Détermination d'une ellipse.

Bonjour,
Suite à un exercice posé dans "les mathématiques.net", la question suivante est posée : combien de points sont nécessaires pour déterminer une ellipse.
Je connais assez bien le cercle et la parabole, mais pas trop l'ellipse.
Pappus détermine une ellipse avec 4 points, il semble que géogébra en ait besoin de 5.
Un arc de parabole est parfaitement défini par 3 points.
Voilà, je voulais évoquer ce problème, qu'en pensez-vous ?

Bonjour,

Dlz, ça dépend de ce que tu entends par "déterminer" (construire avec des instruments ? Lesquels ?). Deux points distincts, un crayon et une ficelle rigide suffisent à tracer une ellipse. C'est une méthode bien connue : tu fixes les deux bouts de la ficelle aux deux points (qui seront les foyers de l'ellipse), tu l'étires au maximum avec le crayon et tu traces en faisant tourner.

Elle se base sur la propriété mathématique disant que la somme des distances de tout point d'une ellipse aux deux foyers est une constante (dépendant de l'excentricité de l'ellipse).

Bonne journée.

Salut Ltav,
Oui, bien-sûr, je connaissais cette méthode, dite "du jardinier".
En fait, c'est dans le contexte de ce sujet : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,2096234
Voila la réponse de Gbzm "Comme on a aussi les tangentes à la conique en a,b,c,d, on a en fait 8 points sur la conique : largement plus qu'il n'en faut ! "
En raisonnant analytiquement, l'équation de l'ellipse comporte 6 paramètres, donc 3 points devraient suffire, si on sait que c'est une ellipse, mais il reste une double solution, d'où la nécessité de 4 point pour lever l'indétermination. Pourquoi Géogébra demande 5 points, peut-être pour choisir le type de conique. Par contre, je serais surpris que par 5 points, il passe toujours une conique. Bref, c'est ma question.

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Bonjour

Dlzlogic a écrit:. Pourquoi Géogébra demande 5 points, peut-être pour choisir le type de conique. Par contre, je serais surpris que par 5 points, il passe toujours une conique. Bref, c'est ma question.

oui, l'équation d'une conique possède 6 paramètres, donc besoin de 6 équations, donc 6 points !
Mais les solutions sont "projectives", si bien qu'un des paramètres devient inutile, si bien qu'il suffit de 5 équations, donc 5 points (pas trop particuliers) pour une conique en général.

Il faut 5 points pour définir une conique. Mais une parabole possède un et un seul point à l'infini, ce qui fixe un peu davantage la liberté des coefficients.

Dlzlogic a écrit:Un arc de parabole est parfaitement défini par 3 points.
Voilà, je voulais évoquer ce problème, qu'en pensez-vous ?  

par 3 points non alignés, il passe une bonne infinité de paraboles !
exemple : A = (0,0) , B = (1,0) et C =(0,1)  ... qui forment un repère barycentrique du plan
passent toutes ces paraboles :  (b.X+2.Y)²  - b².X - 4.Y = 0, quel que soit b non nul.

Il faut 4 points (pas trop particuliers : par alignés, pas cocycliques, etc.) pour déterminer une seule parabole.

Bonne journée.

D'accord, merci.

Bonjour,

Salut Dlz, oui la méthode du jardinier. Toutefois, il me semble qu'elle répond à ta question : deux points qui constitueront les deux foyers F1 et F2 et un point pour déterminer la valeur L de la constante dans :

D1 + D2 = L

Où Di est la distance d'un point de l'ellipse à Fi.

Tu peux ainsi construire en théorie toute l'ellipse à la règle et au compas à partir de trois points. A moins que tu veuilles que ces points appartiennent tous à l'ellipse.

A plus.

Salut Ltav,
L'ellipse est une courbe bien connue, mais à part les ellipse de tolérance, je ne l'utilise pas. Une fois, il y a eu une question sur la longueur de l'ellipse, je crois que c'était dans le cadre de je ne sais plus quel stade. Pour le tracé d'une ellipse, et accessoirement les calculs de sa longueur, j'avais mis au point une méthode qui était basée sur des arcs de parabole. En fait cette méthode est générale puisque on peut très bien approximer les arcs d'ellipse à des arcs de parabole, et là avec l'informatique, c'est très efficace.
Bonne soirée.

Salut Dlz,

OK. Pour ta méthode tu approximais l'ellipse en recouvrant son tracé de morceaux de paraboles par exemple ? Je crois que c'est une option aujourd'hui proposée dans des logiciels de dessin..

Bonne soirée.

Oui, ce problème de dessin de courbe est évoqué de temps en temps. Par exemple dernièrement su MF.
https://www.maths-forum.com/superieur/segments-arc-cercle-partir-une-suite-points-t225715.html
J'ai dessiné des milliers de courbes avec des arcs de parabole. Malheureusement, les courbes de Béziers, ça fait plus sérieux, mais pour le dessin informatique, c'est moins bien. A titre d'exemple, un très célèbre logiciel de DAO utilise ces courbes de degré 3, mais ça produit des courbes niveau qui se croisent !

Ah oui, merci.

Bonne soirée.

Bon, puisqu'on est entre amis, je vais t'avouer un secret : nous avons des amis communs, disons des membres très actifs de certains forums que nous connaissons qui, quand je parlais d'arcs de parabole pour tracer des courbes, n'avaient qu'un seuls discours "il y a des tas de gens compétents qui utilisent des courbes de Béziers de degré 3 alors [...]". Ben oui, c'est ce qui arrive quand on cherche a aider les autres ...

Bonjour,
Pour ma part, quand je viens dire plusieurs bêtises avérées sur des résultats et raisonnements élémentaires, j'évite d'ajouter que je connais bien le sujet. Cela m'a toujours étonnée de voir des gens faire le contraire. Pour reprendre une expression chère à un "membre très actif du forum que nous connaissons",  la compétence, c'est apparemment comme on veut.

Je m'arrête là, sinon, la discussion va devenir désagréable.
Bonne journée à tous !

@ Lisiane, cela fait deux messages consécutifs qui ne sont qu'insulte et n'ont aucun intérêt relatif au sujet.
Si tu n'as rien à dire, alors ne dis rien.

Bonjour
Pardon, mais il n'y aucune insulte !!  Merci de ne pas mettre de l'huile sur le feu en criant au loup alors qu'il n'y a rien.

Je dis que PERSONNELLEMENT, quand je raconte plusieurs bêtises consécutivement, j'évite de prétendre que je m'y connais bien.

Et par ailleurs, je constate que la notion de compétence est relative à chacun. D'ailleurs, il me semble que vous déclarez facilement que les universitaires ne sont pas compétents dans leurs spécialités. Donc vous êtes la preuve que la notion de compétence est relative à chacun.

Bonjour Lisiane
Alors, j'oublie le hors sujet.
Quelle réponse donneriez-vous à cette question ?
https://www.maths-forum.com/superieur/segments-arc-cercle-partir-une-suite-points-t225715.html
Malheureusement, il semble bien que ce forum est presque mort, mais je constate que le demandeur a reçu une réponse qui à mon avis n'est pas applicable dans le contexte précisé. Cette réponse a été donnée par un universitaire, modérateur de ce forum. Peut-être que Sylviel aura une idée sur la question.
Vous semblez très compétent en coniques.
Je répète la question sous une autre firme : j'ai une ligne courbe définie par des points dans le plan. Comment dessiner cette courbe lissée en passant par tous les points ?

Je ne suis pas "très compétente" en coniques. J'ai quelques notions sur le sujet, c'est tout.

Les courbes de Bézier ne répondent pas à la question, car la courbe de Bézier ne passe pas forcément par les points de contrôle. Si on veut passer par les points avec lissage, on peut, par exemple, utiliser des splines (de degré pas très grand).

@ Lisiane,
Votre attitude est étonnante; A vous lire, vous raconter sciemment des bêtises, mais alors vous évitez de dire que vous êtes compétente. Cela peut se comprendre ainsi "il m'arrive de troller mais j'évite d'en dire trop".

Bon, je vais être clair. Ce forum est ouvert, c'est à dire que chacun a le droit de parler de ce qu'il veut, tant que cela teste dans le cadre de la légalité.
Par contre, si de façon évidente les interventions d'un membre n'ont pour but que de contredire et critiquer, sans jamais rien apporter d'intéressant, ce membre n'a rien à faire dans ce forum, et je peux lui retirer le droit d'écrire des messages.

Je viens de répondre correctement (dans le fond mathématique et la forme) à votre dernière question juste ci-dessus :

Les courbes de Bézier ne répondent pas à la question, car la courbe de Bézier ne passe pas forcément par les points de contrôle. Si on veut passer par les points avec lissage, on peut, par exemple, utiliser des splines (de degré pas très grand).

et comme souvent, vous faites preuve de mépris. A croire que vous ne chercher que cela ici.

Dlzlogic a écrit:A vous lire, vous raconter sciemment des bêtises mais alors vous évitez de dire que vous êtes compétente

Je n'ai jamais dit que j'étais très compétente : c'est vous qui l'avez dit !!

Je n'ai pas raconté sciemment des bêtises : c'est vous (confer le début de la discussion) qui avez affirmé des résultats et des raisonnements mathématiques faux sur les paraboles ! . Je n'y peux rien.

Visiblement, toute discussion sensée est impossible. Bonne journée.

Si vous pouviez m'expliquer la différence entre le courbes de Béziers et les splines j'aurais appris quelque-chose.

Lisiane a écrit:des raisonnements mathématiques faux sur les paraboles !

Qu'est-ce que j'ai fait comme raisonnement faux sur les paraboles ?

Si vous pouviez m'expliquer la différence entre le courbes de Béziers et les splines j'aurais appris quelque-chose.

lmgtfy : http://www.sens-neuchatel.ch/bulletin/no34/art3-34.pdf

En particulier les courbes de Bézier ne passent pas par les "points de contrôles".

Qu'est-ce que j'ai fait comme raisonnement faux sur les paraboles ?

Lisiane l'a clairement dit :

Dlz a écrit:Un arc de parabole est parfaitement défini par 3 points.

Lisiane a écrit:par 3 points non alignés, il passe une bonne infinité de paraboles !
exemple : A = (0,0) , B = (1,0) et C =(0,1) ... qui forment un repère barycentrique du plan
passent toutes ces paraboles : (b.X+2.Y)² - b².X - 4.Y = 0, quel que soit b non nul.

Il faut 4 points (pas trop particuliers : par alignés, pas cocycliques, etc.) pour déterminer une seule parabole.

Bonjour Sylviel,
Merci pour le lien.
D'abord, la question de représenter ou numériser une courbe a été posée dans MF. F.E a conseillé les courbes de Bézier. C'était pas vraiment un bon conseil puisque l'intérêt de la courbe de Bézier est de pouvoir la modifier facilement à l'aide des points de contrôle. En tant que modérateur de ce forum-là, tu aurais pu intervenir.
D'autre part, j'ai souvent dit et expliqué que la parabole étai un bon outil pour résoudre ce problème. Naturellement l'auteur du cours que tu indiqué ne le sait pas, c'est pas de ma faute. Si tu veux je peux lui écrire de ta part et lui expliqué.
J'ai tracé des milliers de courbes avec des arcs de parabole, alors, s'il y avait des cassures, je pense que je m'en serais rendu compte. Mais bien-sûr, il faut savoir comment faire. Autre avantage, le calcul est très rapide.
J'ajoute que je suis tout disposé à expliquer cela en détail, et je suis sûr de l'avoir déjà fait, mais c'est pas grave.

Bonjour Sylviel,
J'ai oublié de te dire, le lien que tu m'as donné sur le traitement des courbes est un travail de "maturité". En France un appelle ça un travail de terminale.
En fait, avoue-le, le lissage des courbes, tu t'en fiches complètement, probablement même que tu ne sais même pas les problèmes que ça pose, dans quels contextes on en a besoin, si c'est utilisé, par qui etc. la seule chose qui te préoccupe c'est de trouver des motifs pour me contre-dire. Sur ce coup là, t'as mal visé.

Sauf erreur, j'ai employé la phrase "trois points définissent parfaitement un arc de parabole". Lisiane qui n'a probablement pas la rigueur mathématique qu'on pourrait attendre de quelqu'un qui manie aussi bien la critique, a traduit par "trois points définissent une parabole."

D'autre part, j'ai souvent dit et expliqué que la parabole étai un bon outil pour résoudre ce problème. Naturellement l'auteur du cours que tu indiqué ne le sait pas, c'est pas de ma faute. Si tu veux je peux lui écrire de ta part et lui expliqué.
J'ai tracé des milliers de courbes avec des arcs de parabole, alors, s'il y avait des cassures, je pense que je m'en serais rendu compte. Mais bien-sûr, il faut savoir comment faire. Autre avantage, le calcul est très rapide.
J'ajoute que je suis tout disposé à expliquer cela en détail, et je suis sûr de l'avoir déjà fait, mais c'est pas grave.

En clair tu manipules un outil, les spécialistes préfères d'autres outils c'est donc qu'ils sont ignorant de la chose et franchement bête de ne pas y avoir songé...

J'ai oublié de te dire, le lien que tu m'as donné sur le traitement des courbes est un travail de "maturité". En France un appelle ça un travail de terminale.

C'est toi qui a demandé la différence entre courbes de Béziers et splines (sous entendant qu'il n'y en avait pas) sans faire l'effort de lire ce que Lisiane a écrit ni de chercher à comprendre.

Sauf erreur, j'ai employé la phrase "trois points définissent parfaitement un arc de parabole". Lisiane qui n'a probablement pas la rigueur mathématique qu'on pourrait attendre de quelqu'un qui manie aussi bien la critique, a traduit par "trois points définissent une parabole."

Et comment défini tu "arc de parabole" ?
J'ai pris les 3 points de Lisiane ( (0,0), (0,1),(1,0)) et tracé quelques paraboles qui passent par ces trois points.
(Bien sûr c'est généralisable avec n'importe quel triplets non aligné de points, ils formeront simplement un repère non orthonormal).
Tu m'expliqueras quel est le "bon" arc, et pourquoi les autres sont "mauvais"...


Mais probablement n'as tu pas l'honnêteté intellectuelle nécessaire pour reconnaître que tu as dis une bourde. Une de plus.