Définition de résultat asymptotique.

Bonjour,
Réf. : https://www.maths-forum.com/superieur/definition-resultat-asymptotique-t254205.html
Je recopie la question :

Bonjour, quand on dit que le théorème de Moivre Laplace est un résultat asymptotique, que veut dire le terme asymptotique au juste ?

Elle est très bien posée. Le qualificatif "asymptotique" utilisé en maths veut dire "tend vers, sans jamais l'atteindre".
De nombreuses fonctions mathématiques ont des asymptotes, par exemple l'hyperbole, à distinguer de "direction asymptotique", exemple la parabole.
La courbe de Gauss, représentative de la loi normale a une asymptote horizontale. Cela signifie que la probabilité d'un certain évènement tend vers zéro lorsque le nombre d'épreuves tend vers l'infini.
Ceci est vrai, quelle que soit la loi de probabilité. Et naturellement aussi avec la loi binomiale, mais il est inutile de la nommer, puisque c'est vrai quelle que soit l'expérience réalisée, tir au fusil ou au canon, jeu de pile ou face, taille d'individus.
Il me parait important de préciser que les valeurs dépassant 4 ou 5 écarts-types sont très rares et de ce fait, ne présentent pas grand intérêt.

Question complémentaire.

D’accord mais un peu plus globalement dans le théorème central limite, quand je prend Sn=1/n somme(Xi) avec Xi va indépendante de même loi, on a donc Sn* (va centré réduite) qui converge en loi vers une va normale centrée réduite. Est-ce ce que je peux dire que Sn* SUIT une loi normale centrée réduite ?

Ma réponse : bien-sûr que oui. C'est d'ailleurs la seule méthode d'existence de la loi normale.
On peut lire dans différents documents que la courbe de Gauss est très fréquente dans la nature. La raison est très simple : les mêmes évènement se répètent toujours à peu près de la même façon. L'exemple typique, c'est l'usure de seuils de vieilles maisons, de marches d'escalier ou de chemins creux.

Apparemment, Gbzm a "oublié" de préciser la loi que suivait la variable Sn.
Habituellement, quand on répond "non, c'est pas ça", on ajoute immédiatement la bonne réponse, ou éventuellement un indice pour la trouver. Citer un vague exemple pour justifier le "non, c'est pas ça" s'appelle "noyer le poisson".

Bonjour,
Sylviel est intervenu pour soutenir Gbzo et par le fait même d'empêcher le demandeur de comprendre. Je cite :

Sylviel a écrit:D’ailleurs si tu prends une somme finie de loi de Bernoulli (centrée réduite) tu as une loi discrète, donc pas une loi normale. Et la loi exacte de Sn dépends de la loi de Xi : Binomiale pour une somme de Bernoulli, Normale pour une somme de normales, sans nom pour une somme d’exponentielles, de Cauchy pour une somme de lois de Cauchy…
La magie du TCL est de dire que, quelle que soit la loi de Xi (de carré intégrable), la loi de Sn* tends vers (converge en loi) une loi centrée réduite.

J'avoue que j'ai du mal à comprendre "somme finie de lois de Bernoulli", mais j'arrive à interpréter. Je crois que c'est la première fois que je vois groupés les termes "loi de Bernoulli centrée réduite", mais si il y en avait beaucoup, tracés avec un feutre, ça pourrait passer pour une loi normale, n'est-ce pas ?
Sylviel parle de loi binomiale. Selon les différents cours, elle ne se distingue de la loi normale que par l'épaisseur des traits. Quelle utilité d'en prévoir deux ?
Sylviel parle de loi normale. Comment trouver une expérience qui suive une loi normale.
Sylviel parle de loi exponentielle. La somme de loi exponentielles est une loi normale. C'est le théorème appelé TCL. Idem pour la loi de Cauchy.

Il n'y a pas de "magie" dans le TCL, mais de fait du monde réel très peu connu de certains matheux.

Je vais essayer d'être un peu plus précis.
On fait une expérience quelconque. La seule hypothèse est que l'on procède toujours de la même façon pour chacune des épreuves et que le protocole de l'expérience est fixé au départ, c'est à dire qu'aucun élément extérieur ne vient interrompre l'expérience. C'est à dire qu'en aucun cas, la loi de probabilité n'est géométrique ou exponentielle.
Ceci est la description d'une expérience de loi uniforme.

Faisons l'expérience suivante : on tire à pile ou face un grand nombre de fois. Pour chaque jet, il y a deux issues possibles, soit la face sortie est la même qu'au coup précédent, soit c'est l'autre face. C'est connu sous le nom d'épreuve de Bernoulli. Si deux faces, trois faces etc. sont successivement les mêmes, alors les faces consécutives constituent une liste. Un liste de longueur 1 correspond à un changement de face. Un liste de longueur n correspond à n faces identiques successives.
Si on comptabilise le nombre de chacune de ces listes, on constate que leur nombre est proche de 2^n, c'est à dire que la probabilité d'obtenir une liste de longueur n est proche de 1/2^n. Ceci est une vérification de la loi des grands nombres. Dans un contexte théorique et abstrait, il n'y a aucune raison que cette vérification soit réalisée. Ceci se démontre de façon rigoureuse et c'est une approche intéressante du postulat de la moyenne.

Autre expérience.
Soit une liste de chiffres décimaux. Cette liste peut provenir de n'importe quelle source, par exemple les décimales de nombres tels que pi, e, racine(2) ou d'un générateur de nombres aléatoires. Groupons ces chiffres par 3 successifs, ils forment donc un nombres entre 0 et 999. Tous ces nombres ont la même probabilité de sortir. Cette affirmation n'est pas démontrée, mais elle est intuitive. Faisons le décompte d'apparitions de ces nombres et classons-les par ordre croissant. Comme on connait le nombre total, on peut calculer la moyenne. Enfin dessinons l'histogramme des écarts des différents scores à la moyenne. On obtient un graphique qui a la forme d'une cloche et qui est connu sous le nom de courbe de Gauss, représentative de la loi normale.
Ce type d'expérience peut être fait dans n'importe quel contexte et cela montre bien que le résultat de toute expérience de même loi a une répartition normale des écarts à la moyenne.
Il est clair que pour des raisons pratique on va discrétiser les résultats, que les variables soient elles-mêmes discrètes ou continues.