Suite de suites ou suite de valeurs ?

Bonjour,
Lors de la lecture de votre cours, j'ai noté mes réflexions, Je me permets de vous les donner.


Le début est difficilement compréhensible étant donné les termes utilisés et les phrases compliquées pour dire des choses simples, d'autant qu'il s'agit d'un cours d'initiation.

En fait il décrit les relation logiques des ensembles, c'est à dire l'utilisation des opérateurs OR, AND, NOT qui sont respectivement l'union, l'intersection, le contraire.



Exercice I.21 Page 23 et 24.

C'est l'attrape nigaud classique. Le raisonnement est en fait "sachant que le présentateur sait où se trouve la cadeau". Cette information n'est là que pour tromper le lecteur, puisqu'on peut (ça paraît évident dans le cadre d'un jeu télévisé) supposer que le candidat ne le sait pas. Il est très surprenant que ce gag soit présenté comme "exemple" dans un cours de proba.

Imaginons que le candidat sache que le présentateur ouvrira une porte à son tour et que celui-ci connaisse la porte qui cache la voiture, scénario proposé par la plupart des auteurs, mais sans l'exprimer clairement. En ce cas, le candidat va attendre que la présentateur ait éliminé une porte cachant une chèvre, il va choisir à son tour et aura naturellement 1 chance sur 2 de trouver la voiture, mais pas plus et certainement pas 2/3 de chance. Ce scénario ne tient pas non plus.

Démonstration rigoureuse :

L'énoncé ne précise pas si le candidat sait que la présentateur va "tricher", c'est à dire ne pas ouvrir lui même la porte qui cache la voiture. Il faut donc examiner les 2 hypothèses pour pouvoir répondre.

Hypothèse 1, apparemment la plus vraisemblable, le candidat ne sait pas. Alors le présentateur est à considérer comme un second candidat qui n'a plus que 2 choix. Chaque porte ayant la même probabilité, chacun des deux "candidats" a la même probabilité d'ouvrir la bonne porte, c'est à dire 1/3. Pour le vrai candidat, il n'y a pas de stratégie particulière.

Hypothèse 2, le candidat sait que le présentateur ne va pas ouvrir la porte cachant la voiture. Alors le jeu va forcément atteindre la phase 2, où il n'y aura plus que le choix de 2 portes, celle qu'il a désignée lors de la phase 1 et celle que le présentateur n'a pas ouverte. Là un calcul simple montre que celle-ci a une probabilité de 2/3 de cacher la voiture alors que la porte désignée en phase 1 avait une probabilité de 1/3.



Cette histoire aurait beaucoup plus sa place au chapitre "Gags mathématiques" ou dans un cours de probabilité au chapitre "Question mal posée".

Il y a deux exemples historiques de la vérification des notions fondamentale : L'aiguille de Buffon et la planche de Galton. Ces exemples auraient été préférables.



Utilisation du terme "biais" et du qualificatif "biaisé".

Généralement, d'après le contexte, on comprend ce que veut dire l'auteur, mais ce terme n'est nulle part défini pour l'instant (voir commentaire sur la définition page 206).

Exemple, on peut lire " […] lancé d'une même pièce, éventuellement biaisée". Cela peut s'interpréter de deux façons différentes, soit la pièce n'est pas équilibrée mais on connaît la probabilité de Face, alors ce "biais" est une valeur connue, soit c'est une pièce "truquée", c'est à dire la probabilité de Face est inconnue. Dans la plupart des contextes d'utilisation de ce terme, il s'agit de la seconde interprétation, c'est à dire qu'on ne connaît pas la valeur exacte, qu'on appelle généralement "valeur vraie". Par contre, dans le cas d'utilisation de ce terme pour une pièce, si elle est "truquée", tout raisonnement concernant les probabilités est à exclure.





Page 39 s. Définition de l'espérance

Habituellement, la définition de l'espérance mathématique est le produit de la probabilité par le gain. Dans la littérature actuelle, et dans ce cours en particulier, l'espérance est considérée comme le résultat qu'on s'attend à obtenir si on fait un grand nombre d'essais . "L'espérance est une formalisation du concept de << en moyenne >>". Cette notion est fondamentale, elle n'est pas expliquée et encore moins justifiée.





Page 49, on peut lire "Donc, si les variables X et Y sont indépendantes et de carré intégrable, on a Cov(X,Y)=0." Or on sait qu'une covariance est un nombre réel. Généralement, comme la covariance est le résultat d'un calcul fait à partir de valeurs réelles, ce résultat ne sera pas nul. En fait, la covariance est un nombre très petit, positif ou négatif.





Page 51, on utilise la "moyenne empirique", je n'ai pas vu qu'elle ait été définie. Cette observation n'est pas anecdotique, puisque c'est une notion élémentaire et fondamentale en probabilité.

On lit "La moyenne empirique converge en probabilité vers l'espérance."

Je n'ai pas vu vraiment de définition de l'espérance dans ce cours. Pour moi, l'espérance est le produit du gain par sa probabilité de succès. Par ailleurs, si je dis "la moyenne est la valeur la plus probable […]" n'est-ce pas exactement la phrase citée dans le cours ? C'est beaucoup plus simple et au moins on procède dans l'ordre et on ne met pas la charrue avant les bœufs.

Cette affirmation du cours reste à être démontrée.





Page 85, Lois usuelles.

Les lois "uniformes" et "normales", ainsi que d'autres, sont présentées au même niveau.

Reprenons l'exemple de tirage avec un dé équilibré. Ce dé est muni de N faces toutes d'égale probabilité. On est donc dans le cas de loi uniforme. On effectue un grand nombre de tirages et pour chaque face du dé on note le nombre de succès. On obtient ainsi une liste de N nombres, résultat du tirage aléatoire suivant une loi uniforme.

La moyenne de ces N nombres se calcule exactement par le nombre de tirages divisé par N.

Pour chaque nombre de la liste, on calcule l'écart à la moyenne. On observe facilement que la répartition de ces écarts à la moyenne suit la loi normale.

En d'autres termes, une expérience réalisée avec une loi uniforme, produit un résultat conforme à la répartition de la loi normale.

Le TCL généralise cela, puisque la loi utilisée par l'expérience peut être n'importe quelle loi, à condition que toute l'expérience ait été réalisée avec la même loi. D'ailleurs, dans la seconde partie, Statistique, il est toujours fait référence à la loi normale.





Page 197, "En revanche, si on considère le modèle Gaussien à moyenne et variance inconnue, P={…}, alors la variable aléatoire 1/n S(Xk - µ)² n'est plus une statistique car elle dépend du paramètre (inconnu) µ.". J'ai un peu de mal à comprendre cette affirmation, puisque la loi des grands nombres précise que le paramètre µ converge p.s. vers la moyenne arithmétique. Dans la pratique, pour le calcul de la variance, il suffit de diviser par (n-1) au lieu de n, ce qui est d'ailleurs précisé dans ce cours.





Page 206, Définition VIII.11. "Un estimateur d de g(?) est intégrable si E[|g(?)|] < + 8 pour tout ? € ?. Son biais est E[d] - g(?) .

Un estimateur d est un estimateur sans biais de g(?), s'il est intégrable et si E[d] = g(?) pour tout ? € ?. "

Apparemment, c'est une définition précise d'estimateur sans biais. le biais apparaît comme une valeur connue ou calculable, et l'estimateur "sans biais" apparaît comme une valeur exacte, ce qui paraît étonnant.

Ce terme "biais" apparaît dans de nombreux ouvrages, cours de probabilité et statistique.



Quelle que soit le contexte ou la méthode on a à étudier une liste de valeurs. Si cette liste résulte d'observations ou d'expériences aléatoires et de même loi, le TCL nous dit que la répartition des écarts à la moyenne est celle de la loi normale. Après calculs numériques, on dispose de la moyenne arithmétique et d'un critère de dispersion qui peut être l'écart moyen quadratique, l'écart moyen arithmétique, la variance, l'écart-type, l'écart probable etc. Quel que soit le critère utilisé, tous les autres s'en déduisent directement.

Que représente le biais ? Dans de nombreux cas on peut comprendre que c'est la différence entre la moyenne observée et la moyenne vraie. Si la moyenne vraie est connue, pour quelle que raison que ce soit, alors il n'y a pas de biais. Si cette moyenne vraie est inconnue, alors on peut lire que le biais est égal à la différence dont on a parlé. Cette différence est par définition inconnue. Souvent, dans la suite du texte, après je ne sais quelle manipulation on peut lire que la valeur dont on s'occupe est maintenant "sans biais". Cela laisse supposer qu'on à réussi à calculer le biais et à l'éliminer.

Dit autrement, ce terme sous-entend-t-il "trucage" ou "inconnu" ou "déséquilibre connu" ou autre-chose ? S'il veut dire "trucage", alors aucun calcul et aucune conclusion n'est justifiable. S'il veut dire "inconnu", alors on appelle cela "écart systématique", et par définition il est inconnu. S'il veut dire "déséquilibré" alors on connaît la probabilité respective des événement et il n'y a plus de biais.


Il est clair que ceci est à considérer comme notes personnelles prises au fur et à mesure de la lecture et non comme argumentaire.
Mais naturellement, je suis prêt à développer tel ou tel point.

Cordialement.

Tout ça est bien nébuleux.

Sylviel a écrit:On considère une suite de variables aléatoires indépendantes uniforme sur [-1,1]. Il y en a donc un nombre infini (et pas n) et elles peuvent chacune prendre un nombre infini (n'importe quel réel de [-1,1]). La variable k n'est donc pas "hors limite".

Pour n'importe quel Xk, E[Xk]=0.

Tu n'as toujours pas répondu à mes questions sur ce cours, alors je recopie (encore) mes questions à JFD.

D'abord, j'ai certainement pas changé de sujet. Tu cites le cours de JFD, avec une définition très bizarre du TCL.

Donc, tu parles d'une suite de variables aléatoires [...], appelons les A, B, C. On se limite à 3 variables. J'ai pas assez de lettre pour aller jusqu'à l'infini.
Pour n'importe quel X = A ou B ou C E[X]=0.
OK jusque là ?
Ensuite on calcule les sommes pour k=1 à n. Soit k=1 à 3 dans mon exemple. Mais n peut [ou est] être égal à oo. La dernière valeur est k+1, soit n+1, c'est à dire oo+1 ! Ca fait beaucoup.

Dans ton écriture E[Xk]=0, peux-tu me confirmer que Xk est une fonction parmi un grand nombre (3 dans mon exemple) et que donc il existe, si je prends ma variable A, a1, a2, a3, ... an tq. moyenne(ai)--> 0 donc E[A]=0 ?

Wikipédia a écrit:Le théorème central limite (aussi appelé théorème limite central, théorème de la limite centrale ou théorème de la limite centrée) établit la convergence en loi de la somme d'une suite de variables aléatoires vers la loi normale. Intuitivement, ce résultat affirme qu'une somme de variables aléatoires identiques et indépendantes tend (le plus souvent) vers une variable aléatoire gaussienne.

Wikipédia a écrit:
Le théorème central limite (aussi appelé théorème limite central, théorème de la limite centrale ou théorème de la limite centrée) établit la convergence en loi de la somme d'une suite de variables aléatoires vers la loi normale. Intuitivement, ce résultat affirme qu'une somme de variables aléatoires identiques et indépendantes tend (le plus souvent) vers une variable aléatoire gaussienne.

Cette démonstration est claire et précise si "Variable aléatoire" correspond bien à la définition qu'on trouve par ailleurs, "somme" est à comprendre comme "ensemble".

Il est vrai que l'énoncé, un peu plus loin mêla,ge un peu tout. On passe allègrement de "somme" à moyenne, de fonction à valeur, mais on changera pas Wikipédia.

D'ailleurs, malgré ces imprécisions, la conclusion est bien que si les "variables" ou valeurs suivent la même loi, par exemple, une loi uniforme, ou binomiale ou truc ou machin, le résultat converge vers la loi normale.

Je sais qu'il est écrit "une", mais on a l'habitude des imprécisions chez Wikipédia.

Lors de nos premiers échanges il y a une quinzaine d'années, je ne connaissais pas le TCL. Je n'avais donc pas de définition à donner. J'ai découvert un certain nombre de termes bizarres (moyenne empirique, biais, estimateur, écart-type, variance etc.). Pour certains, j'ai eu un peu de mal à les mémoriser, pour d'autres j'ai mis beaucoup de temps à leur "coller" une définition précise. Bizarrement, ils n'étaient définis nulle part de façon précise

J'ai même acheté le bouquin d'olivier Garet, espérant trouer ces définition rappelées dans le premier chapitre.

Par contre, je connaissais très bien ces notions élémentaires des probabilités. J'ai donc énoncé le théorème et on m'a répondu "t'y connais rien, va voir le TCL".
Donc je suis allé voir le TCL qur Wikipédia et oh surprise, il disait exactement la même chose que moi. Alors j'ai répondu dans le dit forum MF que tu connais bien, en faisant un comparaison terme à terme entre les deux définitions. C'était exactement la même chose. Bien-sûr, je n'ai pas eu de réaction.

Puis, plus tard, j'ai eu l'occasion de relire la définition de Wikipédia et là, c'était incompréhensible. J'avoue que j'ai mis beaucoup de temps à comprendre que le terme "somme" était à prendre au sens de "ensemble".

Autre détail : définition de "probabilité". Celle que toi Sylviel a l'habitude de donner est la définition d'une proportion, rien à voir avec la définition de base qui est le rapport du nombre de cas favorable qui le nombre de cas possibles. Il n'es nullement question de "univers Oméga", d'intégrale de Lebesque etc. qui ont été inventé au début du XXè.

- La probabilité est une fonction (particulière) de l'ensemble des évènements dans [0,1], pas un nombre.
- la probabilité d'un évènement est le " rapport du nombre de cas favorables sur le nombre de cas possibles" uniquement si les "cas" sont uniforme.
Exemple : je prends un dé pipé qui donne 6 dans 50% des cas, et chacun des autres dans 10% des cas. La proba de l'évènement "obtenir un nombre pair"
est P(D=6)+P(D=4)+P(D=2)=0.5+0.1+0.1=0.7 et non 3/6.

Bizarrement, ils n'étaient définis nulle part de façon précise