Résolution de systèmes linéaires.

Dlzlogic a écrit: minimiser les calculs et éviter de perdre de la précision.

Dlzlogic a écrit:Il y a deux écoles, soit on écrit le système sous forme matricielle et on le résout avec les outils de calcul matriciel, soit on utilise directement la méthode du pivot de Gauss.

Dlzlogic a écrit:J'ai lu dans un échange su un autre forum que l'étude d'un système linéaire se faisait indépendamment des valeurs à droite du signe '='. Ceci a même été confirmé, en quelque sorte, par un membre qui m'a répondu (il y a assez longtemps) quelque-chose comme : "l'avantage est que une fois le système étudié, on peut lui appliquer le second membre".
J'aimerais bien un vais su cela, vrai, faux, pourquoi etc.    

Il y a deux écoles, soit on écrit le système sous forme matricielle et on le résout avec les outils de calcul matriciel, soit on utilise directement la méthode du pivot de Gauss.

J'ai lu dans un échange su un autre forum que l'étude d'un système linéaire se faisait indépendamment des valeurs à droite du signe '='. Ceci a même été confirmé, en quelque sorte, par un membre qui m'a répondu (il y a assez longtemps) quelque-chose comme : "l'avantage est que une fois le système étudié, on peut lui appliquer le second membre".

Pour réaliser l'opération que tu notes X = A^(-1). B, il y a plusieurs opérations dans le domaine "calculs matriciel" à réaliser (inversion, produit).

C'est un héritier de Bernoulli, Gauss et leurs copains. En d'autre termes, s'il lisait tes affirmations il te ferait rayer de la liste des anciens élèves de l'école que tu connais.

Unknown a écrit:C'est une méthode efficace mais ce n'est pas la seule, d'autres sont plus adaptées dans certains cas :
- Cholesky pour les matrices définies positives (p27)
- Factorisation QR pour matrices mal conditionnées (plus stable numériquement) p31
- Méthodes itératives pour les systèmes de grande taille (p39)
- Méthodes de type Krylov pour les systèmes creux (voir par exemple : http://mms2.mines-paristech.fr/ef_paris/technologie/transparents/systemes_lineaires_cb.pdf)

Dlzlogic a écrit:Ta réponse concernant la non-opposabilité des deux méthodes n'est pas tout à fait exacte.

Dlzlogic a écrit:Pour réaliser l'opération que tu notes  X = A^(-1). B, il y a plusieurs opérations dans le domaine "calculs matriciel" à réaliser (inversion, produit).

Dlzlogic a écrit: si on doit résoudre un système linéaire, c'est qu'il est bien conformé et tout ce qu'on voudra.

Dlzlogic a écrit: organiser une procédure dans le seul but que le déterminant n'est pas nul (ou trop petit) me semble un peu mesquin.

Dlzlogic a écrit:
Les systèmes de grande taille n'entrent pas dans le cadre du présent fil.
Les systèmes creux, ne rentrent pas non plus dans ce cadre.
Je cherche seulement à clarifier cette question de résolution de systèmes linéaires,  

Je n'ai jamais dit que la méthode du pivot de Gauss était la plus efficace.

Il a mis au point une méthode de résolution qui présente deux avantages, minimiser les calculs et éviter de perdre de la précision.

Je cherche seulement à clarifier cette question de résolution de systèmes linéaires, si cela ne t'intéresse pas ou si tu n'as pas d'information intéressante, attend qu'il y ait un autre sujet où tu pourras me contredire, selon ta bonne habitude.

Dlzlogic a écrit:J'ai lu dans un échange su un autre forum que l'étude d'un système linéaire se faisait indépendamment des valeurs à droite du signe '='. Ceci a même été confirmé, en quelque sorte, par un membre qui m'a répondu (il y a assez longtemps) quelque-chose comme : "l'avantage est que une fois le système étudié, on peut lui appliquer le second membre".
J'aimerais bien un vais su cela, vrai, faux, pourquoi etc.    

Dattier a écrit:

Dlzlogic a écrit:J'ai lu dans un échange su un autre forum que l'étude d'un système linéaire se faisait indépendamment des valeurs à droite du signe '='.

Oui, c'est vrai, pour cela je vais illustrer mon propos, avec un exemple.

On veut résoudre toutes les équations du type avec a et b connues, x et y à déterminer.

4x+3y=a
x+y=b

x+y=b
y=4b-a

x=a-3b
y=4b-a

Fin.

Dlzlogic a écrit:Il se trouve que dès qu'il y a une question concernant la résolution d'un système linéaire "ordinaire, de taille humaine, bien conditionné etc.", il y a des pages de réponses, on y parle de tout, sauf de méthode de résolution.

Dlzlogic a écrit: L'exemple typique est le cas du fil cité par Fun hier.
Donc, indépendamment de toute exception et de tout cas particulier, supposons que l'on ait un système linéaire d'une dizaine d'inconnues, bien conditionné, qui admet une solution, bref, le cas général, comment ferait-on ?

Dlzlogic a écrit:Il me semble que la question est assez précise pour être comprise sans ambiguïté.  

l'ensemble des matrices carrés inversible est un ouvert dense de l'ensemble des matrices CARREES !!.

Fun a écrit: Dlzlogic a écrit:
L'exemple typique est le cas du fil cité par Fun hier.
Donc, indépendamment de toute exception et de tout cas particulier, supposons que l'on ait un système linéaire d'une dizaine d'inconnues, bien conditionné, qui admet une solution, bref, le cas général, comment ferait-on ?

Ben pivot de Gauss (avec pivot partiel ou total, si on veut), c'est la méthode la plus simple qui peut s'employer dans ces cas simples.

Dattier a écrit:Je suis fier de me faire comprendre même des collégiens, quand toi tu utilises des concepts* sans les définir,

Dattier a écrit: qui s'il était connue de Dlzlogic, il n'aurait jamais poser la question.

Dattier a écrit: * : matrice inversible, et inverse d'une matrice...

Dattier a écrit:Ou comment donner à ses pairs l'impression que l'on a répondu à la question, sans que le questionneur ne pige le moindre mot.

l'ensemble des matrices carrés inversibles (toi aussi tu dis inversible alors ?) est un ouvert dense de l'ensemble des matrices carrées

[strike]Dlzlogic[/strike]Fun a écrit:Ben pivot de Gauss (avec pivot partiel ou total, si on veut), c'est la méthode la plus simple qui peut s'employer dans ces cas simples.
Donc, le long sujet dont tu as mis un lien hier était donc sans objet, c'est ce que tu confirme.

Dlzlogic a écrit:Alors tout va bien, sauf les cas "tordus" comme les systèmes mal conditionnés ou les système énormes, la méthode du pivot de Gauss est bien la meilleure.  

Dattier a écrit:@Fun : OK, vas-y expliques moi le concept de matrice mal ou bien conditionné.

Fais comme, si j'avais le niveau 3ème (niveau que vous estimez pour Dlzlogic).

Je t'écoute.