Loi normale : la loi la plus rencontrée

Salut

Voilà un exposé d'un statisticien qui donne en partie raison à Dlzlogic.

Mais que la loi normale apparaissent souvent n'est remis en cause par personne.

La différence c'est que Dlzlogic prétends que TOUTE expérience aléatoire suis une loi normale.
Il pense par exemple que le fait qu'un obus suive une loi normale (deux dimension) n'est pas incompatible avec le fait que sa distance au centre suivent une loi normale.
Et ce n'est certainement pas ce qui est dit ici.

Bonjour Dattier,
Très bien ta vidéo.
Décidément Unknown ne lâchera jamais. Normal, il ne sait pas ce qu'est le hasard. Pour lui, c'est le matheux qui décide.
Tant pis si je me répète, je rappelle que l’existence et la définition de la loi normale est strictement et régulièrement démontrée.

. Pour lui, c'est le matheux qui décide.

C'est tout le contraire.

Tant pis si je me répète, je rappelle que l’existence et la définition de la loi normale est strictement et régulièrement démontrée.

Qu'appelles-tu "loi normale" pour parler de sa "démonstration" ?

Tant pis si je me répètes, mais la loi normale est un objet mathématique (au même titre que le triangle rectangle).
On ne peut donc pas la "démontrer" (tout comme on ne démontre pas "un triangle rectangle", ce qui est différent que de montrer qu'un certain triangle est un triangle rectangle)

En revanche on peut démontrer un théorème qui contient une loi normale dans son énoncé / sa conclusion, comme par exemple le TCL (ou son cas particulier que tu appelles "second théorème de Bernoulli").

Qu'appelles-tu "loi normale" pour parler de sa "démonstration" ?

Pour l'instant, je ne vois pas d'autre définition à donner que "la répartition des résultats d'un ensemble de mesures ou d'observations faites dans les mêmes conditions".
Cela se traduit mathématiquement par une formule bien connue y = 1/racine(2pi) . exp(-x²/2).
Comme les condition de l'expérience, quelle qu'elle soit sont le mêmes, seul le hasard intervient.
Dans l'exemple pris par l'auteur de la vidée, il s'agit de la mesure d'une pièce en plastique. On n'a pas à savoir les causes de ces écarts éventuels, d'autant qu'elles sont très nombreuses, non mesurables et petites, la seule chose qui nous intéresse est la mesure de la dite pièce.
A noter pour mémoire, il peut arriver que certaines causes sont connues, et mesurables, il y a lieu d'en tenir compte. On a rencontré un tel cas dans l'étude du fichier de température.
La démonstration de la loi normale consiste en la vérification mathématique de la formule définissant la fonction.
Cette démonstration est faite dans le cours de Levallois, à partir de la page 144. http://www.dlzlogic.com/Gauss1_19.pdf

Pour l'instant, je ne vois pas d'autre définition à donner que "la répartition des résultats d'un ensemble de mesures ou d'observations faites dans les mêmes conditions".
Comme les condition de l'expérience, quelle qu'elle soit sont le mêmes, seul le hasard intervient.

Et la durée de vie d'un atome ? C'est une expérience ou intervient autre chose que le hasard ?
Et la hauteur maximale d'une crue ?
Et la hauteur des vagues ?
Et la distance au centre d'un obus ?

Dans l'exemple pris par l'auteur de la vidée, il s'agit de la mesure d'une pièce en plastique. On n'a pas à savoir les causes de ces écarts éventuels, d'autant qu'elles sont très nombreuses, non mesurables et petites, la seule chose qui nous intéresse est la mesure de la dite pièce.

Oui, et ce que dis l'auteur de la vidéo c'est que puisque la mesure de la pièce est le résultat d'une somme de nombreux écarts de petite taille le TCL nous dis que la mesure de la pièce sera approximativement une loi normale.

Il ne dit pas que c'est vrai pour TOUTES variables aléatoire.

La démonstration de la loi normale consiste en la vérification mathématique de la formule définissant la fonction.
Cette démonstration est faite dans le cours de Levallois, à partir de la page 144

Regarde à nouveau la démonstration et dis nous ce qui y est démontré...

Il parle d'une somme de variables de Bernoulli iid (il parle bien des épreuves répétées dans le jeu de pile ou face).

La démonstration dont tu parles est donc celle du TCL dans le cas de variables de Bernoulli,
c'est à dire ce que l'on appelle le théorème de Moivre Laplace (dont on trouve la démonstration un peu partout sur le net).

@ Unknown,
J'aime bien ton dernier message.
Tu as l'air drôlement fâché.

Dlzlogic,
j'aime bien ton dernier message
Tu as l'air bien méprisant.

J'aime bien ton dernier message.
Tu as l'air drôlement fâché.

Et as-tu compris quelque chose pour changer ?

Par exemple que ton vieux poly ne dis aucunement que TOUTES variables aléatoire est gaussienne ?
Que la "loi normale" est bien une loi de proba et que la démonstration de ton poly est celle d'un théorème
(un cas particulier du TCL).

Et donc que SI on suppose que les erreurs sont construites comme une somme de loi de Bernoulli, alors, à la limite, on obtient une loi normale ?

P.S: on noteras que, une fois de plus, tu ne réponds à aucune question.

Salut

Dattier a écrit:Voilà un exposé d'un statisticien qui donne en partie raison à Dlzlogic.

Je ne pense pas que les intervenants dans cette vidéo connaissent Dlzlogic.

En revanche, ici nous le connaissons, et on a constaté que Dlzlogic ne connait pas ce qui est abordé dans la vidéo :
- la loi normale est un titre de chapitre (par exemple)  et non un théorème (comme l'affirme dlzlogic) ;
- ce qu'est le mode d'une loi-de-probabilité
- ce qu'est la fonction de répartition d'une loi-de-probabilité ;
- toute loi normale est caractérisée par son espérance (mu) et son écart-type (sigma) , cf sa fonction de densité de proba. (video à 5'40") ;
- il existe une infinité de lois normales (vidéo à 6'10") ;
- dans les mathématiciens cités à la contribution importante, il y a Kolomogorov ! (vidéo à 9'30'')
- il existe d'autres lois-de-probabilité souvent utilisées (exemples donnés dans la vidéo à 9'45")

Tout cela contredit les propos de Dlzlogic. On peut dire le contraire par dogmatisme communautaire.
Et cela me fait bien marrer quand Dlzlogic confirme que la vidéo est très bien.    Qu'en a-t-il réellement compris ??

PS. En début de vidéo, il oublie tout de même de dire qu'il faut additionner les "facteurs" indépendants pour obtenir une loi-de-probabilité proche d'une loi normale.

Bonjour Unknown,
Je suppose que c'est une question.

Par exemple que ton vieux poly ne dis aucunement que TOUTES variables aléatoire est gaussienne ?
Que la "loi normale" est bien une loi de proba et que la démonstration de ton poly est celle d'un théorème
(un cas particulier du TCL).

Et donc que SI on suppose que les erreurs sont construites comme une somme de loi de Bernoulli, alors, à la limite, on obtient une loi normale ?

Le cours de Levallois ne peut pas dire qu'une variable aléatoire etc. pour la simple raison que cette notion est une notion mathématicienne.
Ce qu'il dit : quelle que soit l'expérience, la répartition des écarts à la moyenne suivra la courbe de Gauss de fonction bien connue.
Dans l'annexe, là où il précise que il suit de très près le cours de Lévy, il démontre le second théorème de Bernoulli et précise qu'on l'appelle "loi normale". D'ailleurs, ça correspond à la vidéo.
Pour moi l'expression "les erreurs sont construites comme une somme de loi de Bernoulli" n'a pas vraiment de sens, en tout cas, je n'en comprends aucun. Les erreurs sont ce qu'elles sont, on les classe, on a constaté qu'elle ne sont liées qu'au hasard, si on dessine un histogramme, on constate que les sommets de rectangle suivent une courbe qui a TOUJOURS la même forme et appelée habituellement courbe représentative de la loi normale. Il n'est nulle part question de TCL. Je rappelle que l'origine de ce TCL est mal connu, probablement vers les années 1930 peut-être par un thésard allemand.

Oui, Unknown et Fun, vous vous entendez bien. De temps en temps, il y a une petite contradiction, il m'est arrivé de la relever, mais c'est pas grave.
Oui, j'ai bien aimé la référence à "somme" : or, c'est une liste qu'il produit, moi j'appelle ça un "ensemble". D'ailleurs, "somme" sous-entend "addition". Vous insistez souvent sur le signe '+'. Or malheureusement pour vous, ces différentes causes, que vous pouvez appeler loi, se combinent quadratiquement. La "somme == addition", réservez la à des documents de vulgarisation. Serez- vous suffisamment incompétents et/ou de mauvaise foi pour me dire que c'est pas vrai ?

Dlzlogic persiste et signe : pour lui, le signe + signifie ensemble. ... une "petite" contradiction, que tout le monde a relevé (sauf lui), mais c'est pas grave.

Oui, je me souviens de la première fois que j'ai dit que les écarts se combinaient quadratiquement, tu as crié "à l'hérétique".
Je trouve que c'est grave que en plus de 10 ans d'explications tu n'aies pas fait le moindre progrès.
Si ça se trouve, c'est un terme que tu ne comprends pas.

Arf je sais bien 4fun mais pas moyen de lui faire comprendre ce qu'est une variable aléatoire, il croit que c'est un truc qui prend le hasard en entrée et renvoit une liste de valeurs et comme il ne sait manipuler qu'une liste de valeurs ben... on ne s'en sortira jamais. Le vocabulaire, je ne le dirai jamais assez mais tout l'origine du problème vient de là et il dure depuis 10 ans, je veux bien le croire sauf que c'est Dlzlogic qui refuse d'apprendre quelques mots.

Dlzlogic a écrit:Oui, je me souviens de la première fois que j'ai dit que les écarts se combinaient quadratiquement, tu as crié "à l'hérétique".  .

De quoi parles-tu ?
les écarts de quoi ?
tu veux dire V(X1 + ... + Xn) = V(X1) + ... + V(Xn) quand X1,...,Xn sont des v.a. indépendantes ? oui, c'est évidemment connu.
Ou tu veux dire V(2X) = 2V(X), grave erreur que tu as soutenue (comme à ton habitude) face à Sylviel ? (rappel : 2²= 4 , donc V(2X) = 4V(X) )

quelle que soit l'expérience, la répartition des écarts à la moyenne suivra la courbe de Gauss de fonction bien connue.

Et où, d'après toi, dit-il cela ? en particulier le "QUELLE QUE SOIT L'EXPERIENCE" ?
Il parle, au mieux, des "erreurs accidentelles" dans le cadre d'une mesure.

Mais la hauteur des vagues ne résulte pas d'une erreur de mesure.
La durée de vie d'un atome non plus.
La demande pour un produit donné non plus.

Dans l'annexe, là où il précise que il suit de très près le cours de Lévy, il démontre le second théorème de Bernoulli et précise qu'on l'appelle "loi normale".

Tu aimes vraiment faire dire n'importe quoi aux documents... Et surtout sans références précise.

Pour moi l'expression "les erreurs sont construites comme une somme de loi de Bernoulli" n'a pas vraiment de sens, en tout cas, je n'en comprends aucun.

Que pour toi cela n'ai pas de sens n'ai guère surprenant, vu ton niveau de compréhension de tout cela...

Je te cite ton poly (fin p143, début p144): [tu noteras que je fais l'effort de donner une référence PRECISE, contrairement à toi]
"cette parenté n'est pas fortuite : une erreur accidentelle est de la forme ec = +- e1 +- e2 ... les e étant du même ordre de grandeur. La valeur de e ne dépend donc en définitive que de l'alternance des signes + et - pour des mesures de même précision n et e seront les mêmes d'une expérience à l'autre. La distribution des erreurs accidentelles doit donc coincider avec la distribution limite des coups pile et face répartis en séries d'un nombre infiniment grand de coup"

Donc le lien avec une somme de Bernoulli Bernoulli :
Soit X1.... Xn une suite de loi de Bernoulli de paramètre 0.5
On a Yi = 2(Xi-1) qui vaut +1 avec proba 0.5, et -1 avec proba 0.5 (ce sont les signes +/- du poly)

Et on a ec = Y1 e1 + Y2 e2 + ...
comme les ei ont tous la même taille e on peut écrire
ec = e(Y1 + Y2 + ... + Yn)
ou encore
ec = 2e(X1 + X2 + ... + Xn) - 2ne

TADA ! On a fait le lien explicite entre l'écriture et la somme de loi de Bernoulli.

On note au passage qu'il ne parle que des erreurs accidentelles (et non pas de "toute expérience", ça c'est toi qui généralise)
et que ce qu'il démontre c'est bien que la somme de Bernoulli tends vers une Gaussienne.

Je rappelle que l'origine de ce TCL est mal connu, probablement vers les années 1930 peut-être par un thésard allemand.

Je rappelle que c'est faux.

On t'a fournit à de multiple reprise des documents retraçant son histoire.

Mais ça ne t'a jamais empêché de mentir.

Vassillia a écrit:Arf je sais bien 4fun mais pas moyen de lui faire comprendre ce qu'est une variable aléatoire, il croit que c'est un truc qui prend le hasard en entrée et renvoit une liste de valeurs et comme il ne sait manipuler qu'une liste de valeurs ben... on ne s'en sortira jamais. Le vocabulaire, je ne le dirai jamais assez mais tout l'origine du problème vient de là et il dure depuis 10 ans, je veux bien le croire sauf que c'est Dlzlogic qui refuse d'apprendre quelques mots.

Oui, l'expression "variable aléatoire", je l'ai découverte quand j'ai commencé à fréquenter les forum, ainsi que les termes "biais", "espérance", "empirique" etc.
J'ai cherché soigneusement leur signification et j'ai finalement adopté une sorte de définition. Je maintiens le terme "adopté", puisque le même terme avait des sens différents suivant le contexte.
Donc, pour "variable aléatoire". Tout le monde est d'accord pour dire que c'est une application d'un ensemble dans un autre. Généralement "application" et "fonction" sont interchangeable dans ce contexte.
C'est là que ça se complique : quand on lit "soit une suite de variables aléatoires ..." ben c'est donc une suite de fonctions ??? Eh bien non, il faut généralement comprendre "soit une série de valeurs renvoyées par une variable aléatoire". On se demande alors que viennent faire les qualificatifs iid ? Si ce sont les résultats d'une même fonction. Il existe pour cela un terme spécialisé : "variations aléatoires". Personne ne l'utilise.
On pourrait en conclure qu'on se fiche complètement et dans tous les cas des valeurs renvoyées par la (les) fonction(s).
Les seules réponses que je reçois, malgré mes références précisées (ex le cours de JFD), c'est "t'y comprends rien !".
Donc question précise : c'est quoi une variable aléatoire, une fonction ou une valeurs ?
Comment appelle-t-on les valeurs renvoyées par la fonction ?
Quand on parle de suite de VA iid, on parle de fonctions ou de valeurs ?
Etc.

Et pourtant si, il faut comprendre une suite de fonctions qui donneront chacune d'entre elles une valeur au hasard selon la même loi de probabilités (identiquement distribuées) et sans tenir compte de la précédente (indépendantes). J'ai essayé de t'expliquer je ne sais combien de fois, d'autres plus patients et plus compétents ont essayé. Je ne suis pas magicienne, je ne peux rien faire pour toi.

Bon, j'ai bien lu.
Donc UNE fonction renvoie UNE valeur et c'est tout. C'est pas vraiment ce qu'on lit dans le cours de JFD que Unknown connait très bien.
Maintenant, je voudrais un exemple détaillé, avec des noms, des nombres, des différenciations majuscule et minuscule.
Une question : quand on fait une simulation, on a UNE variable aléatoire qui renvoie plusieurs valeurs, ou autre-chose ?

Dlzlogic a écrit:Donc UNE fonction renvoie UNE valeur et c'est tout.

Non, tu as encore fait un contresens. Une fonction de X de W dans [O,1] prend en entrée un élément w de W et retourne un élément X(w) de [0,1]. Ce X(w) dépend de w, mais c'est toujours le même qui ressort quand on entre w.

Exemple : W=[0,1[. Tu prends un élément w de W, c'est à dire un réel supérieur ou égal à 0 et strictement plus petit que 1. Ce réel w a un développement décimal. Tu appelles X(w) le réel de [0,1] dont le développement décimal est la suite des décimales de rang impair de w. Ça définit une application X de [0,1[ dans [0,1].
Tu fais de W=[0,1[ un espace probabilisé en le munissant de la mesure de Lebesgue. Et voila, tu as introduit l'aléa au niveau de W, le domaine de définition de la fonction X, et ça fait de X une variable aléatoire (relis le chapitre de Herthong sur les variables aléatoires). La variable aléatoire X est uniformément répartie sur [0,1].

Dlzlogic a écrit:Une question : quand on fait une simulation, on a UNE variable aléatoire qui renvoie plusieurs valeurs, ou autre-chose ?

Non. Quand on fait une simulation avec random(), on a un générateur de nombres pseudo-aléatoires qui simule une réalisation d'une suite X_1,X_2,....,X_n de variables aléatoires indépendantes et toutes uniformément distribuées sur [0,1[.
Ça veut dire que ça simule la situation suivante : on a une suite de variables aléatoires indépendantes X_1,X_2,....,X_n  de W dans [0,1[, on tire au hasard un élément w de W (selon la loi de probabilité sur W) et on renvoie X_1(w),...,X_n(w).
Heureusement que cette situation qu'on simule comprend une suite de variables aléatoires différentes (et même indépendantes), toutes de même loi.

C'est là que ça se complique : quand on lit "soit une suite de variables aléatoires ..." ben c'est donc une suite de fonctions ??? Eh bien non, il faut généralement comprendre "soit une série de valeurs renvoyées par une variable aléatoire".

Et bien SI !

Quand on lit "une suite de variables aléatoires" il faut comprendre une suite de fonctions.

Pas inventer autre chose.

Parce que en maths ce n'est pas "comme on veut".

On se demande alors que viennent faire les qualificatifs iid ?

Qualificatif que l'on trouve dans tous les cours. Donc d'après toi aucun de ceux qui écrivent des livres ou des cours ne sait de quoi il parle ?

Et pourtant c'est très simple, une suite de variables aléatoires est une suite de fonction, elles sont indépendantes si elles vérifie une certaine propriété,
et identiquement distribuée si elle en vérifie une autre.

Faut pas inventer. Juste suivre la définition.

Les seules réponses que je reçois, malgré mes références précisées (ex le cours de JFD), c'est "t'y comprends rien !".

A quelles questions ? Parce qu'on t'en as écrit des tartines sur le sujet. Le problème c'est qu'au lieu de poser des questions et d'essayer de comprendre
tu AFFIRMES que ce qui est écrit dans les cours est faux et qu'il faut comprendre autre chose...

Donc question précise : c'est quoi une variable aléatoire, une fonction ou une valeurs ?

UNE FONCTION.

Pourquoi reposes tu la question ? On t'a TOUJOURS répondu la même chose. TOUJOURS.

Comment appelle-t-on les valeurs renvoyées par la fonction ?

On appelle parfois cela "variations aléatoires" mais le terme est peu utilisé.
On peut parler des "valeurs prises par la variable aléatoire", ou des "éléments du support de la variable aléatoire".

Quand on dit "variable aléatoire réelle" cela veut dire "variable aléatoire à valeur dans R".

Quand on parle de suite de VA iid, on parle de fonctions ou de valeurs ?

Une variable alétoire étant une fonction, une suite de va est une suite de fonctions.

Bon, j'ai bien lu. Donc UNE fonction renvoie UNE valeur et c'est tout.

Tu as vraiment des problèmes de lecture. Ce n'est absolument pas écrit cela.

Maintenant, je voudrais un exemple détaillé, avec des noms, des nombres, des différenciations majuscule et minuscule.

Pourquoi est-ce que cette fois-ci serait différente de toutes les explications précédentes passées ?

Je considère le lancer de deux pièces (une de 1€ et une de 2€).
L'univers Omega est donc {(P,P),(P,F),(F,P),(F,F)}.

La variable aléatoire X qui vaut 1 si la pièce de 1 € tombe sur pile et 0 sinon est donc la fonction
X((P,P))=X((P,F))= 1
X((F,P))=X((F,F))= 0

Y((P,P))=Y((F,P))= 1
Y((P,F))=Y((F,F))= 0

Ces deux va sont indépendantes (il faut vérifier que P(X=x,Y=y)=P(X=x)*P(Y=y) pour tout x et y)
Et de même loi (il faut vérifier que P(X=x)=P(Y=x) pour tout x).

Une question : quand on fait une simulation, on a UNE variable aléatoire qui renvoie plusieurs valeurs, ou autre-chose ?

Question intéressante et la réponse est légèrement complexe.

On simule selon une loi (disons qu'on lance une pièce) pas forcément connue, potentiellement compliquée. Peu importe.
Quand j'annonce que je vais simuler 1000 fois (selon la même loi et de manière indépendante) je considère donc un échantillon aléatoire.
C'est à dire que je considère une suite de variable aléatoire identiquement distribuée (indépendante) et de même loi.
C'est un échantillon aléatoire. Pourquoi est-ce aléatoire ?
Parce que si je te dis que je vais tirer 3 fois la pièce tu ne sais pas ce que je vais obtenir.
Je peux obtenir PPP, PPF, PFP, PFF...

MAIS, quand on fait une simulation, on ne fait généralement qu'une fois la simulation sur 1000 tirages. Ce qui veut dire qu'on ne va observer
qu'UNE réalisation de l'échantillon aléatoire. (Bon en générale on le fait quelque fois quand même, ne serait-ce que pour vérifier la stabilité des résultats)

Et le principe des stats est de dire (avec précision, contrairement à la vulgarisation que je fais ici) que pour la plupart des échantillons qu'on aurait pu obtenir,
le résultat obtenu à partir de l'échantillon donne ce que l'on veut.

Exemple : je cherche à estimer la probabilité d'avoir Pile pour une pièce. Je vais donc simuler 1000 lancer de dés, puis compter le nombre de pile.
L'échantillon est donc un vecteur aléatoire de taille mille, qui peut prendre 2^1000 valeurs différentes (dont celle avec que de P et celle avec que des F).
Mais on sait (TCL) que la très grande majorité de ces 2^1000 valeurs va comprendre environ 500 piles.
Donc même si je n'observe qu'une réalisation du vecteur aléatoire, il m'apprend beaucoup sur la loi.

En fait ce que tu essaie de formuler quand tu dis "quand on fait une simulation, on a UNE variable aléatoire qui renvoie plusieurs valeurs, ou autre-chose ?"
c'est qu'on a une LOI que l'on simule plusieurs fois (et qui renvoie donc plusieurs valeurs).

Mais on n'a certainement pas une fonction "sans argument" qui renvoie plusieurs valeurs.

P.S: tu noteras à quel point tes questions reste sans réponse... comme d'habitude.
Et toi, vas-tu finir par nous dire avec ta phrase sur le retard ?

Quelques thread où tu as déjà eu des explications détaillées sur ce qu'est une suite de variables aléatoires :
https://dlz9.forumactif.com/t782-variables-aleatoires-question-precise
https://dlz9.forumactif.com/t541-variable-aleatoire-unifome-gaussienne-et-iid