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funfumfunfun- Messages : 873
Date d'inscription : 26/11/2020
distributionS uniformeS de segments dans un disque
Lun 15 Nov - 14:20
Bonjour
Question : que signifie "tirer au hasard des segments dans un disque" ?
Comme il n'y a pas de protocole spécifique, on comprend qu'il est sous-entendu qu'il s'agit d'un tirage uniforme (comme on dit "tirer au hasard un réel entre 0 et 1").
Mais c'est quoi un tirage uniforme ?
Voici une approche :
on considère un grand disque D contenant un petit disque D' et un protocole P de construction des segments (potentiellement tous) contenus dans un disque abstrait.
- on applique le protocole P au disque D pour obtenir une répartition sur l'ensemble S des segments de D ;
- on applique le protocole P au disque D' pour obtenir une répartition sur l'ensemble S' des segments de D' ;
- on a une injection canonique de S' dans S (on dit S' est inclus dans S);
- on compare la répartition des segments à S et la répartition des segments appartenant à S' ;
- on dit que la répartition des segments de D est "uniforme" lorsque, quel que soit le sous-disque D' de D,
la répartition des segments de D contenu dans D' est exactement la même que celle des segments de D'.
Maintenant, passons à deux exemples :
exemple A :
pour construire un segment, on considère deux points suivant la loi uniforme du disque que l'on joint.
Voici 500 segments du disque unité D construits suivant ce protocole.
exemple B :
pour construire un segment, on considère un point suivant la loi uniforme du disque, puis un autre donné par une distance et un angle. On joint ces deux points.
Voici 500 segments du disque unité D construits suivant ce protocole.
Ces deux exemples illustre bien une distribution uniforme d'après la définition rappelée ci-dessus.
Visuellement, regardons par exemple des segments construits dans D mais inclus dans le sous-disque D' centré en [0.5 ; 0] et de rayon 1/2.
exemple A restreint à D' :
exemple B restreint à D' :
On voit que dans les deux cas, les distributions ressemblent respectivement à celles de D présentée au-dessus, ce qui confirme (visuellement) qu'elles sont bien uniformes.
On peut bien évidemment rentrer dans le détail pour prouver qu'elles sont effectivement uniformes.
Question : deux protocoles de construction. A-t-on sous nos yeux deux distributions uniformes différentes ?
A vous !
Question : que signifie "tirer au hasard des segments dans un disque" ?
Comme il n'y a pas de protocole spécifique, on comprend qu'il est sous-entendu qu'il s'agit d'un tirage uniforme (comme on dit "tirer au hasard un réel entre 0 et 1").
Mais c'est quoi un tirage uniforme ?
Voici une approche :
on considère un grand disque D contenant un petit disque D' et un protocole P de construction des segments (potentiellement tous) contenus dans un disque abstrait.
- on applique le protocole P au disque D pour obtenir une répartition sur l'ensemble S des segments de D ;
- on applique le protocole P au disque D' pour obtenir une répartition sur l'ensemble S' des segments de D' ;
- on a une injection canonique de S' dans S (on dit S' est inclus dans S);
- on compare la répartition des segments à S et la répartition des segments appartenant à S' ;
- on dit que la répartition des segments de D est "uniforme" lorsque, quel que soit le sous-disque D' de D,
la répartition des segments de D contenu dans D' est exactement la même que celle des segments de D'.
Maintenant, passons à deux exemples :
exemple A :
pour construire un segment, on considère deux points suivant la loi uniforme du disque que l'on joint.
Voici 500 segments du disque unité D construits suivant ce protocole.
exemple B :
pour construire un segment, on considère un point suivant la loi uniforme du disque, puis un autre donné par une distance et un angle. On joint ces deux points.
Voici 500 segments du disque unité D construits suivant ce protocole.
Ces deux exemples illustre bien une distribution uniforme d'après la définition rappelée ci-dessus.
Visuellement, regardons par exemple des segments construits dans D mais inclus dans le sous-disque D' centré en [0.5 ; 0] et de rayon 1/2.
exemple A restreint à D' :
exemple B restreint à D' :
On voit que dans les deux cas, les distributions ressemblent respectivement à celles de D présentée au-dessus, ce qui confirme (visuellement) qu'elles sont bien uniformes.
On peut bien évidemment rentrer dans le détail pour prouver qu'elles sont effectivement uniformes.
Question : deux protocoles de construction. A-t-on sous nos yeux deux distributions uniformes différentes ?
A vous !
Dattier et Vassillia_mode_fun aiment ce message
- Vassillia_mode_fun
- Messages : 19
Date d'inscription : 28/10/2021
Re: distributionS uniformeS de segments dans un disque
Lun 15 Nov - 14:30
Salut 4fun,
J'applaudis l'effort, vraiment, c'est superbement bien joué et je pense que je vais aimer la suite. J'attends avec impatience l'avis de Dattier à ce sujet.
Ce message est entièrement positif, merci à la modération d'en tenir compte.
J'applaudis l'effort, vraiment, c'est superbement bien joué et je pense que je vais aimer la suite. J'attends avec impatience l'avis de Dattier à ce sujet.
Ce message est entièrement positif, merci à la modération d'en tenir compte.
Dattier- Messages : 2996
Date d'inscription : 08/05/2019
Re: distributionS uniformeS de segments dans un disque
Lun 15 Nov - 14:35
Bonjour
Citation : deux protocoles de construction. A-t-on sous nos yeux deux distributions uniformes différentes ?
Non, pas forcément, en effet de 2 protocoles differents, peut émerger 2 tirages de même distribution. On dirait que c'est le cas, ici.
Bonne journée.
Citation : deux protocoles de construction. A-t-on sous nos yeux deux distributions uniformes différentes ?
Non, pas forcément, en effet de 2 protocoles differents, peut émerger 2 tirages de même distribution. On dirait que c'est le cas, ici.
Bonne journée.
- funfumfunfun
- Messages : 873
Date d'inscription : 26/11/2020
Re: distributionS uniformeS de segments dans un disque
Lun 15 Nov - 14:44
Vassillia,
si tu veux participer mathématiquement, je suis totalement open.
Dattier,
tu as raison de préciser qu'on pourrait avoir la même distribution des segments, alors qu'on a deux protocoles différents. C'est tout à fait possible, en effet.
Visuellement, on dirait qu'on n'a pas la même distribution entre l'exemple A et le B, mais c'est visuel, donc critiquable.
Pour élucider le problème, j'ai pris une statistique réelle (en dimension 1) sur les segments, à savoir leur longueur.
Pour l'exemple A, les longueurs des segments se classent (par ordre croissant) ainsi :
Pour l'exemple b, les longueurs des segments se classent (par ordre croissant) ainsi :
...deux couleurs (rouge et bleu), car j'ai fait deux salves de 500 tirages pour chaque exemple.
On voit bien que les longueurs ne sont pas les mêmes : l'exemple B donne globalement des longueurs plus grande que l'exemple A. Ce qui confirme l'effet visuel de l'exemple A plus tassé que l'exemple B.
Voilà donc deux répartitions uniformes différentes ! Étonnant, non ?
si tu veux participer mathématiquement, je suis totalement open.
Dattier,
tu as raison de préciser qu'on pourrait avoir la même distribution des segments, alors qu'on a deux protocoles différents. C'est tout à fait possible, en effet.
Visuellement, on dirait qu'on n'a pas la même distribution entre l'exemple A et le B, mais c'est visuel, donc critiquable.
Pour élucider le problème, j'ai pris une statistique réelle (en dimension 1) sur les segments, à savoir leur longueur.
Pour l'exemple A, les longueurs des segments se classent (par ordre croissant) ainsi :
Pour l'exemple b, les longueurs des segments se classent (par ordre croissant) ainsi :
...deux couleurs (rouge et bleu), car j'ai fait deux salves de 500 tirages pour chaque exemple.
On voit bien que les longueurs ne sont pas les mêmes : l'exemple B donne globalement des longueurs plus grande que l'exemple A. Ce qui confirme l'effet visuel de l'exemple A plus tassé que l'exemple B.
Voilà donc deux répartitions uniformes différentes ! Étonnant, non ?
- Dattier
- Messages : 2996
Date d'inscription : 08/05/2019
Re: distributionS uniformeS de segments dans un disque
Lun 15 Nov - 14:48
On dirait que c'est le cas, ici. C'est bien la même distribution.
- funfumfunfun
- Messages : 873
Date d'inscription : 26/11/2020
Re: distributionS uniformeS de segments dans un disque
Lun 15 Nov - 14:51
oui.
Ce qui implique, ici, que l'expression "choisir des segments au hasard" (sous-entendu selon une loi uniforme, le Pur Hasard dixit Harthong) n'est pas suffisamment précise.
Ce qui implique, ici, que l'expression "choisir des segments au hasard" (sous-entendu selon une loi uniforme, le Pur Hasard dixit Harthong) n'est pas suffisamment précise.
- Dattier
- Messages : 2996
Date d'inscription : 08/05/2019
Re: distributionS uniformeS de segments dans un disque
Lun 15 Nov - 14:54
Il est à noter que tes tirages ne sont pas uniforme au sens de la définition que j'ai donné.
- funfumfunfun
- Messages : 873
Date d'inscription : 26/11/2020
Re: distributionS uniformeS de segments dans un disque
Lun 15 Nov - 14:57
ah bon ? Moi, il me semble que si.
Tu peux expliquer s'il te plait.
Tu peux expliquer s'il te plait.
- Dattier
- Messages : 2996
Date d'inscription : 08/05/2019
Re: distributionS uniformeS de segments dans un disque
Lun 15 Nov - 15:02
Encore une fois je prend tous les tirages intercepter avec D', sauf le vide.
Ce qui n'est pas la même chose que toi, tu ne retiens que les segments dans D'. OK ?
Ce qui n'est pas la même chose que toi, tu ne retiens que les segments dans D'. OK ?
- funfumfunfun
- Messages : 873
Date d'inscription : 26/11/2020
Re: distributionS uniformeS de segments dans un disque
Lun 15 Nov - 15:14
En effet, ce n'est pas la même chose.Dattier a écrit:Encore une fois je prend tous les tirages intercepter avec D', sauf le vide.
Ce qui n'est pas la même chose que toi, tu ne retiens que les segments dans D'. OK ?
Tu prends un segment de D et l'intersectes avec D' :
tu vas obtenir ainsi "beaucoup" de segments de D' touchant son cercle frontière de D' , car "beaucoup" de segments dans D ont une extrémité dans D et l'autre dans D'.
Pour un segment S de D' touchant son cercle frontière, il y a une infinité de segments de D qui donnent ainsi naissance à S par intersection ;
En revanche, pour un segment S strictement inclus dans D', il y a uniquement un seul segment de D qui donne ainsi naissance à S par intersection ;
C'est gênant , non ? Je ne vois pas où il y a la moindre uniformité dans ce genre de construction.
Ainsi, toi, une distribution uniforme des segments sur le gros disque D serait "beaucoup" de segments touchant le cercle frontière.
Mais alors, quelle est cette distribution ? comment l'obtenir ?
tu prends des droites du plan (comment ??) et tu conserves leur intersection avec le disque D. Mais alors tes segments sont uniquement des cordes :
pas génial, il manque quasiment tous les segments de D !
- Dattier
- Messages : 2996
Date d'inscription : 08/05/2019
Re: distributionS uniformeS de segments dans un disque
Lun 15 Nov - 15:26
Si X est un tirage uniforme de segments du disque A, alors pour toute similitude s telle que s(A) <A, le tirage de segments s^{-1}( X n s(A) ), dont on ne tient compte que des intersections non vide, est un tirage de même loi que X.
Cela veut dire qu'il n' y a probablement pas de tirage de segments uniforme, comme il n'y a pas de tirages uniformes de sous cercle.
Cela veut dire qu'il n' y a probablement pas de tirage de segments uniforme, comme il n'y a pas de tirages uniformes de sous cercle.
- funfumfunfun
- Messages : 873
Date d'inscription : 26/11/2020
Re: distributionS uniformeS de segments dans un disque
Lun 15 Nov - 15:28
si si, il en existe une, la voici :Dattier a écrit:Cela veut dire qu'il n' y a probablement pas de tirage de segments uniforme, comme il n'y a pas de tirages uniformes de sous cercle.
tu prends des droites du plan (comme tu veux) et tu conserves leur intersection avec le disque D. C'est conforme à ta définition d'un tirage "uniforme" des segments sur D !
Mais tes segments sont uniquement des cordes : pas génial, il manque quasiment tous les segments de D !
- Dattier
- Messages : 2996
Date d'inscription : 08/05/2019
Re: distributionS uniformeS de segments dans un disque
Lun 15 Nov - 15:31
Dattier a écrit:Si X est un tirage uniforme de segments du disque A, alors pour toute similitude s telle que s(A) <A, le tirage de segments s^{-1}( X n s(A) ), dont on ne tient compte que des intersections non vide, est un tirage de même loi que X.
- funfumfunfun
- Messages : 873
Date d'inscription : 26/11/2020
Re: distributionS uniformeS de segments dans un disque
Lun 15 Nov - 15:34
Justement,
je te présente ce protocole :
Mais on voit bien que c'est mal foutu, puisqu'on n'obtient que des cordes d'un disque. Ta définition ne tient donc pas.
je te présente ce protocole :
et c' est conforme à ta définition ! inutile de la répéter...tu prends des droites du plan (comme tu veux, cf cas n°2 de Bertrand) et tu conserves leur intersection avec le disque D.
Mais on voit bien que c'est mal foutu, puisqu'on n'obtient que des cordes d'un disque. Ta définition ne tient donc pas.
- Dattier
- Messages : 2996
Date d'inscription : 08/05/2019
Re: distributionS uniformeS de segments dans un disque
Lun 15 Nov - 15:41
Non, le tirage uniforme se fait toujours depuis une surface bornée d'intérieur non vide.
- funfumfunfun
- Messages : 873
Date d'inscription : 26/11/2020
Re: distributionS uniformeS de segments dans un disque
Lun 15 Nov - 15:45
en guise de droites, tu prends les cordes d'un disque énorme (cf cas n°2 de Bertrand) ! ne fais pas semblant de ne pas comprendre, c'est toi qui me l'a dit dans une autre discussion...Dattier a écrit:Non, le tirage uniforme se fait toujours depuis une surface bornée d'intérieur non vide.
- Dattier
- Messages : 2996
Date d'inscription : 08/05/2019
Re: distributionS uniformeS de segments dans un disque
Lun 15 Nov - 15:48
funfumfunfun a écrit:en guise de droites, tu prends les cordes d'un disque énorme ! ne fais pas semblant de ne pas comprendre, c'est toi qui me l'a dit dans une autre discussion...Dattier a écrit:Non, le tirage uniforme se fait toujours depuis une surface bornée d'intérieur non vide.
Encore une fois, tu veux être compris, fait des réponses concises et claires.
Je ne comprends pas où tu veux en venir.
- funfumfunfun
- Messages : 873
Date d'inscription : 26/11/2020
Re: distributionS uniformeS de segments dans un disque
Lun 15 Nov - 15:53
1) J'ai présenté deux tirages distincts uniformes (voir la définition que j'ai rappelée).
2) tu prends des "droites du plan" (comme tu veux, cf cas n°2 de Bertrand, cordes d'un énorme disque, etc) et tu conserves leur intersection avec le disque D.
Ce protocole est conforme à ta définition de "distribution uniforme des segments" de D.
Mais on voit bien que c'est mal foutu, puisqu'on n'obtient que des cordes du disque D.
Ta définition ne tient donc pas !
2) tu prends des "droites du plan" (comme tu veux, cf cas n°2 de Bertrand, cordes d'un énorme disque, etc) et tu conserves leur intersection avec le disque D.
Ce protocole est conforme à ta définition de "distribution uniforme des segments" de D.
Mais on voit bien que c'est mal foutu, puisqu'on n'obtient que des cordes du disque D.
Ta définition ne tient donc pas !
- Dattier
- Messages : 2996
Date d'inscription : 08/05/2019
Re: distributionS uniformeS de segments dans un disque
Lun 15 Nov - 15:56
1) oui, peut-être
2) non
2) non
- funfumfunfun
- Messages : 873
Date d'inscription : 26/11/2020
Re: distributionS uniformeS de segments dans un disque
Lun 15 Nov - 23:06
voilà qui est court et pas constructif .
Ne pas dire " c'est pas vrai" sans argumentation : c'est la charte !!
Ne pas dire " c'est pas vrai" sans argumentation : c'est la charte !!
- Dattier
- Messages : 2996
Date d'inscription : 08/05/2019
Re: distributionS uniformeS de segments dans un disque
Mar 16 Nov - 10:18
Bonjour,
Je tenais à saluer l'effort de Fun, car l'exemple de Fun est tout à fait dans l'esprit de la définition que j'ai proposée.
Mais le problème,
1) c'est qu'en regardant la distribution des distances pour les 2 protocoles, on n'est pas vraiment convaincu d'avoir 2 distributions différentes.
2) dans son premier message il conclut que pour les 2 protocoles le tirage est de même distribution entre tirage sur D et restreint à D', juste sur le dessin, j'aurais aimé qu'ici aussi il compare la distribution des longueurs de segments entre le tirage sur D et D', pour les 2 protocoles.
(d' où mon "peut être" )
Bonne journée.
Je tenais à saluer l'effort de Fun, car l'exemple de Fun est tout à fait dans l'esprit de la définition que j'ai proposée.
Mais le problème,
1) c'est qu'en regardant la distribution des distances pour les 2 protocoles, on n'est pas vraiment convaincu d'avoir 2 distributions différentes.
2) dans son premier message il conclut que pour les 2 protocoles le tirage est de même distribution entre tirage sur D et restreint à D', juste sur le dessin, j'aurais aimé qu'ici aussi il compare la distribution des longueurs de segments entre le tirage sur D et D', pour les 2 protocoles.
(d' où mon "peut être" )
Bonne journée.
- Dattier
- Messages : 2996
Date d'inscription : 08/05/2019
Re: distributionS uniformeS de segments dans un disque
Mar 16 Nov - 10:52
Je viens de me rendre compte d'une chose.
Ton protocole avec l'injection canonique ne permet pas de rendre compte que de loi uniforme.
On se place sur S= [0,1] que l'on munit de la distribution 2x, alors pour tout sous segment S' de [0,1] en restreignant le tirage sur S à S', on obtient un tirage de distribution 2x également. Donc par ta méthode on serait amené à croire à l'uniformité de cette distribution.
Alors qu'en transformant le segment S avec des similitudes à coeff négatif, on n'a pas la même distribution qui devient alors 1-2x.
D'où le fait que tu récupèrerais beaucoup de loi "uniforme" .
Ton protocole avec l'injection canonique ne permet pas de rendre compte que de loi uniforme.
On se place sur S= [0,1] que l'on munit de la distribution 2x, alors pour tout sous segment S' de [0,1] en restreignant le tirage sur S à S', on obtient un tirage de distribution 2x également. Donc par ta méthode on serait amené à croire à l'uniformité de cette distribution.
Alors qu'en transformant le segment S avec des similitudes à coeff négatif, on n'a pas la même distribution qui devient alors 1-2x.
D'où le fait que tu récupèrerais beaucoup de loi "uniforme" .
- funfumfunfun
- Messages : 873
Date d'inscription : 26/11/2020
Re: distributionS uniformeS de segments dans un disque
Mar 16 Nov - 10:57
Bonjour,
Pour l'exemple A, les longueurs des segments se classent (par ordre croissant) ainsi :
en bleu sur D :
en rouge sur D' :
les abscisses représentent les longueurs des segments, les ordonnées de 0% à 100% des segments.
Les deux courbes sont bien conformes l'une à l'autre.
Pour l'exemple B, les longueurs des segments se classent (par ordre croissant) ainsi :
en bleu sur D :
en rouge sur D' :
les abscisses représentent les longueurs des segments, les ordonnées de 0% à 100% des segments.
Les deux courbes sont bien conformes l'une à l'autre.
Ta remarque est judicieuse : pour se convaincre/rassurer visuellement qu'il s'agit de mêmes types tirages sur le disque D et le sous-disque D', voici quelques graphes.Dattier a écrit:1) c'est qu'en regardant la distribution des distances pour les 2 protocoles, on n'est pas vraiment convaincu d'avoir 2 distributions différentes.
2) dans son premier message il conclut que pour les 2 protocoles le tirage est de même distribution entre tirage sur D et restreint à D', juste sur le dessin, j'aurais aimé qu'ici aussi il compare la distribution des longueurs de segments entre le tirage sur D et D', pour les 2 protocoles.
Pour l'exemple A, les longueurs des segments se classent (par ordre croissant) ainsi :
en bleu sur D :
en rouge sur D' :
les abscisses représentent les longueurs des segments, les ordonnées de 0% à 100% des segments.
Les deux courbes sont bien conformes l'une à l'autre.
Pour l'exemple B, les longueurs des segments se classent (par ordre croissant) ainsi :
en bleu sur D :
en rouge sur D' :
les abscisses représentent les longueurs des segments, les ordonnées de 0% à 100% des segments.
Les deux courbes sont bien conformes l'une à l'autre.
- Dattier
- Messages : 2996
Date d'inscription : 08/05/2019
Re: distributionS uniformeS de segments dans un disque
Mar 16 Nov - 11:02
Pourquoi ne pas mettre sur le même graphe le tirage sur D et restreint à D', pour comparer plus facilement, comme tu l'avais fait ici :
funfumfunfun a écrit:
Pour l'exemple A, les longueurs des segments se classent (par ordre croissant) ainsi :
Pour l'exemple b, les longueurs des segments se classent (par ordre croissant) ainsi :
...deux couleurs (rouge et bleu), car j'ai fait deux salves de 500 tirages
- funfumfunfun
- Messages : 873
Date d'inscription : 26/11/2020
Re: distributionS uniformeS de segments dans un disque
Mar 16 Nov - 11:05
Je vois bien la loi uniforme sur [0,1], mais que veux-tu dire par "distribution 2x" ?Dattier a écrit:On se place sur S= [0,1] que l'on munit de la distribution 2x,
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