Petite question niveau lycée.

Bonjour,
Voilà un exo de lycée :
https://www.maths-forum.com/lycee/probabilite-t209025.html
Titine, que je salue, a tenté de lui expliquer, et Fatal-error (que je salue aussi) a complété l'explication.
Malheureusement, il manque la précision sur un détail très important, la formule de base n(p-q)/p n'est valable que si p est voisin de 1/2.
Par ailleurs cette phrase " cette probabilité ne sera jamais égal 1 ! Quel que soit le nombre de cartes tirées on ne peut jamais être absolument certain d'avoir la bonne." est à mettre en parallèle ou en relation avec le calcul du stock où le gestionnaire dit :"il est impossible que ...".
Il apparait que la difficulté des probabilités ne se réduit pas à l'intuition et à l'application de formules. Il est impossible de parler de probabilités sans parler de la loi normale, représentée par la courbe de Gauss.
D'ailleurs, ce type de problème se résout plutôt avec la loi exponentielle pour 2 raisons, d'abord c'est une expérience sans mémoire et ensuite, quand on a trouvé la bonne carte, on a gagné.

Bonjour Pierre,
c'est moi qui ai répondu de ne pas chercher à augmenter la possibilité de gagner,
mais de réduire la possibilité de perdre.
J'avais mis perdre n fois est la proba
0.9985 ^n
qui vaut 0,86 à n= 100
0,22 à n=1000
0,0496 à n= 2000

puis je sais plus pourquoi, des fois je vois des fantômes,  j'ai effacé.
on s'est croisé avec titine

Cet exo est vraiment à rapprocher du problème des lampes.
Soit c'est un problème réaliste, l'espace de stockage, alors on fait un calcul (j'ai bien dit un et non pas LE) et on trouve une valeur pas trop bête, soit c'est un jeu/exo alors, on peut analyser le problème posé. En l'occurrence, la loi exponentielle, comme son nom l'indique est exponentielle et la proba ne sera jamais 1.
Par contre, on peut faire une simulation et donner un résultat correct dans la pratique. Ca s'appelle "méthode de Monte-Carlo".
Bonne journée.

C'est une loi binomiale,
on peut l'approximer par la loi normale comme tu le dis quand p est vers 1/2, alors qu'on l'approxime par la loi de Poisson pour les probas proches de 0 ou 1.
ce qui serait le cas ici.
mais l'approximer pour faire quoi?

Mais en faisant le singe comme moi tu tapes n et tu vois où ça tombe,...

Ps: zut t'as raison alors d'apres Sylviel c'est loi géométrique le vrai nom qu'il faut donner!
Tu vois que t'es d'accord avec Sylviel.Note le jour et l'heure!

Voila le résultat d'une simulation

Code:

Nombre = 100  Moyenne = 542.77  emq=84.59  ep=56.39
Médiane = 523  min= 387  max=839
Classe 1  nb=  0  0.00%     théorique 0.35%    |
Classe 2  nb=  0  0.00%     théorique    2%    |
Classe 3  nb=  6  6.00%     théorique    7%    |HHHHHH
Classe 4  nb=  19  19.00%     théorique  16%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 5  nb=  30  30.00%     théorique  25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 6  nb=  22  22.00%     théorique  25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 7  nb=  11  11.00%     théorique  16%    |HHHHHHHHHHH
Classe 8  nb=  9  9.00%     théorique    7%    |HHHHHHHHH
Classe 9  nb=  1  1.00%     théorique    2%    |H
Classe 10 nb=  2  2.00%     théorique 0.35%    |HH


On remarque la petite queue caractéristique de la loi exponentielle.

Ben oui, c'est le 1er août, tout peut arriver.
Je parle de loi exponentielle, mais je sais que c'est un erreur, je devrais parler de loi géométrique.
Dans la machine, je numérote mes programmes pour ne pas perdre le code, mais lui faire croire qu'ils sont supprimés. J'en suis à 320. Bien sûr une grosse majorité de simulation en proba.
Merci de m'avoir prévenu.

Bon, on peut observer sur la courbe qu'elle "ressemble" vraiment à une courbe de Gauss, et pourtant c'est strictement le résultat d'une expérience de loi géométrique.
Pour les détails, je fais 100 fois l'expérience suivante : je compte le nombre de cartes à tirer jusqu'à obtenir une carte avec une probabilité de 0.0015. Le fais 50 jeux et je prends la moyenne.
La petite queue est l'héritage de la loi exponentielle. Si j'avais fait 1000 fois l'expérience, il est probable que cette queue aurait diparu.

désolé mais je ne comprends pas ce que tu as fait.

Je résume

Code:

Pour fois = 0 ; fois < 100 ; fois+=1
  Pour jeu=0; jeu < 50 ; jeu +=1
    n=0
    tant que pas trouvé
      n=n+1
      r=rand()%10000
      si (r < 15)
      alors
        trouvé = oui
        N= n
        break  // fait sortir de la boucle tant que, mais est superflu parce que trouvé == oui.
    fin tant que
  fin jeu
  TotN[fois] = N/50  // on divise par 50 parce qu'on a fait 50 jeux
fin fois
Calcul et affichage du résultat de TotN  


C'est une loi géométrique parce que quand on a trouvé une carte avec une probabilité de 0.0015 = 15/10000  
C'est plus clair ?

je ne comprends pas où on voit:
" le nombre de tirages nécessaire pour tirer la bonne carte."

n=0   avant chaque jeu j'initialise n à 0 . Bien-sûr cette initialisation est faite avant le "pour jeu ...

   tant que pas trouvé  // en langage informatique on dit while. C'est à dire qu'on boucle taht que la coldition "pas trouvé" est vraie
     n=n+1    // je vais tirer une carte, j'incrémente mon compteur
     r=rand()%10000   // je tire un nombre au hasard entre 0 et 9999
     si (r < 15)     // ce nombre est entre 0 et 15, c'est une bonne carte avec la probabilité 0.0015
     alors
       trouvé = oui    // je note que j'ai trouvé
       N += n  // le mémorise mon compteur, c'est à dire le nombre de cartes qu'il m'a fallu pour y arriver (J'avais oublié le '+')
       break  // fait sortir de la boucle tant que, mais est superflu parce que trouvé == oui.
   fin tant que
 fin jeu
 TotN[fois] = N/50  // on divise par 50 parce qu'on a fait 50 jeux  pour ces 50 jeux il m'a fallu N cartes

D'abord, pardon pour les fautes. J'écris couramment en C mais pas en langage "français".
En fait dans ma boucle tant que, quand on a trouvé, on sort pas le break. La condition dans le while est inutile, mais il en faut une.

PS tu remarquera que j'ai utilisé le test < 15 que je critiquais lorsqu'il était question du nom du joueur.

Bon, gbzm a fait une simulation. On peut espérer que le code affiché est celui qui a réellement été exécuté.
La fonction jeu(N) est assez simple à comprendre. On fait 10000 tirages et pour chaque tirage on note le nombre de cartes nécessaires avant d'avoir obtenue la bonne.C'est typiquement une simulation d'une loi géométrique ou d'une loi exponentielle. Je pose une question : pourquoi 10000 ?  GBZM manquerait-il de confiances des lois des probabilités ou de son générateur ?
Ensuite, il calcule des valeurs théoriques.
L'espérance est probablement la moyenne théorique, d'ailleurs, ça colle assez bien avec la médiane.
Par contre, l'écart type est assez étonnant. Normal, l'écart-type n'a de sens que dans une expérience "normale", d'où le qualificatif "type". Donc, on ne sait pas vraiment ce que représente cette valeur 666 + des tas de décimales. La formule fondamentale n'est applicable que dans une expérience de base, c'est à dire ce que le matheux appelle la loi uniforme : toutes les valeurs de la variable aléatoire ont la même probabilité d'arriver, ce qui permet de simplifier par mise en facteur. A l'évidence, cette condition est fausse dans le cas d'une loi géométrique ou exponentielle.
La suite des 10 lignes d'impression donne des valeurs correspondant à la simulation de la loi géométrique.
Si on observe les valeurs des écarts-type, on constate qu'ils n'ont aucune signification, pourquoi les calculer et les afficher, puisque ça ne représente rien ?
Par contre, si on observe les 10 moyennes, ou ce qui est comparable à  ln(2) près, les 10 médianes, on observe que la répartition des résultats est conforme à la répartition normale.
Moi, j'ai préféré montré quelque chose de vrai. D'abord, je me suis contenté de 50 jeux, au lieu de 10000, conformément à la loi des grands nombres, par contre, j'ai répété l'expérience 100 fois, au lieu de 10, pour obtenir un résultat plus fin.  
J'ai un peu de mal à deviner si l'intervention de GBZM dans le forum où il sévit depuis peu a un but mathématique où tout simplement diffamatoire.
Bon, mettons cela sur le compte de l'humour. Ca me rappelle la remarque de G. "la racine carrée de la moyenne, c'est pas la même chose que la moyenne des racines carrées". En d'autres termes, qu'importe ce qu'on écrit, pourvu que ça atteigne son but.

PS J'ai vu que GBZM avait rajouté des messages. Il semble avoir des erreurs à corriges. Par contre, avant de balancer des "résultats", il ferait mieux d'expliquer ce qu'il veut faire et ce qu'il veut démontrer.

salut Pierre, je ne connais pas bien la loi géométrique
et j'ai pas le temps de m'y mettre pour faire des essais. Un jour certainement je ferai mumuse.

Par contre je vois avec plaisir que tu parles des queues de distributions et de l'asymétrie.
Donc que le skewness et le kurtosis n'ont pas de secret pour toi,
donc c'est un peu comme si tous les résultats ne tombaient pas sous forme de la loi normale, non?

PS: pourquoi tu n'as pas l'espérance idem à gabuzomeu ?

Salut Beagle,
La loi géométrique, c'est exactement la même chose que la loi exponentielle, sauf qu'elle utilise des entiers. Donc, elle n'apporte rien.
"Donc que le skewness et le kurtosis n'ont pas de secret pour toi,
donc c'est un peu comme si tous les résultats ne tombaient pas sous forme de la loi normale, non?" Parce que on se limite à des valeurs petites, 100 dans mon cas. Mais pour un nombre tendant vers l'infini, on obtient toujours une loi normale. C'est le second théorème de Bernoulli.
Je vais aller voir ce qu'a fait GBZM, et je reviens.

J'ai refait mon calcul avec 500 jeux :

Code:

 Sortir une prob de 0.0015  (500 jeux)
Nombre = 100  Moyenne = 547.58  emq=25.19  ep=16.79
Médiane = 545  min= 480  max=602
Classe 1  nb=  1  1.00%     théorique 0.35%    |H
Classe 2  nb=  2  2.00%     théorique    2%    |HH
Classe 3  nb=  8  8.00%     théorique    7%    |HHHHHHHH
Classe 4  nb=  11  11.00%     théorique  16%    |HHHHHHHHHHH
Classe 5  nb=  29  29.00%     théorique  25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 6  nb=  25  25.00%     théorique  25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 7  nb=  13  13.00%     théorique  16%    |HHHHHHHHHHHHH
Classe 8  nb=  9  9.00%     théorique    7%    |HHHHHHHHH
Classe 9  nb=  2  2.00%     théorique    2%    |HH
Classe 10 nb=  0  0.00%     théorique 0.35%    |


Je vais regarder plus en détail.

Concernant la différence de moyenne.
Le seul moyen de répondre est de comparer nos fonction rand.
Donc, je demande à GBZM de décrire un protocole simple qui permette de comparer nos résultats d'exécution de la fonction rand.
Bien-sûr je donnerai mon code, en plus de mon résultat.

Pierre ton rand quand tu prends le 1à15 des 1 à 10 000, c'est bien le rand de la loi uniforme
comme je te l'avais rapidos testé pour alea d'excel.
Quand tu fais un rand comme je le faisais de 0 à 100 je cherche quand c'est 0 à 30, tu obtiens pareil que moi?

tu as obtenu en moyenne 542 et 547, on va dire 545
Si la moyenne théorique est 1/p =545
ta proba de base est p= 1/545 = 0,0018 au lieu des 0,0015 de l'exo
donc cela voudrait dire que ton random "exagère" en donne plus qu'il n'en faut.

gabuzomeu trouve en expérimental, la moyenne attendue théorique 667

Il faut, c'est indispensable, un protocole de comparaison.
Tous les essais que j'ai faits avec Excel sont satisfaisants, donc oui, je trouve pareil que toi.
Par contre avec 30, la difficulté n'est pas le générateur, mais la définition de ce 30.
Bref, si tu peux persuader Lostounet ou Fatal-error ou Benjamin, même Sylviel de demander à GBZM de proposer un protocole pour vérifier la fonction rand, on aura avancé.

Oh, pardon, GBZM est protégé, donc pas la peine de faire des tests puisqu'il a raison.
Mais, sur un autre point, l'écart-type, Lourrran dit exactement ce que je chante depuis des années. Ce serait bien qu'il s'occupe aussi de la fonction rand.

Pierre, le problème n'est pas gabuzomeu, le problème est que ta moyenne ne retombe pas sur le théorique de la loi géométrique.
or cette loi n' a que faire du random,
le random c'est l'experimentateur qui l'utilise pour faire du 0,0015 de proba

et par exemple qu'appelles-tu définir le 30 du 30%, du 0,3 de proba ...

Bon, d'abord une chose, cette loi géométrique, je ne sais pas sur quoi elle repose. Ces formules sont certainement issues de formules théoriques, non précisées.
Il y a une différence de résultat entre le calcul avec Python et mon calcul. La seule différence entre les 2 codes assez simple est la fonction rand().
Donc, on fait chacun la même simulation, on obtient un écart sensible. Donc, je propose de comparer nos 2 générateurs, ce qui constitue la seule différence de calcul.
On verra après l'histoire d'espérance. Moi, je ne sais pas ce qu'est cette espérance.

Bon, la réaction de GBZM est très claire, c'est mon générateur qui est faux. C'est la réponse que j'ai depuis des années, donc tout va bien.
Il est fait référence au TCL dont la définition est très controversée.

GBZM a écrit: le théorème central limite affirme que la moyenne sur 50000 épreuves (indépendantes) est quasiment une loi normale d'espérance et d'écart-type [...].

C'est une nouvelle définition où il est question d'espérance. Décidément on n'arrête pas le progrès.

Code:

    def jeu(N) :
        liste=[]
        for jeu in range(N):
            i=0 ; trouve=0
            while trouve==0 :
                i+=1
                r=randrange(10000)
                if r < 15 :
                    liste.append(i)
                    trouve=1
        print('moyenne =',mean(liste),'; médiane = ',median(liste),
              '; écart-type =',stdev(liste))


Il y a un truc que je ne comprends pas dans ce code.
On fait 10000 fois la même expérience : calcul du nombre de cartes à tirer pour obtenir celle cherchée avec une probabilité de 0.0015.
Il en résulte une moyenne (appelée espérance) et une médiane. On constate que le rapport est bien log(2). Ok, tout va bien. On a vérifié que la loi géométrique était bien une version en valeurs entières de la loi exponentielle. Si il y avait eu plus de 10 calculs, disons au moins 30, on aurait pu vérifier que la répartition était bien normale. C'était pourtant ça le but de la simulation.

La différence moyenne -/- espérance n'est pas éclaircie pour autant.

En fait, l'expérience réalisée est faite suivant la loi exponentielle de paramètre lambda. et l'espérance (probablement la moyenne) est égale à 1/lambda.
Cela n'explique pas la différence, mais tant que l'on n'aura pas comparé les deux générateurs, on n'ira pas plus loin.

PS. Bon, que d'échanges inutiles ! On constate généralement que quand quelqu'un refuse de faire les tests nécessaires, c'est qu'il craint le résultat. Je ne commenterai pas plus. Je connais fort bien cette technique, je ne l'ai jamais employée mais je connais des matheux qui utilisent fréquemment cette méthode d'argumentation.