Un singe au travail.

D'ailleurs, cette répartition normale des résultats aléatoires a été soigneusement vérifiée par Gbzm avec le calcul des 12 répartitions des résultats avec un dé à 100 ou 1000 faces.
Le cas de l'expérience du type "première apparition" se mesure avec la médiane et la vérification de la répartition normale se fait en comparant les médianes. C'est tout de même la base de la théorie des probabilités.

Tu continue de tout mélanger, de changer les énoncés et les question à ta guise... On est toujours dans le monde du "c'est comme Dlz veut" et non dans celui des maths, où on respecte l'énoncé, les définitions et la rigueur.

D'ailleurs, cette répartition normale des résultats aléatoires

la répartition des résultats n'est pas une loi normale

Le cas de l'expérience du type "première apparition" se mesure avec la médiane et la vérification de la répartition normale se fait en comparant les médianes.

Ce que tu devrais dire c'est que "la répartition des médiane empirique suis une loi normale" ce qui a de bonne chance d'être vrai.
Mais n'a rien à voir avec le fait que les résultats de l'expérience (ici les temps d'apparition) soit normaux ou non.
Ce n'est pas à toi de décréter que le "résultat de l'expérience" est la médiane des résultats obtenus.

Ici le "résultat de l'expérience", est, par définition de l'expérience, le temps d'apparition du premier mot.

C'est tout de même la base de la théorie des probabilités.

La base de la théorie des probabilités c'est déjà d'utiliser un vocabulaire précis et partagé par les autres.

Alors je vais essayer de t'expliquer.
On fait cette expérience, que ce soit la mort d'un atome ou tel mot écrit par le singe. L'expérience s'arrête quand un certain évènement arrive. C'est à dire, à tout moment des l'expérience, soit on est avant T, soit après, c'est à dire qu'on a fini, et on note ti=T, variable mesurée lorsque cet évènement survient. C'est ce qu'on appelé "première apparition" dans le cas du singe. Cet évènement est parfaitement indépendant de tout le reste, sauf de l'énoncé. Or l'énoncé n'est que par l'informaticien qui le rentre dans la machine.
Comme la mort d'un atome, que cet atome là meure à ce moment là ne dépend de rien d'autre que du hasard.

J'ai lu le sujet d'origine, si j'ai bien compris, quelque soit le mot, la moyenne des temps est la même. Mais j'ai peut-être mal compris.

@ Unknown,
Très nettement t'as mal lu mon message. Je ne change au aucun cas l'énoncé, j'ai donné une comparaison avec une notion que tu vrais bien connaitre, la mort des atomes, puisque tu y fais allusion très souvent.

On fait cette expérience, que ce soit la mort d'un atome ou tel mot écrit par le singe. L'expérience s'arrête quand un certain évènement arrive. C'est à dire, à tout moment des l'expérience, soit on est avant T, soit après, c'est à dire qu'on a fini, et on note ti=T, variable mesurée lorsque cet évènement survient. C'est ce qu'on appelé "première apparition" dans le cas du singe. Cet évènement est parfaitement indépendant de tout le reste,

Et bien justement tu as tort, la première apparition dépend bien de ce qui précède comme expliqué soigneusement ici : https://dlz9.forumactif.com/t1008-un-singe-au-travail#13709.

Mais bon c'est très facile, si cela suis une loi géométrique, donne nous donc le paramètre de la loi.
Ainsi on pourras comparer tes valeurs théoriques,nos valeurs théorique et la simulation.
Par valeur théorique je veux dire : probabilité que le mot se termine au t-eme tirage.
Par comparaison aux valeurs théoriques je veux dire : simuler 10^6 tirages de lettres jusqu'à voir apparaître le mot voulut,
pour chaque tirage incrémenter de 1 le compteur correspondant au t où s'est terminé le mot.
En divisant chaque compteur par 10^6 on devrait avoir (LGN) la probabilité que le mot se termine à l'instant t.

Deal ?

@ Unknown,
Très nettement t'as mal lu mon message. Je ne change au aucun cas l'énoncé, j'ai donné une comparaison avec une notion que tu vrais bien connaitre, la mort des atomes, puisque tu y fais allusion très souvent.

Non, j'ai très bien lu ton message.

Ici tu changes l'énoncé parce que tu appelles "résultat de l'expérience" autre chose que ce que les auteurs de l'énoncé ont décidé d'être comme résultat.

@ Unknown,
Il me semble bien que la conclusion de l'exercice, qu'on peut lire sur MF, est que t1=t2, même si ce n'est pas dit explicitement.
Il y a bien le résultat des calculs de Gbzm, mais ils ne sont pas expliqués.

Lyceen95 a écrit une propriété qui implique l'inégalité. GBZM et moi avons calculé le temps d'attente moyen. Pour lui, on peut parfaitement comprendre sa méthode en lisant son code (ce n'est pas une simulation). Pour moi, j'ai fait une démonstration. A partir des 2 valeurs numériques de t1 et t2, tu n'arrives pas à trouver laquelle est la plus grande ? Quand même il y a de l'exagération dans les contre-sens que tu fais, c'est pas possible, tu le fais exprès

Il me semble bien que la conclusion de l'exercice, qu'on peut lire sur MF, est que t1=t2, même si ce n'est pas dit explicitement.

1) c'est faux, comme explicité par Vassilia
2) cela n'a rien à voir avec le fait d'être ou non une loi géométrique.

Je te fais une démonstration que le temps d'apparition du mot "AB", dans un alphabet de 10 lettres, ne suis pas une loi géométrique.
Je compte le temps au démarrage du mot, c'est à dire t=1 si AB sont les deux premières lettres, t=2 si on *AB où * est n'importe quelle lettre, etc...
(Si on prends la fin du mot, t=1 a une proba 0 ce qui n'est pas possible pour une loi géométrique).

La proba que t=1 c'est la proba que "AB" sorte en premier, soit 1/100.
Pour que t=2 il faut avoir AB dans les deux dernières lettre, peu importe la première.
Donc P(t=2) = 10/1000 = 1/100


Rappelons que si t suis une loi géométrique de paramètre p, alors P(t=k) = (1-p)^{k-1}*p (voir wikipédia par exemple)
Donc si t suis une loi géométrique son paramètre est 1/100 (car P(t=1)=p=1/100
Et on a que P(t=2) = 1/100 =/= (1-p)^(2-1)*p = 0.99*1/100


Comprends tu qu'il s'agit là d'une démonstration rigoureuse que l'apparition du mot "AB" ne peut pas suivre une loi géométrique ?

Et pour cause, comme GBZM te l'as dis, comme je te l'ai expliqué, on est dans un cas avec mémoire, et non "sans mémoire".

Je réitère ma recommandation d'arrêter de raconter n'importe quoi sur des sujets que tu ne maîtrise pas, et d'essayer de prendre
de haut tes interlocuteurs en essayant de faire croire qu'ils ne comprennent pas la B.A.BA des probas, quand, de toute évidence,
ils maîtrisent nettement mieux le sujet que toi (tu reconnais toi même que tu ne connaissait pas la définition de variable aléatoire,
que tu en as "inventé" une.... tu ne connaissais pas la notion de covariance, tu ne connaissais pas les règles basiques de calcul
avec la variance etc...)

Bonjour,
Oui, il y a des choses que j'ai mal comprises.
Il y a ce fameux "sachant que", ce qui fait dire à Unknown que ce n'est pas une loi sans mémoire, et qui fait dire à Vassillia que t1 et t2 sont différents.
Là, le problème est bien posé. Il y a en fait deux problèmes différents, mais sont-ils vraiment différents et sont-ils indépendants ?
Je m'apprêtais à trouver un test de vérification de loi exponentielle. Parfait, on reste dans le même sujet.

Dlzlogic prétend dans sa simulation calculer le temps moyen d'attente des mots "ABC" et "AAA" quand un singe tape au hasard sur un clavier à 10 touches A,B,C,D,E,F,G,H,I,J.

Rappelons le résultat déjà donné par Vassilia :
1°) le temps moyen d'attente pour "ABC" est 1000 ; la variance du temps d'attente est 995000, ce qui fait un écart-type d'à peu près 998.
2°) le temps moyen d'attente pour "AAA" est 1110 ; la variance du temps d'attente est 1226790, ce qui fait un écart-type d'à peu près 1108.

Maintenant, comparons ces résultats avec une simulation portant sur 40 000 singes. Le code de la simulation pour chaque singe est très simple :

Code:

import random as rd

import string
alphabet=string.ascii_uppercase

def attente(mot,nalp) :
    long = len(mot)
    temps = long
    der = ''.join(rd.choice(alphabet[:nalp]) for i in range(long))
    while der != mot :
        temps += 1
        der = der[1:]+rd.choice(alphabet[:nalp])
    return temps

La commande

Code:

attente("ABC",10)

retourne le temps d'attente du mot"ABC" pour un singe tapant sur un clavier avec les 10 premières lettres de l'alphabet.
Pour un échantillon de 40 000 singes, la moyenne des temps d'attente est 998.6 et l'écart-type est 994.2. Ça va bien avec les résultats exacts calculés.

On recommence avec

Code:

attente("AAA",10)

. Dans ce cas, toujours pour un échantillon de 40 000 singes, la moyenne des temps d'attente est 1110.4 et l'écart-type 1111. Nickel-chrome.

Quelle précision ont les résultats de la simulation ? Comme on fait une moyenne sur 40 000 singes indépendants et que l'écart-type sur le temps d'attente pour chaque singe est à peu près 1000 ou 1100, l'écart-type pour la moyenne s'obtient en divisant par 200 : c'est 5 ou 5.5.

La simulation est bien une preuve (pas une démonstration, mais une preuve) que le temps d'attente moyen de AAA est de 10% supérieur au temps d'attente de ABC.

Que dire maintenant de la simulation de Dlzlogic ?
Eh bien, qu'on ne sait pas ce qu'elle fait car on n'a pas le code.
Et que visiblement, les résultats sortis par Dlzlogic, n'ont aucun rapport avec les temps d'attente moyens des mots "ABC" et "AAA".
Il semblerait que Dlzlogic trouve un temps moyen d'attente de 753 pour "AAA" et de 744 pour "ABC", ce qui est complètement aberrant.
Rappelons ce qu'est ce temps d'attente : le singe tape au hasard sur son clavier à 10 touches et on retourne le n° de la frappe où on voit pour la première fois apparaître le mot de trois lettres voulu dans les trois dernières frappes. C'est ce que fait le code donné plus haut.

Oui, il y a des choses que j'ai mal comprises.

C'est tout à fait normale de ne pas tout comprendre. Mais en général on ne va pas faire des affirmations aggressives du genre "c'est une loi exponentielle"
avec le sous-texte quasi explicite "t'es vraiment con de ne pas comprendre que ça en est une".

Il y a ce fameux "sachant que", ce qui fait dire à Unknown que ce n'est pas une loi sans mémoire,

En l'occurrence je n'ai même pas besoin d'utiliser de proba conditionnelle pour prouver que ce n'est pas une loi géométrique.
Je peux le refaire avec un alphabet plus petit : juste deux lettres. Et je m'intéresse au temps d'appartition de AB.
Par exemple si j'ai AAB... -> t=2,

Je reprends la démonstration ci-dessus :

P(t=1) = P(commencer par AB)
Comme on se fiche de ce qui se passe après la deuxième lettre, on ne s'intéresse qu'au deux premières
cas favorables : 1
cas totaux : 4
P(t=1)=1/4

P(t=2) :
tout ce qui nous intéresse sont les 3 premières lettres.
Cas favorable : AAB, BAB -> 2  (on vérifie bien que l'on a pas eu AB avant t=2)
Cas totaux : AAA,AAB,ABA,ABB,BAA,BAB,BBA,BBB -> 8
P(t=2) = 1/4

Si t suivait une loi géométrique de paramètre p, comme P(t=1)=p=1/4 son paramètre serait 1/4
Auquel cas la probabilité d'obtenir 2 devrait être 1/4*3/4=3/16  or on a en réalité P(t=2)=1/4=4/16

Là, le problème est bien posé. Il y a en fait deux problèmes différents, mais sont-ils vraiment différents et sont-ils indépendants ?

Je ne sais pas de quel problème tu parles...

Je m'apprêtais à trouver un test de vérification de loi exponentielle. Parfait, on reste dans le même sujet.

Loi exponentielle ou loi géométrique ?
On peut utiliser des méthodes génériques (trouvables dans les cours classique) ou chercher
une méthode dédiée à l'une de ces lois qui existe surement dans la litterature.

Si j'avais à le faire rapidement je ferais sûrement estimation du paramètre (via la moyenne empirique) puis
test d'adéquation à une loi donnée (Khi2 ou KolmogorovSmirnov suivant que l'on parle d'une géométrique ou d'une exponentielle).

P.S: pour donner une petite chance au temps d'atteinte d'être géométrique j'ai changé légèrement la convention par rapport à GBZM et Vassilia : je parle du temps d'apparition de la première lettre du mot, ils parlent du temps d'apparition de la dernière lettre du mot. Ma convention est plus bancale que la leur, mais sinon démontrer que le temps d'attente n'est pas géométrique est une évidence : proba 0 d'avoir 1.

Bonjour Gbzm,
D'abord, voila le code

Code:

int main464()  // suivant 464
{
// Test du singe
  randomize();
  int Clavier=10;
  int Lmot=3;
  int Medianes[100];
  int Touche[5]; // les touches du clavier
  char LeMot[4];
  strcpy(LeMot,"AAA"); // cad 65, 66, 67 ...
  for (int fois=0; fois<100; fois++)
  {
    int temps=0;
    int LesTemps[50];
    for (int it=0; it<50; it++)
    {
      int Compte=0;
      while ( Compte < 10000000)
      {
        float trouv=true;
        for (int i=0; i<Lmot ; i++)
        {
          Compte++;
          int r='A'+rand()%Clavier;
          if (r != LeMot[i]) {trouv = false; break;}
        }
        if (trouv == true)
        {
          LesTemps[it]=Compte;
//          fprintf(espion,"fois=%d  compt=%d\n",fois,Compte);
          break;
        }
      }
      if (Compte >= 10000000)
      {
        fprintf(espion,"On boucle \n");
        fclose(espion);
        return -1;
      }
    }
//int CalcMediane(int Nb, int BoulesB[])
    Medianes[fois]=CalcMediane(50,LesTemps);
    if (fois == 0) AfficheNormale(50, LesTemps, "\n Les temps");
  }
  fprintf(espion,"\n clavier : %d touches Mot=%s",Clavier, LeMot);
  AfficheNormale(100, Medianes, "\n Travain du Singe");
  fclose(espion);
  return 0;
}


J'ai considéré la médiane et non la moyenne. Le rapport est ln(2). Ceci explique les écarts entre 1000 et 750 environ.
Evidemment, pour moi, un écart-type n'a de signification que pour une liste de mesures d'une même quantité. Or à l'évidence, les temps d'attente sont par définition très différents. On retrouve le même contexte qu'avec la liste de clients de cinéma, ou le claquage des ampoules LED.
Mon algorithme :
Je fais 100 fois la mesure suivante : médiane des temps d'attente de 50 fois la lecture du mot de 3 lettres.
Ces 100 mesures sont comparables, je peux en sortir une moyenne et un écart-type.

Par contre, le point important que je ne comprends pas : l'expérience réalisée me semble correspondre exactement au contexte de la loi exponentielle. Tu me dis que non. Sauf le problème de répétition du singe qu'on doit exclure, pourquoi on aurait plus de chance de tirer 3 fois la même lettre que 3 lettres différentes. Ceci me semble très important. Il s'agit du fameux "sachant que" et cela me pose problème qu'on l'emploie.

@ Unknown  désolé, ton message est trop long et tes messages ne m'ont jamais rien apporté.

@ Unknown  désolé, ton message est trop long et tes messages ne m'ont jamais rien apporté.

Donc si je fais une preuve précise, détaillée, c'est "trop long".
Si je suis concis c'est "incompréhensible".

En fait tu ne veux faire aucun effort. Tu te contentes de déclarer que j'ai tort, que je suis incompétent et que je n'explique jamais rien.

En l'occurrence je te PROUVE que ce n'est pas une suite géométrique.

l'expérience réalisée me semble correspondre exactement au contexte de la loi exponentielle.

Déjà ça ne peut pas être une loi exponentielle : les valeurs sont discrètes (toujours cette incapacité à être précis).
Ensuite je t'invite à aller voir les messages ci dessus où cette question est précisément répondue.
(Parce que nous, contrairement à toi, on réponds aux questions).

pourquoi on aurait plus de chance de tirer 3 fois la même lettre que 3 lettres différentes.

Et bien si tu reprends mon exemple (mot de deux lettres avec un alphabet de deux lettres).

Pour le mot 1 : AB
Proba(t1=1) = 1/4
Proba(t1=2) = 1/4

Pour le mot 2 : AA
Proba(t2=1)=1/4 (toujours 1 cas sur 4)
Ca change pour t2 = 2 :
cas favorables : "BAA" seulement, en effet "AAA" donne t2=1 et non t2 = 2
cas totaux : 8
Donc Proba(t2=2) = 1/8

Bonjour
@Unknown Ah ben oui, merci, je viens de comprendre pourquoi c'est logique que le temps d'attente moyen soit plus long, on impose des contraintes sur des lettres d'avant, cela fait sens !

@Dlzlogic Quelques problèmes dans ton code :
-Il ne faut pas mettre de borne 10000000, fait une boucle infini jusqu'à ce que l'événement arrive
-Si tu tires 'ABA' au lieu de 'ABC', certes c'est 'false' mais toi tu break en recommençant ensuite à partir de rien alors que tu viens d'obtenir la première lettre 'A' du mot 'ABC' (celle qui est à la fin de 'ABA' que tu viens de tirer)
-Merci de fournir le code de CalcMediane() mais de toute façon, ce n'est pas la question, j'avais demandé les moyennes donc tu as changé l'exercice.

Unknown a écrit:En l'occurrence je te PROUVE que ce n'est pas une suite géométrique.

J'ai certainement jamais dit que c'était une suite géométrique, alors pourquoi tu parle de ça.
Pas besoin de "preuve" concernant la suite géométrique.
Par contre, pour la proba de fonction exponentielle, si ce sont les nombres entiers qui te gênent, subdivise-les en beaucoup plus petit et passe à la limité.
Tu sais, en matière de probabilités, le terme "exact" est vraiment inconnu.
On sait la définition d'une probabilité, on sait que pour un très grand nombre d'épreuves, la fréquence tend vers la probabilité, on sait (c'est démontré) que la répartition des écarts à la moyenne dans le cas d'une expérience de même loi est celle de la la loi normale, représenté par la courbe de Gauss.
Dans le cas du mot tapé par le singe, ce n'est pas parce que la deuxième est la troisième lettre est la même que la première que le singe tapera ce mot plus vite que si les trois lettres sont différentes. Aucune lettre n'est prioritaire sur une autre, elles ont toutes la même probabilité d'être tapée et dans n'importe quel ordre.

@ Vassillia,
Ce très grand nombre est juste pour éviter de boucler lors de la mise ai point. Ce n'est qu'une précaution indispensable avec une boucle infinie.
Je suis d'accord pour ton argument sur le "break" alors que toi, je suppose que tu fais une liste glissante. Mais regarde bien, on ne perd jamais de lettre, puisqu'on ne fait que sortir de la boucle du nombre de lettres tapées.
Ton argument est recevable, mais pas dans mon code.
"-Si tu tires 'ABA' au lieu de 'ABC', ..." oui, c'est vrai on pourrait récupérer le A, évidemment si c'est ça l'astuce du défi, alors je m'incline.

Code:

int CalcMediane(int Nb, int BoulesB[])
{
// il ne faut pas modifier le tableau
  int *Boules = (int *) malloc(Nb*sizeof(int));
  for (int i=0; i<Nb; i++) Boules[i]=BoulesB[i];
  for (int it1=0; it1<Nb-1; it1++)
  {
    for (int it2=it1+1; it2<Nb; it2++)
    {
      if (Boules[it2] < Boules[it1])
      {
        int B1=Boules[it1];
        Boules[it1]=Boules[it2];
        Boules[it2]=B1;
        it1--;
        break;
      }
    }
  }
//  fprintf(espion,"Après tri\n");
//  for (int it=0; it<Nb; it++) fprintf(espion,"%d\n",Boules[it]);
  int Mediane =Boules[Nb/2-1];  // il faut que Boules ait été trié
  free(Boules);
  return Mediane;
}


Bon, je reconnais que j'ai été un peu léger sur le "rattrapage" du 'A' ou d'un mot plus grand.
Par contre, il y a une question qui me tracasse plus : il s'agit de la fonction exponentielle oui ou non ?
Si c'est pas la fonction exponentielle quelle serait sa forme ?
Y a-t-il des tests de fonction exponentielle autres que Med/Moy ~ ln(2)?
Je cherche à trouver une méthode.

Ah ben dans ton code, ça va être infernal à programmer, c'est sur donc oui je recommande vivement une liste glissante, bonne idée ! Tu es nettement plus pertinent quand tu codes que quand tu expliques des choses.

Et oui, récupérer le 'A' fait partie de l'astuce comme tu dis mais c'est obligatoire pour répondre à la question. C'est pourquoi le temps d'attente moyen ne sera pas le même en fonction du mot et c'est pourquoi il y a de "la mémoire" en quelque sorte même si le singe tappe au hasard.

Il ne faut pas voir cela comme une défaite, tu as appris quelque chose et moi ça me fait plaisir de constater que tu es de bonne foi. Bien sûr qu'il y a des tests d'adéquation à une loi plus performant, Unknown te l'a dit. On t'expliquera si tu le demandes gentiment mais si c'est pour que ça finisse comme la dernière fois où je t'ai fait un test d'adéquation du Khi2 à une loi uniforme, je passe mon tour, j'ai mieux à faire.

Evidemment, pour moi, un écart-type n'a de signification que pour une liste de mesures d'une même quantité. Or à l'évidence, les temps d'attente sont par définition très différents.

Pour toi, oui, on sait. Mais pour tous les gens qui s'y connaissent un peu en probas, toute variable aléatoire réelle (de carré intégrable) a un écart-type, quelle que soit sa loi.
Tu devrais relire ta bible Levallois p. 140. Bien sûr il appelle "variable éventuelle" ce que tout le monde appelle maintenant "variable aléatoire", "valeur probable" ce que tout le monde appelle "espérance" et "erreur moyenne quadratique " ce que tout le monde appelle "écart-type", mais il définit bien cette erreur moyenne quadratique pour une variable éventuelle de loi quelconque, pas seulement normale. Et quand tu fais une simulation, tu sais bien calculer ton "emq" sur un échantillon quelconque, pas seulement pour un échantillon correspondant à une loi normale.
Et le fait que les écarts-types "s'ajoutent quadratiquement" (autrement dit que la variance de la somme est la somme des variances), si les variables aléatoires sont indépendantes, est valable pour des variables aléatoires de lois quelconques et pas seulement de loi normale.
Et j'ajoute que l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, qui dit que l'écart-type contrôle la dispersion, est valable pour une loi quelconque, pas seulement pour une loi normale.

J'ai certainement jamais dit que c'était une suite géométrique, alors pourquoi tu parle de ça.

Pardon, je voulais dire loi géométrique et non suite géométrique (suffit de regarder la démonstration et le fait que je réponds à ton affirmation "On est typiquement dans le cas de loi exponentielle (ou géométrique si on veut).") C'est celle que tu t'évertue a appeler "exponentielle" dans le cas discret.

Par contre, il y a une question qui me tracasse plus : il s'agit de la fonction exponentielle oui ou non ?

La fonction ? Qu'est-ce qui est une fonction ? Confonds tu fonction exponentielle et loi exponentielle ?

Donc NON le temps d'arrivée d'un mot ne suis pas une loi exponentielle.
En effet la probabilité que cela arrive en 1 (en comptant la première lettre du mot) est non nulle,
donc ce n'est pas une variable aléatoire à densité.

NON le temps d'arrivée ne suis pas une loi géométrique. Je te l'ai prouvé, à trois reprises, avec un mot de 2 lettres.

Si c'est pas la fonction exponentielle quelle serait sa forme ?

En partant du principe que tu voulais dire loi, et non fonction, il s'agit d'une loi complexe, qui n'est pas l'une des lois classiques.
On peut la voir de divers manière, typiquement comme le temps d'atteinte d'un certain point par une chaîne de Markov.
C'est, si je ne m'abuse, ce que fait GBZM pour faire ses calculs.

Y a-t-il des tests de fonction exponentielle autres que Med/Moy ~ ln(2)?

Si tu lisais mes messages "qui ne t'apporte rien", tu aurais vu une réponse à cette question.
Enfin, encore une fois si on remplace "fonction" par "loi".