Au delà du rattrapage

Salut,

Aprés avoir prouvé qu en jouant le rattrapage on a plus de chances de gagner que de perdre la partie.

Jouer le rattrapage c est rien d autre que parier contre le fait que notre séquence sera sans retour à 0.

Maintenant on étend ce concept en pariant contre un certains ensemble CR de suites de piles ou faces tel que CR/2**n<0.5.

On s arrange pour trouver une stratégie tel que l on gagne 1 euros si la série tirée n est pas dans CR.

Question qu'elle est la stratégie à adopter si n=100 et CR={01010101010...} card(CR) =1 ?

Soit CR sous ensemble quelconque de {0,1}^100, existe t il une stratégie pour jouer contre CR, cette stratégie est elle unique?

Ici on parle de stratégie aux sens de GBZM.

C est à dire une fonction de F_n dans les réels avec F_n= union des k=0.. n-1 de {0,1}^k.

Une petite précision, pourquoi je parle de stratégie selon GBZM.

Car pour moi cela ne capte pas toutes les stratégies possible.

Par exemple on prend X une va tel E(X) =+ infini

On prend n=1 et on mise X() euros sur pile. Alors on ne peut pas dire que mon espérance de gain est nulle, puisque elle n est pas définit.

Plus les stratégies trop astucieuse pour que j y pense...

Tout au plus on peut dire que l on capte une partie des stratégies déterministes.

Bonjour Dattier,

Je veux bien qu'on se contente des stratégies au sens GBZM comme tu dis, on est toujours dans le genre de stratégie avec n tirages où on peut s’arrêter à l'étape n'<n dès qu'on gagne ?
C'est la seule condition, il me semble, qui permet en résumant le principe d'augmenter les chances de gagner en échange d'une diminution du gain max (alors qu'on conserve la perte max donc l’espérance ne change pas).

Parier contre le "non retour à 0" tel que tu le fais, c'est parier qu'il va exister un rang n'<n où il y aura autant de faces sortis que de piles sortis.
Parier contre une "séquence donné" tel que je le comprends, c'est parier qu'il va exister un rang n'<n où cette séquence n'apparait pas.
Je ne vois pas trop quoi répondre si tu me donnes la séquence entière de n tirages mais il y a peut-être quelque chose qui m'échappe dans ce que tu cherches à obtenir.

Mais par exemple pour n>3, si on veut parier contre "FPF", alors il faut parier sur "FFP" voir https://www.maths-forum.com/enigmes/pile-face-t230187.html

Oui, il faut préciser une stratégie.

Par exemple n=1 je parie sur 0 ( 0 ou 1 au lieu de pile ou face) 1 euro

La stratégie associée est S(())=-1

Bonsoir,
Je vais essayer de répondre à Vassillia.
On commence P et F ont une probabilité 1/2
Supposons P. Au coup suivant il y a 2 possibilités PP et PF.
Supposons P. Au coup suivant, il y a 2 possibilité PPP et PPF. Mais on sait bien qu'il y a 1 chance sur 8 d'avoir 3 P consécutifs.
Au 10è coup, supposons qu'il y a eu 9P. La probabilité d'avoir 10 P consécutifs est 1/2^10.
Ceci se vérifie facilement.
La stratégie de Dattier est légèrement différente, mais c'est toujours basé sur le même principe de base : la loi des grands nombres.

Mais Dlzlogic, je ne vous enbettais pas sur vos fils, pourquoi venir me répondre alors que je n'ai pas posé de question si peu importe pour vous d'avoir des interlocuteurs ou non ?
M'enfin, votre message était sympa alors on a effectivement :
P(P)=P(F)=1/2
P(PPP)=1/8
P(PPPPPPPPPP)=1/2^10
Bien vu, par contre si on suppose qu'on a déjà eu 9P alors on est sachant cette condition donc il ne nous reste plus qu'un seul P à obtenir et on retombe sur 1/2
En maths on appelle ça des probabilités conditionnelles et on écrit P(PPPPPPPPPP | PPPPPPPPP)=1/2
Si vous n’êtes pas d'accord avec cette dernière remarque, pas la peine de rouspéter loi des grands nombres, TCL, loi normale ou je ne sais quoi, je ne vous répondrai pas et j'assume notre désaccord.

@Dattier Je ne vois pas où tu veux en venir avec ton contre quelque chose, est-ce dont je parlais ?

Proposer une stratégie tel que l on gagne un euro pour toutes les séries de 0 et 1, sauf quand on a la série 01010101010...

Oui je crois qu'on peut sans trop de difficulté avec n fixé, sauf erreur de ma part

Je mise 1 sur 1 au premier tirage
Je mise 2 sur 0 au deuxieme tirage
Je mise 4 sur 1 au troisième tirage
Je mise 8 sur 0 au quatrième tirage
...
Je mise somme des montants précédents +1 = 2^(k-1) au kème tirage

Bien sur je m’arrête dès que je gagne autrement dit dès que je diffère de la séquence à éviter.
Par contre si cette séquence sort, je vais pleurer.

Un petit calcul de l’espérance pour anticiper les réactions des réfractaires
1/2 + (2-1)/4 + (4-2-1)/8 + (8-4-2-1)/16 +... +1/2^n - sum(1+2+...+2^(n-1))/2^n = 0

OK.

Soit CR sous ensemble non trivial quelconque de {0,1}^100, existe t il une stratégie pour jouer contre CR, cette stratégie est elle unique?

Le seul cas que je vais savoir résoudre comme ça à l'instinct, c'est lorsque les k premiers termes des séquences sont identiques et que toutes les manières de les compléter appartiennent à CR.
Je recycle la stratégie précédente en m’arrêtant au kème tirage mais dans le cas contraire, cela se complique.

Prenons un exo jouet avec n=2 et CR={10;01}
Selon tes exigences je dois gagner 1 si 00 ou 11 et perdre si 10 ou 01
Essayons : si je mise sur 0 au premier tour (pour remporter avec 00), il va falloir que je mise sur 1 au second tour (pour remporter avec 11)
Je vais donc forcément gagner aussi avec 01 mais je n'ai pas le droit.
Le raisonnement est symétrique si je mise sur 1 au premier tour

Pour ce qui est de l'unicité d'une stratégie qui vérifie certaines contraintes, pas la moindre idée de comment faire, c'est en dehors de mes compétences, il faut demander à quelqu'un d'autre.

Bonjour

Reprenons ton exemple

Si je prends la stratégie f(()) =0, f((0))=-1, f((1))=1

Alors pour 11 on a 1 pour 00 on a 1 pour 01 on a -1 pour 10 on a -1.

Mais il n y a pas qu une seule stratégie prendre f()) =1/4, f(0))=-5/4, f((1))=3/4

Alors on a pour 11 on a 1 pour 00 on a 1, 01. - 3/2 et 10 on a -1/2.

Bonne journée.

En fait on peut montrer que pour toute fonction g de A= {0,1}**n dans les réels, tel que la somme sur A est nulle, alors il existe une unique stratégie f tel que la fonction gain associé coïncide avec g sur A. C est de l algèbre linéaire.

Edit : on a une transformée linéaire qui permet de passer d une fonction gain à une stratégie et inversement.

Je ne comprends pas tes notations mais tu as raison, on peut effectivement trouver une stratégie qui s'adapte en temps réel dans l'exemple.

Je mise 0 et je gagne g comme ensuite je dois gagner 1 avec 00 et perdre avec 01 je mise sur 0 la somme de 1-g et je perds donc 2g-1 si 01 sort donc il faut g<0,5

Je mise 0 et je perds g comme ensuite je dois gagner 1 avec 11 et perdre avec 10 je mise sur 1 la somme de 1+g et je perds donc -1-2g si 10 sort.

Symétriquement on va s'en sortir sans difficulté en misant 1 au premier tour. En fait le plus simple ici est de ne pas miser du tout au premier tour et d'attendre le second tour pour avoir les -1 dont tu parles.

Je veux bien que tu me le montres pour le cas general, pour moi, ce n'est pas si évident

Je pense qu il te manque les notations pour le voir.

Je reprends la stratégie f(()) =0, f((0))=-1, f((1))=1

f(())=1 veut dire qu au début je mise 1 sur 1 (si j aurais mis. -1 alors j aurais misé sur 0)
f((0))=-1 veut dire que si 0 sort au début alors je mise 1 sur 0.
f((1))=1 veut dire que si 1 sort je mise 1 sur 1.

On prends g(00), g(11), g(01) et g(10) une fonction gain tel que la somme est nulle on cherche la stratégie f associé

g(00)=-f()-f(0)
g(11)=f()+f(1)
g(01)=-f()+f(0)
g(10)=f()-f(1)

1/4*(g(11)+g(10)-g(00)-g(01))=f()
1/2*(g(01)-g(00))=f(0)
1/2*(g(11)-g(10))=f(1)


Ok?

Ok j'y suis, je comprends ce que tu veux dire