ceci qui est confus, ou pertinent? " Inutile d'y revenir, tu n'avais pas compris. Mais essaie de prendre le temps de bien dire.

Ca, il fallait oser !
Si les mathématiques ne prouvent rien sur la réalité, alors à quoi elles servent ?
J'ai l'impression que les fameuses théories matheuses du XXè ont réussi à remplacer la partie des mathématiques qui prouve la réalité.
En fait, il n'y a pas à prouver qu'une pièce a une chance sur deux de faire face, c'est un fait. Dans le monde réel, il y a l'endroit et l'envers, la droite et la gauche, l'avant et l'après, le Yin et le yang.
Concernant les probabilités, la loi des grands nombres est un théorème démontré. La courbe de Gauss est l'une des rares courbes qu'on peut observer dans la nature.
Il me semblerait utile de le préciser à Jeancréatif. Le dire à Gérard est parfaitement inutile.

La discussion avec Jeancréatif est très intéressante.
Malheureusement, je ne pense pas qu'elle aboutisse, d'abord parce que l'énoncé est mal précisé, parce que trop sophistiqué, et parce qu'il a en face de lui des gens qui "savent qu'il a tort".
Par contre, je suis sûr qu'il a des idées très précises dans la tête mais il cherche des méthodes trop compliquées pour les expliquer.