Comment tirer un point uniformément sur un parallélogramme ?

Salut,


On pourrait penser qu'il suffit de tirer chaque coordonnée de manière uniforme, mais cela ne marche pas, en effet le tirage dépend des coordonnées.

J'attendrais d'un tirage uniforme, que quelque soit la droite dans le parallélogramme, si je considère le tirage du projeter orthogonal sur cette droite du point, on aimerait que cela donne sur la droite le même type de distribution quelque soit le choix de la droite.

Ceci n'est pas le cas, quand on fait des tirages par coordonnées, on n'a pas le même type de distribution, selon la droite sur laquelle on projette...


Cordialement.

Salut Dattier,
J'ai eu ce type de problème dans ma vie professionnelle. La technique que j'ai utilisée consiste à diviser la zone à traiter, en l'occurrence ton parallélogramme, et de générer "uniformément" des points dans chaque sous-zone.

Dlzlogic a écrit:Salut Dattier,
J'ai eu ce type de problème dans ma vie professionnelle. La technique que j'ai utilisée consiste à diviser la zone à traiter, en l'occurrence ton parallélogramme, et de générer "uniformément" des points dans chaque sous-zone.  

Mais alors se pose le problème : comment faire un tirage uniforme dans une sous zone ?

Oui, tu aborde le problème important : que veut dire "tirer uniformément". Là, je n'ai pas vraiment de réponse.
On en revient à l'utilisation d'un générateur de nombres aléatoires. C'est un sujet largement débattu. La difficulté, c'est que les sources de ces générateurs sont difficiles à trouver, chaque fois que je m'y intéresse je trouve des détails que j'ignorais. Hier en cherchant à faire une fonction qui renvoie un nombre suivant une dispersion normale et sans faire un code utilisant la méthode Box-Muller, je suis tombé sur un truc pas parfait mais très simple.

Bonsoir,
Vous vous demandez si le tirage uniforme dépend du choix des coordonnées dans le plan. La réponse est  : non, il ne dépend pas du choix de coordonnées affines, car une transformation affine préserve les rapports d'aire.
Je précise un peu ma réponse. Vous avez une région bornée du plan, un parallélogramme si vous voulez.
Vous avez deux systèmes de coordonnées affines du plan, disons (x,y) et (u,v). Un suppose le parallélogramme contenu dans le domaine défini par x₀ < x <x₁, y₀ < y <y₁ et aussi dans le domaine défini par u₀ < u < u₁, v₀ < v < v₁.
Alors vous obtenez une distribution uniforme de points dans le parallélogramme en tirant x uniformément dans [x₀,x₁] et y uniformément dans [y₀,y₁], et en jetant les (x,y) qui ne sont pas dans le parallélogramme. Vous obtenez la même distribution uniforme en tirant u uniformément dans [u₀,u₁] et v uniformément dans [v₀,v₁], et en jetant les (u,v) qui ne sont pas dans le parallélogramme.

@Hum : et non justement un tel tirage dépend des coordonnées que tu choisies.

Par exemple, on identifie le plan à R^2, on se place dans le repère O(0,0) et i=(1,0) et j=(1,1).

Alors si je tire dans le repère (O,i,j) la première coordonné uniformément et la deuxième uniformément, le point que j'obtient, est le résultat du tirage.

Et bien ce tirage dépend des coordonnées, en effet si je condisidère la projection orthogonal du point sur la droite (O,u(0,1)) alors sur (O,u) on a un tirage uniforme, en revanche la même opération sur la droite (O,i) ne donne pas du tout le même type de tirage (uniforme).


En effet ce que l'on attend à minima, d'un tirage uniforme de points X, c'est que pour toute f forme affine du plan, f(X) soit un tirage uniforme de réels.

ce que l'on attend à minima, d'un tirage uniforme de points X, c'est que pour toute f forme affine du plan, f(X) soit un tirage uniforme de réels.

Si j'en crois le titre du fil, vous voulez tirer un point uniformément à l'intérieur d'un parallélogramme.
Et vous pensez vraiment que si vous avec une distribution uniforme de points dans un parallélogramme, ça doit induire une distribution uniforme en projetant sur une droite ? Excusez-moi, mais je trouve ça loufoque comme idée.
Vous exprimez peut-être mal ce que vous voulez dire. C'est pour cela que dans l'autre fil, je vous demandais de préciser. Mais ce n'est pas plus clair ici.

Je vous ai expliqué pourquoi travailler avec un système de coordonnées affines ou un autre ne change absolument rien pour l'uniformité : je répète, la raison en est qu'uniforme sur un domaine D veut dire que la probabilité d'être dans une partie E de D est égale au rapport de l'aire de E à l'aire de D. Or une transformation affine préserve les rapports d'aire. Qu'avez-vous à objecter à cela ?

Pardon d'interférer dans ce sujet, mais je voudrais une définition précise de la part de Hum qui semble compétent, de ce que signifie "tirer uniformément ".
Je suis parfaitement d'accord qu'on peut définir cela sur un papier, mais le sujet de base se situe dans le monde réel.

PS ; Lu le dernier message de Hum. Je précise ma question :
Tirer uniformément a un sens.
Ce qu'on cherche c'est avoir une répartition uniforme. Ca je ne sais pas le faire.

Je l'ai dit dans le message précédent :

uniforme sur un domaine D veut dire que la probabilité d'être dans une partie E de D est égale au rapport de l'aire de E à l'aire de D.

Maintenant votre question porte peut-être sur la façon de faire ça dans une simulation ? Le moyen le plus simple est de mettre le domaine D dans lequel vous voulez faire un tirage uniforme à l'intérieur d'un pavé [x₀,x₁] x [y₀,y₁] de votre système de coordonnées affine (peu importe le système, on peut prendre celui qui nous arrange le mieux). On tire ensuite x uniformément dans [x₀,x₁], y uniformément dans [y₀,y₁] et on jette le couple (x,y) tiré s'il n'est pas dans D. Je m'excuse de répéter ce que j'ai déjà écrit plus haut, mais peut-être cela vous a échappé.

Je pensais que les tirages uniformes étaient linéairement indiscernables, un de l'autre, comme pour le tirage uniforme sur les réels.

Donc il y a plusieurs type (que l'on discerne avec le tirage associé à différente forme linéaire)  de tirages uniformes, selon le choix des coordonnées.

Qu'en est-il si on fait un tirage uniforme en coordonnées polaires, n'obtient-on pas, une indiscernabilité linéaire ?

Comme vous l'avez fait remarquer dans un autre fil, il n'y a pas de tirage uniforme sur les réels ou de tirage uniforme dans le plan. Il ne peut y avoir de tirage uniforme que sur une partie de mesure finie.
Qu'appelez vous "tirages uniformes linéairement indiscernables" ?

Donc il y a plusieurs type de tirages uniformes, selon le choix des coordonnées.

Non, je vous ai déjà expliqué pourquoi, du moment qu'on travaille toujours avec des coordonnées affines.
Qu'est-ce qu'un "tirage uniforme en coordonnées polaires " ? Dans quel domaine de mesure finie ?

Pour moi, tu es clairement GBZM qui fait du troll.

Je t'ajoute à ma liste d'ignorer.

Ps : je préfère te lire sur les autres forums, tu y fais preuve d'une meilleure volonté qu'ici.

Tchuss.

J'essaie simplement de clarifier les choses. La première chose à faire, c'est de bien s'entendre sur ce que "tirage uniforme" veut dire. Je travaille avec la définition standard :
1°) Tirer uniformément un point dans un domaine D du plan n'a de sens que si D est de mesure finie.
2°) L'uniformité veut alors dire que la probabilité d'être dans une partie E de D est égale au rapport de l'aire de E à l'aire de D.
Êtes vous d'accord avec ça ? Sinon, veuillez préciser ce que vous entendez par "tirage uniforme".
Maintenant, si vous ne pouvez pas préciser et que vous préférez abandonner, ce n'est pas grave.

HumHumHum a écrit:Êtes vous d'accord avec ça ? Sinon, veuillez préciser ce que vous entendez par "tirage uniforme".

Dattier a parfaitement défini ce qu'il entendait par "tirage uniforme".
Je pense qu'il y a une notion que vous ignorez : si on fait des tirages uniformes, c'est à dire, avec le même protocole, on aura un résultat avec une répartition normale. En d'autre termes, on ne sait pas définir un protocole de loi uniforme qui produit un résultat de répartition uniforme.
Si vous savez faire cela, ça rendra bien des services dans pas mal de domaines.

Bonjour,

Dlzlogic a écrit:Dattier a parfaitement défini ce qu'il entendait par "tirage uniforme".

Pouvez-vous s'il vous plait me rappeler cette définition ? Que veut dire "tirer uniformément un point dans un disque" ?

Je pense qu'il y a une notion que vous ignorez : si on fait des tirages uniformes, c'est à dire, avec le même protocole, on aura un résultat avec une répartition normale.

Si on tire de façon uniforme des points dans un disque, on aura une répartition normale de quelle quantité ?

En d'autre termes, on ne sait pas définir un protocole de loi uniforme qui produit un résultat de répartition uniforme. Si vous savez faire cela, ça rendra bien des services dans pas mal de domaines.  

J'ai expliqué plus haut comment tirer uniformément un point dans un disque (par exemple, pour appliquer Box-Muller avec la méthode polaire) ; c'est tout à fait classique. Cela vous a sans doute échappé, relisez plus soigneusement mes interventions.
Je vous remercie par avance de répondre à ces questions et de ne pas partir dans des histoires farfelues de nombres aléatoires qui ne seraient pas des nombres mais des étiquettes.

Merci à GBZM pour ce retour en douceur dans les propos donc en durée possible.
Je trouve cela intéressant de prolonger la discussion des cordes de Bertrand,
grace à l'ingéniosité de Dattier.
Cela permet à GBZM de mieux repréciser en ce qui me concerne les éléments que je ne connais pas et gène donc ma compréhension.
Donc merci à vous deux, discussion non inutile.

Sur les étiquettes de Pierre.
Gardons uniforme est meme proba par unité de surface.
Que va faire Pierre,
il va prendre dans le parallélogramme par exemple 50 petites unités de mème surface.
Et là après k tirages il va regarder les résultats dans chaque surface étiquetées a, b,c, d...
Pierre va ensuite les classer dans l'ordre de frequence et nous dire, j'obtiens une distribution en courbe de Gauss.

Cette discussion avec Pierre nous l'avons eu 50 003 fois, donc je ne vais pas de mon coté recommencer.
Avec de la moi uniforme on recommence plein de fois k tirages, on n'aura jamais les memes étiquettes dans le meme ordre, au meme endroit de la courbe de Gauss.
Avec une loi normale, on recommence k tirages on obtiendra les memes étiquettes au meme endroit.
Précision inutile cela ne marche pas avec Pierre.

Puisque Pierre est le spécialiste de la précision, qu'il enlève l'erreur de distribution d'un k échantillon pour donner un résultat avec une précision non influencée par le fait qu'il s'agit d'un k échantillon. Peu de chances de le convaincre, c'est son dada.

Néanmoins si onregarde dans corde de Bertrand la distribution des points milieux de corde selon les 3 options,
en modèle de simulation informatique on voit bien une seule des options qui est grisée uniformément.
C'est ça uniforme sur le point milieu de corde de Bertrand.Inutile de chipoter labels cela se voit à l'oeil.

L'autre truc qui ne marche pas est surprenante pour un spécialiste de la loi des grands nombres,
loi uniforme on attend que les fameuses étiquettes en augmentant le k du k tirage tendent vers l'équiprobabilité.
Loi normale , on augmente le k du k tirage , on ne tend pas vers équiprobabilité des étiquettes.

Mais inutile cela ne marche pas non plus avec Pierre.

Bonjour,


Pour les lecteurs de bonne volonté, comme Dlzlogic ou Beagle.

En effet j'avais donné la définition  de tirage uniforme (selon moi) :

Dattier a écrit:En effet ce que l'on attend à minima, d'un tirage uniforme de points X, c'est que pour toute f forme affine du plan, f(X) soit un tirage uniforme de réels.

Question : Existe de t-il de tel tirage ?

Dattier a écrit:Qu'en est-il si on fait un tirage uniforme en coordonnées polaires, n'obtient-on pas, une indiscernabilité linéaire ?

J'ai rebatisé ce tirage linéairement (affinement) indiscernable : pour qu'il n'y ait pas d'ambiguïté avec la définition propriétaire de tirage uniforme sur un compact.


Bonne journée.

Votre question ne correspond donc pas au titre du fil : rien à voir avec le tirage uniforme d'un point dans une région d'aire finie du plan.

Est-ce que votre question peut se formuler précisément ainsi  : vous cherchez une mesure de probabilité µ dans le plan telle que pour toute forme affine f, l'image de µ par f soit une distribution uniforme sur un intervalle de la droite réelle ?
Il suffit en fait de le demander pour toute forme linéaire sur R² du type  x |---> <v,x> (produit scalaire) où v est un vecteur unitaire.

Si c'est bien la question, alors oui il existe de telles mesures de probabilité supportées dans un disque par exemple. On peut partir de la mesure de probabilité uniforme (au sens de tout le monde) sur une sphère de l'espace et prendre son image par la projection orthogonale sur un plan. Quand on reprojette ensuite orthogonalement sur une droite du plan, on obtient une mesure de probabilité uniforme (au sens de tout le monde) sur l'intervalle image du disque projeté de la sphère (donc un intervalle de longueur deux fois le rayon de la sphère).

Petit ajout : dans un disque de rayon 1, la densité de cette mesure de probabilité par rapport à la mesure de Lebesgue est  1/(2 π (1-r²)^1/2) (où r est bien entendu la distance au centre du disque). Ça se concentre donc pas mal au bord du disque.

HumHumHum a écrit:
Est-ce que votre question peut se formuler précisément ainsi  : vous cherchez une mesure de probabilité µ dans le plan telle que pour toute forme affine f, l'image de µ par f soit une distribution uniforme sur un intervalle de la droite réelle ?
Il suffit en fait de le demander pour toute forme linéaire sur R² du type  x |---> <v,x> (produit scalaire) où v est un vecteur unitaire.

J'aimerais avoir un tirage* de point X sur un compact K d'intérieur non vide, tel que pour tout forme affine, alors f(X) est un tirage uniforme de point sur un compact de R.

* : quand je dis tirage, je parle d'un procédé, sachant que je sais faire des tirages uniformes sur un intervalle réel.

Je ne vois pas trop l'intérêt de recopier la première partie de mon message. Je crois comprendre que vous êtes d'accord avec mon interprétation de votre question. Je suppose aussi que vous avez lu la deuxième partie de mon message. C'est facile de mettre ça en oeuvre pour avoir un moyen pratique de faire un tirage de point dans un disque suivant une mesure de probabilité satisfaisant la propriété que vous souhaitez. Il suffit de savoir tirer un pont de façon uniforme sur une sphère. Ça peut se faire en tirant uniformément dans la boule et en projetant radialement sur la sphère.

Voici le résultat de 4000 tirages suivant la mesure de probabilités que j'ai décrite. On remarque la concentration près du bord. :

Pour compléter, voici les histogrammes des projections dans différentes directions. On remarque à chaque fois l'uniformité de la distribution sur [-1,1].


J'ai les codes python pour réaliser ces images.

Comme quoi, on peut faire n'importe quoi avec des chiffres et des graphiques.
Parallèlement pour une opération simple, vous évoquez la loi normale et la répartition quadratique.
Je vous rappelle que Gbzm a fait des simulations très poussées avec différentes sources.
Je vous rappelle aussi qu'un fichier de mesures journalières de température faites pendant un demi siècle permet de vérifier très soigneusement la théorie des probabilités.
C'est pas la peine de raconter des histoires. On a vu que les arguments n'ont aucun poids sur vos certitudes, alors croyez au moins les vérifications, ou abstenez-vous de dire "c'est pas vrai" pour tout ce qu'on tente de vous expliquer..
Vos petits graphiques sont une insulte à la science.

Bonjour,
Vous laissez transparaître une animosité qui oblitère toute pensée scientifique chez vous. Vous êtes dans la négation pure de la science.
Permettez-moi de vous raconter une petite histoire qui éclaire les "petits graphiques" que j'ai produits.
L'histoire raconte que le grand Archimède était si fier de ses travaux sur la sphère et le cylindre qu'il demanda que sur sa tombe soit gravée l'image d'un cylindre enveloppant une sphère.
Parmi les résultats qu'il démontre, il y a le fait que l'aire d'une tranche horizontale de sphère de hauteur h est égale à l'aire de la tranche de hauteur h correspondante du cylindre (et en particulier, l'aire totale de la sphère est égale à l'aire latérale du cylindre). En termes de probabilités, cela entraîne que l'image de la mesure de probabilité uniforme sur la sphère (celle de densité constante relativement à la surface)  par la projection orthogonale sur l'axe du cylindre est la mesure de probabilité uniforme sur l'intervalle de cet axe correspondant à la hauteur du cylindre (qui est le diamètre de la sphère).
Bien entendu ceci vaut quelle que soit la direction de l'axe du cylindre enveloppant la sphère.
Ce que j'ai fait pour répondre à la question de Dattier, c'est de décomposer la projection de la sphère sur une droite en deux temps : d'abord projection sur un plan contenant la droite, puis projection dans ce plan sur la droite.
Ce que je raconte est tout à fait sérieux et parfaitement établi (je dirais même depuis l'antiquité), et mes graphiques ne font qu'illustrer ce résultat mathématique. Votre phrase "Vos petits graphiques sont une insulte à la science." ne fait que traduire votre colère et est parfaitement ridicule.
J'espère que la nuit vous aura permis d'être dans de meilleures dispositions.