Un exercice difficile.

Bonsoir,
Réf. : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?13,2183586
Pour de raisons de graphisme je vais réécrire la fonction sous la forme
z=f(x;y)=exp(1/2(x²/4 + y²))
C'est l'équation d'un surface.
On a l'information que -1<y<1.
On peut supposer que cette surface possède un point limite. Dérivons par rapport à x puis par rapport à y
z'x = exp(1/2(x²/4 + y²)) . 2x/8.
z'y = exp(1/2(x²/4 + y²)) . y.
Le point limite est obtenu pour z'x=z'y=0
on arrive à la solution y=x/4.
Sauf faute de calcul, on obtient une relation simple entre x et y.
La suite demain.

Bonjour,
La loi de la fonction P est une loi exponentielle.
La méthode de Monte-Carlo est basée sur la loi normale. Donc la technique est de simuler plusieurs fois cette fonction P, mémoriser les différentes moyennes obtenues, qui sont de l'ordre de 20 ou 21 pour ensuite affiner le résultat.
Cet exercice fait appel à des notions dont on ne parle pas souvent.

Ton incompétence n'a d'égale que ton incapacité à la reconnaître... (et ta mauvaise foi).

"La loi de la fonction P est une loi exponentielle."

Faux.

Déjà il n'y a pas de "fonction P", il y a un vecteur aléatoire (X1,X2) et une un réel p
qui se calcule comme la probabilité d'un évènement.

Il n'y a aucune loi exponentielle dans cet exercice.

"La méthode de Monte-Carlo est basée sur la loi normale."

Faux.

La méthode de Monte Carlo est basé sur le Théorème Central Limite.

"Donc la technique est de simuler plusieurs fois cette fonction P, mémoriser les différentes moyennes obtenues, qui sont de l'ordre de 20 ou 21 pour ensuite affiner le résultat."

Ca n'a aucun sens.

La technique est de considérer la variable
Y = 1_{e^X1 + e^X2 > K} (qui vaut donc 1 si la condition est vérifiée et 0 sinon).
L'espérance de cette variable Y est la probabilité p cherchée.
C'est elle qu'on estime par Monte Carlo.

Pour cela on simule X1 et X2 un grand nombre de fois (disons 10^6 fois).
On en déduis 10^6 simulations de la variable Y (on compte le nombre de fois où e^X1 + e^X2 > K et on divise par le nombre de tirage. On trouve de l'orde de 0.241.)

"Cet exercice fait appel à des notions dont on ne parle pas souvent."
Bof. Le coeur de l'exercice est les techniques de variables antithétiques pour réduction de variance. C'est assez classique dans les cours de methodes de Monte Carlo.

Dans la question initiale la seule "subtilité" est que simuler le couple de va X1,X2 n'est pas immédiat : il faut faire une méthode de rejet par exemple.

P.S: le calcul du premier message n'a évidemment aucun rapport avec l'exercice...

Bonjour 4Fun,
Oui, tu as raison, c'est un exercice difficile.
Si j'écris Y=e^x, c'est pas une loi exponentielle ?
Ben oui, je sais bien que la réponse à la loi exponentielle est 0 ou 1.

4Fun a écrit:"La méthode de Monte-Carlo est basée sur la loi normale."
Faux.
La méthode de Monte Carlo est basé sur le Théorème Central Limite.

Ca, c'est une information intéressante.
Bonne journée.

"Si j'écris Y=e^x, c'est pas une loi exponentielle ?"

Ben non.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_exponentielle

"Ben oui, je sais bien que la réponse à la loi exponentielle est 0 ou 1."

Qu'est-ce que ça peut bien vouloir dire...

Une loi exponentielle est une variable aléatoire à densité dont le support est R^+.
Elle prends donc des valeurs réelles positive.
En particulier la probabilité qu'elle vale 0 ou 1 est 0.

"Ca, c'est une information intéressante. "

Ca le serais si tu arrêtais de tout mélanger en essayant de croire que tu en connais plus que ceux qui ont étudié la question...
Tiens, un petit cours sur le sujet : https://www.ceremade.dauphine.fr/~stoehr/M1_Monte_Carlo/Cours_Monte_Carlo.pdf

Il n'y a qu'à lire le début de l'introduction :
"La première étape de la méthode consiste à écrire le problème sous la forme d’une espérance. (...)
La solution standard à ce problème est de simuler une suite (Xn)n≥1 = (X1,n,...,Xd,n)n≥1 de variables
aléatoires indépendantes identiquement distribuées (i.i.d.) suivant la loi ν, puis d’estimer l’espérance
Eν[h(X)] par la moyenne empirique"
"La convergence de la méthode est assurée par la loi des grands nombres"
et le TCL apparait au paragraphe suivant quand on parle de vitesse de convergence et d'erreur.

Bonjour 4Fun,
Merci pour ce cours.
Personnellement quand j'essaye d'expliquer quelque-chose à quelqu'un, j'essaye de détailler les éléments, trouver un sens à telle expression, éventuellement donner des comparaisons et des exemples. Ta méthode est beaucoup plus efficace, tu commences par dire "c'est pas vrai", "tu dis n'importe quoi" et ensuite citer des cours. Je vais peut-être m'y mettre.

***** Message supprimé hors-sujet *****

@ 4Fun
Encore une fois, tes critiques personnelles sont sans intérêt et hors sujet.