Loi binomiale vs loi normale.

Bonjour,
Réf. : https://www.maths-forum.com/superieur/denombrement-applique-aux-jeux-societe-t227793.html
La réponse de lycéen95 a de quoi dérouter un lecteur lambda.
En effet la question posée est précise et la réponse est "telle loi ou telle loi". Moi, lecteur lambda, je me dis "on a donc le droit de choisir !" ou "les mathématiques, c'est comme on veut ?".
Ben non, la bonne réponse est unique : "en probabilité, il n'y a qu'une loi, celle du hasard, et pour calculer il n'y a qu'une formule, la fonction dite de Gauss, connue aussi sous le nom de "loi normale".
Malheureusement cette loi est difficile à comprendre, et la "loi binomiale" parait logique. C'est cette dernière qui est généralement enseignée. Dès que le nombre de tirages devient important, il faut des moyens de calculs qui dépassent de loin les outils habituels. On est donc forcé d'appliquer la formule de Gauss. Donc on en arrive à la situation où l'on dit "la loi binomiale est approximée par la loi normale", alors que cela devrait être "on comprend la loi binomiale, mais un bon calcul doit être fait avec la formule de Gauss, c'est à dire la loi normale".
La formule de Gauss n'est pas calculable algébriquement, il a été établi des tables faciles à utiliser.
Autre point important : la loi binomiale est dite "discrète" et la loi normale est dite "continue". Cette distinction n'a aucune justification mathématique, mais seulement une motivation pédagogique.

Bonjour

-- Un peu de psychologie sur ce cas :

L'effet Dunning-Kruger est un biais cognitif selon lequel les moins qualifiés dans un domaine surestiment leur compétence. Dunning et Kruger attribuent ce biais à une difficulté métacognitive des personnes non qualifiées qui les empêche de reconnaître exactement leur incompétence et d'évaluer leurs réelles capacités :
la personne incompétente tend à surestimer son niveau de compétence ;
la personne incompétente ne parvient pas à reconnaître la compétence de ceux qui la possèdent véritablement ;
la personne incompétente ne parvient pas à se rendre compte de son degré d'incompétence.

On peut le rapprocher de l'ultracrépidarianisme : le comportement qui consiste à donner son avis sur des sujets à propos desquels on n'a pas de compétence crédible.

L'ignorance engendre l'ignorance, comme le montre Florence Dellerie dans sa chronique de l'Instant Sentience où elle aborde l'effet Dunning-Kruger. On ne peut pas mesurer l'envergure de son ignorance quand on ne sait pas qu'on ignore. Donc moins on sait, plus on croit savoir. On va donc combler ce manque de connaissance par des croyances. Ceci est symptomatique d'une mauvaise méthodologie de réflexion. L'ignorance va donc favoriser le dogmatisme.

Le dogmatisme est une pensée supposant la connaissance vraie intangible, d'une vérité décisive, universelle, immuable et incontestable. Il se caractérise par ses conceptualisations étroites, définitives et normatives.


Les troubles de l'état psychique : impulsions agressives incontrolables, névroses, psychoses, déterioration intellectuelle, obsessions, opposition systématique, négativisme permanent, dédain et mépris, illusions coupé de la réalité.


-- Procédés largement utilisés :

Le paralogisme. C' est un raisonnement faux qui apparaît comme valide, notamment à son auteur, lequel est de bonne foi (oui, il arrive à Dyzlo d'être de bonne foi, mais cela ne dure jamais très longtemps...). Exemples pratiqués : le faux dilemme ; la généralisation hâtive ; l'attaque personnelle ; l'argument d'autorité (paroles d'un soit-dissant expert) ; la diversion ; la fausse analogie ; la menace ; etc.

Le sophisme. C'est un procédé rhétorique, une argumentation, à la logique fallacieuse. C'est un raisonnement qui porte en lui l'apparence de la rigueur, voire de l'évidence, mais qui n'est en réalité pas valide au sens de la logique. Le sophisme est un argument fallacieux destiné à tromper.

"La formule de Gauss n'est pas calculable algébriquement, il a été établi des tables faciles à utiliser. "

Bon alors, on dit que notre loi binomiale n'est pas pratique pour le calcul
On va utiliser son approximation par loi normale.
Loi normale pas calculable, on utilise des tables.

ben moi je dis, aka fauxkon établir des tables de loi binomiale.

Enfin je dis ça , je suis bien assis sur ma chaise,
juste que la table n'est pas en face de la chaise????

Bonjour Chris et bienvenue.
Je vais justifier mon affirmation.
L'étude des probabilités au niveau le plus bas se fait avec le lancé de pièce équilibré, PILE ou FACE.
C'est ainsi que l'on démontre le premier théorème de Bernoulli plus connu sous le nom de loi des grands nombres.

Maintenant, réalisons l'expérience suivante.
On fait un grand nombre de tirages successifs. Si la pièce tombe sur pile, on note 0, si elle tombe sur face, on note 1.
On construit ainsi des mots de 7 chiffres 0 et 1 soit 128 mots possibles. On compte le nombre d'apparitions de chacun de ces 128 mots. Bien sûr, ces "mots" seront considérés comme des nombres en binaire.
On est donc exactement et strictement dans un contexte de loi discrète.
Si on passe à la limite, ben, alors, on obtient exactement la loi normale.

Une expérience comparable a été réalisée dernièrement par Gbzm. Au lieu de créer les mots par une succession de P et F, il a formé des mots de 3 chiffres décimaux successifs dans plusieurs contextes : les décimales de nombres irrationnels (pi, e, rac(2)) et de mots résultant de tirages de son générateur de nombres aléatoires. Il a ainsi réalisé 12 expériences comparables, à partir de sources très différentes. Ces 12 expériences vérifient parfaitement les résultats de la loi normale.

En fait, ce qui me gène, c'est l'expression "La loi normale permet effectivement une approximation de loi binomiale", puisque, pour une expérience donnée, on ne peut pas choisir la loi à appliquer, par contre ou peut choisir le mode de calcul pour obtenir le résultat cherché.

Je suis parfaitement conscient que c'est une très vieille discussion, la longueur limitée des messages ne permet pas de faire une argumentation détaillée, mais il me parait important d'exprimer les choses clairement et d'éviter de transformer des simplifications pédagogiques par des "affirmations mathématiques" fausses.

Bonjour Beagle,
Oui, on pourrait établir une table pour calculer la loi binomiale, c'est pas difficile, il suffit de prendre une table de répartition [de loi normale] et dire que c'est un table de répartition de la loi binomiale.
Pour s'en convaincre, il suffit de regarder une planche de Galton.

Pour la loi binomiale, il n'y a pas besoin de table puisqu'on a une formule algébrique toute simple ! contrairement à la loi normale...

Loi binomiale pour n = 3 et p = 1/2   ===>  1/8 ; 3/8 ; 3/8 ; 1/8  ( cf Galton à trois étages de pointes, arbre binaire complet et équilibré à 6 sommets)
On fait comment avec la loi normale ?

Loi binomiale pour n = 3 et p = 0.2   ===>  0.512 ;  0.384 ; 0.096 ; 0.008
On fait comment avec la loi normale ?

Si n est suffisamment grand, tout le monde sait bien que la loi binomiale est approchée par une loi normale (c'est d'ailleurs le cas pour toutes les lois de probabilités qui proviennent d'une sommation, comme la loi de Poisson).

Dlzlogic a écrit:Si on passe à la limite, ben, alors, on obtient exactement la loi normale.

oui, exactement, la loi normale est une loi limite, et donc très rarement la loi exacte (*)

La simplification vient justement du fait que l'on remplace une loi de probabilités que l'on connait mal (*) par une autre (la loi normale) que l'on connait mieux. Cela n'a rien de pédagogique, bien au contraire, cela demande une grande prudence pour ne pas faire n'importe quoi en remplaçant une loi par une autre !

(*) je parle de situations réelles, pas des exercices simples de dénombrement comme le pile ou face.

Oui, je suis parfaitement d'accord avec ces exercices de calcul basés sur l'analyse combinatoire.
Le sujet portait sur les probabilités. Or en probabilités, pour une expérience donnée, on n'a pas le choix de la loi à appliquer. Par contre, si on veut faire un calcul, il n'y a pas de règle, tant que le résultat est à peu près bon.
Oui, il ne faut pas tout mélanger.
Mais, à part les exercices, quel peut être intérêt du type de calcul que tu cites ?
Donc, en gros, on apprend aux élèves des méthodes qui ne leurs servirons pas. C'est bien pour l'apprentissage calculatoire, mais il faudrait appeler ce cours "analyse combinatoire" et pas "probabilités". C'est seulement cela que je veux dire.

PS Ton dernier message pose un gros problème d'application des mathématiques. Mais là, je dois sortir.

<< on apprend aux élèves des méthodes qui ne leurs servirons pas.  >>

On apprend aux étudiants la combinatoire, mais aussi plein d'autres choses en théorie des probas et de la stat.
On leur apprend à comprendre les bases (combinatoire et autre), avant d' aller plus loin.
Sans les bases, on apprend des recettes des cuisines.

D'ailleurs, comment peux-tu affirmer qu'elle ne leur serviront pas ?  connais-tu tous les métiers dans le domaine des proba et de la stat ?
Chercheur en statistique
Statisticien
Ingénieur statisticien
Biostatisticien
Consultant web analytique et statistique
Chargé d’études statistiques
Enseignant-chercheur
Actuaire
Data analyst
etc.

Bon, alors, je vais être clair, si dans l'une de ces spécialités un individu utilise la loi binomiale au lieu de la loi normale, je veux bien discuter les détails de son utilisation.
Un seul exemple suffira mis il faudrait qu'il soir suffisamment détaillé pour pouvoir en parler.
Cela fait des années que je pose la même question et j'attends toujours une réponse.
Sans le faire exprès, Sylviel a cité un fichier qui répondait parfaitement bien à la question, mais sauf son "contre-exemples" complètement bidon, il n'y a pas eu de suite.
Gbzm a fait une expérience parfaitement sérieuse, pour montrer autre chose, le résultat correspond exactement à ce que j'explique depuis des années.

Il ne fait aucun doute que la loi binomiale est connue par tous ses professionnels : c'est une loi "basique". Elle est même dans ton cours de Levallois (dans le cas particulier  p=1/2 ) !

Et leurs formations en théorie des probabilités ne s'arrêtent pas à un peu de combinatoire, la loi binomiale et la loi normale,
il y a plein d'autres choses à comprendre, des mois ou années d'études, pas uniquement quelques pages.

C'est toi qui affirmes que
<< on apprend aux élèves des méthodes qui ne leurs servirons pas.  >>
Tu ne parles que de loi normale (comme limite de la loi binomiale), comme si c'était le seul truc à connaitre. Tu es très loin du compte !

Merci pour cette affirmation. J'attendrai encore pour avoir un exemple et le détailler.
Je sais très bien que la formule à laquelle tu fais allusion se trouve dans la démonstration de la loi des grands nombres, mais je refuse catégoriquement qu'étant donné une expérience précise on puisse avoir le choix de la loi. Par contre j'admets parfaitement qu'on ait le choix de la méthode de calcul.

Dlzlogic a écrit: je refuse catégoriquement qu'étant donné une expérience précise on puisse avoir le choix de la loi.

oui, je suis d'accord : une expérience bien précisée induit une seule loi de probabilité.

Bien.
Un exemple : la corde de Bertrand. L'expérience est bien précise. Y a-t-il plusieurs lois différentes qui pourraient permettre de calculer la probabilité cherchée ?
Cette expérience est à mettre en parallèle avec l'aiguille de Buffon ?
Dans le cas de l'aiguille de Buffon, il n'y a qu'une seule loi appliquée : la loi des grands nombres. Comment la justifier sinon par la théorie des probabilités ?
Explication : il y a "le hasard", il n'y a pas le choix du hasard.

PS. En fait, la difficulté dans nos échanges est d'exposer le problème en termes clairs et précis, sans faire d'à priori. J'ai essayé de le faire dans mon papier http://www.dlzlogic.com/aides/Notions_de_probabilite.pdf de la façon la plus claire possible, à part des qualificatifs du genre "c'est nul" ou "c'est un torchon", je n'ai jamais eu de critique du genre "telle page, que veut dire telle phrase". Donc a priori tout le monde semble d'accord avec ce que j'ai écrit.

Chris a écrit:Et leurs formations en théorie des probabilités ne s'arrêtent pas à un peu de combinatoire, la loi binomiale et la loi normale,
il y a plein d'autres choses à comprendre, des mois ou années d'études, pas uniquement quelques pages.

Oui, ça je suis d'accord et c'est bien regrettable.
Alors comment expliquer que mes questions, quelles qu'elles soient restent sans réponse ?
Soit des demandes d'exemples, soit des demandes d'argumentation sur tel ou tel point, le très bon exemple est le fichier des températures journalières sur 54 ans, soit des questions précises comme la justification de la moyenne arithmétique.
Si cette "théorie" des probabilités était bien ficelée, ils n'y auraient aucune difficulté à me donner des réponses précises.
Ce que tu appelles "quelques pages" est la base de toutes les professions qui concernent la mesure. Il est vrai que je ne pratique que la topométrie. Donne-moi des contre exemples, c'est à dire des professions qui pratiquent la mesure et qui n'appliquent pas le fameux test "5% au delà de 2 sigmas".

Bon, j'ai lu la réponse de Sylviel.
Sa réaction est saine : la question posée est parfaitement vague.
Concernant l'application de la loi binomiale il est tout à fait vrai que c'est une méthode de formalisation parfaitement acceptable.
Je vais "traduire" le phénomène étudié, et je soigne soigneusement mon vocabulaire.
On lance un dé, quelque soit son nombre de faces, ce qui est écrit dessus et en excluant toute irrégularité, alors la fréquence d'apparition des faces est décrite par la loi des grands nombres. Ca, c'est incontestable. Les mathématiciens ont décrit cette situation "loi binomiale".
Maintenant, on fait les comptes, c'est à dire qu'on dénombre l'apparition de chacune des faces. La moyenne théorique est connue, on vérifie forcément que la moyenne réalisé est exactement la moyenne théorique.
La loi binomiale est une loi uniforme, c'est à dire que toutes les faces ont la même probabilité d'apparaitre.
Si on ordonne les n° des faces en fonction du nombre de sortie de celles-ci et qu'on trace l'histogramme, alors, on obtient une courbe de Gauss. Ceci est inévitable.
Naturellement, si on dessine l'histogramme en fonction des n° marqués sur les faces, alors on aura une représentation qui laissera penser que le résultat est uniforme. C'est la technique qu'utilisent certains matheux pour faire croire qu'ils ont raison et qu'une expérience de loi uniforme produit un résultat uniforme, ce qui est impossible.

Pierre,
tu lances piece pile ou face équilibrées proba 1/2 pour les deux

tu analyses la fréquence observée des piles et des faces, c'est uniforme.
Et pour voir une courbe de Gauss avec ces deux histogrammes, faut une vie intérieure assez riche...

tu analyses le nombre de succès obtenus, cela s'appelle loi binomiale et c'est absolument pas uniforme d'obtenir apres 1000 lancers 10 faces 100 faces 250 faces 490 faces etc...

Ensuite pièce déséquilibrée 0,3 face 0,7 pile,
pour l'uniforme faut un uniforme de camouflages pour les opérations spéciales ...

wikiki:En théorie des probabilités et en statistique, la loi binomiale modélise la fréquence du nombre de succès obtenus lors de la répétition de plusieurs expériences aléatoires identiques et indépendantes. …………..

Plus mathématiquement, la loi binomiale est une loi de probabilité discrète décrite par deux paramètres : n le nombre d'expériences réalisées, et p la probabilité de succès. Pour chaque expérience appelée épreuve de Bernoulli, on utilise une variable aléatoire qui prend la valeur 1 lors d'un succès et la valeur 0 sinon. La variable aléatoire, somme de toutes ces variables aléatoires, compte le nombre de succès et suit une loi binomiale. Il est alors possible d'obtenir la probabilité de k succès dans une répétition de n expériences :
C(n,k) p^k (1-p)^n-k

Donc Pierre le jour où tu accepteras d'étudier la proba de k succès dans n tirages
tu ne diras plus que c'est uniforme...

Bonjour Beagle,
C'est pas la peine de se fâcher pour si peu de chose.
Concernant le terme "uniforme", il est différent de "égal", cela veut dire "de même forme". Donc, dans le langage probabiliste et mathématique en général, ça veut dire "toujours de la même forme, quelle que soit la forme".
Si ta pièce est déséquilibrée, le tirage sera toujours uniforme, puisque tu utilises la même pièce.

@ Chris,
Dans le cadre des tests, le résultat de 95% pour 2 sigmas est courant, tout le monde le connait par cœur. Les meilleurs savent aussi que c'est pas exactement 2, mais 1.96.
Alors, je te pose la question : d'où cela vient, sinon de la loi normale ? Pourquoi en parle-t-on quelque soit le contexte sans dire que c'est une application ordinaire de la loi normale ? Pourquoi refuse-t-on de dire que le nom "écart-type" est dû au fait que la répartition étudiée est conforme à la loi normale ? Bien-sûr, on aurait pu l'appeler "écart normal", mais cela aurait fait un peu comique.
Moi, je l'appelle "écart moyen quadratique", au moins, je ne préjuge pas de la normalité de la loi.
Dans le cas de la loi exponentielle, c'est assez amusant de calculer l'écart-type. Il n'est pas type du tout.

Tu fais référence au cours de Levallois. Je précise tout de même qu'il s'agit de l'annexe à son cours. Les notions applicables sont détaillées ailleurs. Ces 19 pages donnent des précisions importante sur la théorie de base des probabilités.

Un mot aussi sur l'indépendance. Lorsqu'on fait un calcul de précision d'un résultats, plusieurs éléments entrent en ligne de compte. C'est là qu'intervient l'indépendance. Cela a été modélisé par le "sachant que" courant dans les exercices calculatoires, mais c'est plus compliqué que cela et très important. Par contre, on ne parle jamais de pondération, pourquoi, c'est trop compliqué ?

Dans le même esprit :
Réf. : https://www.ilemaths.net/sujet-statistique-de-test-859953.html
Malheureusement, de temps en temps, il y a des élèves qui réfléchissent et posent des questions. Je parie que cette question restera sans réponse.

wiki:
En théorie des probabilités, la loi discrète uniforme est une loi de probabilité discrète indiquant une probabilité de se réaliser identique (équiprobabilité) à chaque valeur d’un ensemble fini de valeurs possibles.

face 0,7 pile 0,3 euh ça ressemble pas au texte ci-dessus
enfin je trouve

Oui, et le me permettrai de citer un membre d'un forum : "Depuis quand Wikipédia est une référence ?".
Bon, ta pièce déséquilibrée, ben quelque soit le nombre d'essais le résultat sera toujours à peu près 70% face et 30% pile. C'est ce qu'on appelle "uniforme". Ce qui est "identique" c'est le résultat des échantillons. C'est l'objet des probabilités utliles aux statistiques par exemple.
Autre exemple, on sait que les chiens ont 4 pattes et 2 oreilles. Tu fais une statistique, tu constatera l'uniformité des nombres de pattes d'un côté et des nombres d'oreilles d'un autre côté.

oui, mais la loi de l'uniforme cela peut etre la police ou l'armée et ça la pièce du pile ou face,
c'est certainement une pièce volée
c'est pour cela qu'on demande l'uniforme…

Oui, mais Pile ou Face, c'est pas pareil, puisque l'un fait gagner, pas l'autre.
Mais il y a une exception, JP Belmondo avait 2 pièces pareilles, l'une avec 2 Pile dans sa poche de gauche et l'autre avec 2 Face dans celle de droite. Là on est vraiment dans le cas des tirages uniforme : le cas "presque sûr". Ca c'est une loi pas du tout normale.

***** comme d'habitude tes interventions n'apportent rien : message supprimé *****