Interpolation polynômiale

Bonjour,
Ces derniers temps, à l'occasion de deux sujets particulièrement, on a souvent évoqué le calcul de polynômes.
Sauf erreur, le problème peut se poser de deux façons différentes.
1- on dispose d'un certain nombre de points, pas beaucoup, et on cherche le polynôme qui passe exactement par ces points. Ce problème est connu sous le nom de "interpolation de Lagrange".
2- on dispose d'un grand nombre de points qui résultent d'observations et on cherche la fonction polynomiale qui représente au mieux le phénomène observé. La seule hypothèse qu'on se fixe est le degré de la fonction. On démontre que étant donné une liste de points et un degré fixé, il existe une fonction unique qui répond à la question.

On pourrait discuter du degré du polynôme. Personnellement, j'ai adopté le degré 4, c'est à dire que la fonction comporte 5 paramètres à calculer. De nombreuses situations ont montré que cela était satisfaisant.
J'ai le sentiment que la méthode d'interpolation de Lagrange a un intérêt historique plus que pratique. La précision des points qui permettent de calculer ce polynôme est limitée, au mieux avec 3 chiffres significatifs. Si on dispose de plus de 3 chiffres significatifs, cela signifie que cette précision résulte d'un calcul rigoureux, alors, pourquoi chercher une autre formule si on la connait déjà ?
Bref, le problème est ouvert.

Bonjour

La solution dépend de la notion d'écart que tu utilises.

Par exemple tu choisis tes points  a_1,...,a_n, et tu cherches P de degrés m<n qui passe par les a_i, f la fonction que tu cherches à approximer.

Tu peux choisir comme écart :

1/n*somme((P(a_i)-f(a_i))^2, i=1..n) ou max(|P(a_i) - f(a_i)|, i=1..n).

Et selon le choix de l'écart tu n'obtients pas la même approximation P.

Bonne journée.

@ Dattier,
J'ai un peu de mal à comprendre.
S'il s'agit de l'interpolation de Lagrange, il n'y a pas d'écart, puisque le degré du polynôme est fixé par le nombre de points, si j'ai bien compris l'article de Wikipédia.
Pour l'interpolation avec un grand nombre de points et le degré fixé, il n'y a qu'une solution. Les écarts sont le résultat.

Je ne parle pas de l'interpolation mais de cas :

Dlzlogic a écrit:
2- on dispose d'un grand nombre de points qui résultent d'observations et on cherche la fonction polynomiale qui représente  au mieux le phénomène observé. La seule hypothèse qu'on se fixe est le degré de la fonction. On démontre que étant donné une liste de points et un degré fixé, il existe une fonction unique qui répond à la question. 

Si tu as le polynôme P et Q comme candidat, comment sais tu lequel représentes le mieux le phénomène observé.

Si tu as le polynôme P et Q comme candidat, comment sais tu lequel représentes le mieux le phénomène observé.

Le polynôme cherché s"écrit
P=A + Bx + Cx² + Dx^3 + Ex^4
Les inconnues sont donc A, B, C, D, E. Le problème se résout par la méthode des moindres carrés. On écrit le système linéaire de 5 équations qui exprime que la somme des carrés des écarts entre la valeur observée et la valeur calculée est minimale. Il est certain que ce calcul est difficilement réalisable à la main puisqu'il y a beaucoup d'opérations arithmétiques. Par contre, une machine saura très bien le faire, sans se tromper.

PS. Pour répondre à ton message précédent, le résultat trouvé est le plus probable, donc c'est celui qu'on va adopter. Je sais bien que certains matheux ont du mal à comprendre le mot "probable", depuis quinze ans, il n'ont fait aucun effort pour tenter de le comprendre.

Bonjour
Dommage Dattier, tu as essayé d'expliquer quelque chose d'important à Dlzlogic
concernant la "notion d'écart" comme tu as dit, en prenant les deux exemples :
-- écart quadratique 1/n*somme((P(a_i)-f(a_i))^2, i=1..n)
-- ou uniforme max(|P(a_i) - f(a_i)|, i=1..n).

Mais encore une fois, il n'a fait aucun effort pour tenter de le comprendre, comme il le dit si bien.
Il est enfermé dans ses histoires de probabilités pourtant inexistantes dans le contexte. Ca fait 15 ans...

Dis Horner, ça t'arrive de dire des choses positives ? Je pensais que l'age du "NON" se limitait à l'age de 4 ans.
Bon, ma question :
Tu cites deux types d'écart. Lequel tu choisis, ou la moyenne, ou le plus petit, ou le plus grand ? Comment justifies-tu cela ?

@Léon : pour Dlzlogic la notion d'écart est forcément quadratique, et il n'y a rien qui interdit d'avoir ce point de vue.

C'est comme dire qu'une boule est forcément une boule associée en dim 3 à une norme euclidienne.

Ce n'est qu'une question de définitions....

Les matheux n'ont pas le monopole sur les mots qu'ils emploient.

Dattier a écrit:@Léon : pour Dlzlogic la notion d'écart est forcément quadratique, et il n'y a rien qui interdit d'avoir ce point de vue.

en effet, pour lui, il n' y a qu'une seule façon
de résoudre les problèmes (celle qu'on lui a apprise, en cachant toutes les autres possibles)
et de voir les choses (la sienne, "la plus probable" à tour de manivelle).

rien n'interdit de considérer l'erreur quadratique (c'est d'ailleurs la plus utilisée),
mais rien n'interdit d'utiliser d'autres écarts, comme celui que tu as signalé.
Tu as tenté d'expliquer cela à Dlzlogic, ce qui est parfaitement louable, mais voué à l'échec à l'évidence, car lui interdit d'office tout ce qu'il ne sait pas.

Dattier a écrit:Ce n'est qu'une question de définitions....
Les matheux n'ont pas le monopole sur les mots qu'ils emploient.

Les matheux font des maths comme il se doit, pas de souci : en math, les définitions sont là pour que les gens se comprennent et parlent de manière cohérente.
Les matheux autorisent évidemment l'étude d' écarts différents (pour reprendre ton mot), mais Dlzlogic ne l'autorise pas :
c'est comme il dit, rien d'autre.
Pour reprendre ta phrase fort à propos, Dlzlogic a-t-il le monopole sur les mots qu'il emploie et les méthodes à utiliser ? encore moins !

Si tu veux changer les définitions, pas de souci, tu n'as qu'à parler le "langage de Dlzlogic" (avec tous les contre-sens que cela induit en proba par exemple), mais cela ne sera pas des maths.
Genre :

tout calcul du type dont on parle, par exemple, détermination des coefficients d'un polynôme, ne peut se justifier que par la connaissance, donc l'application de la théorie des probabilités.

Dlzlogic a écrit:Dis Horner, ça t'arrive de dire des choses positives ? Je pensais que l'age du "NON" se limitait à l'age de 4 ans.
Bon, ma question :
Tu cites deux types d'écart. Lequel tu choisis, ou la moyenne, ou le plus petit, ou le plus grand ? Comment justifies-tu cela ?

Dis Dizlogic, tu n'en as pas assez de poser des questions pour attirer l'attention, comme un enfant de 4 ans.... et sans écouter les réponses, comme un vieux de 99 ans.

Pose tes questions à Dattier, car dans cette discussion, c'est lui qui essaie de te faire ouvrir les yeux sur un truc hyper classique et fondamental.

Horner a écrit:Pose tes questions à Dattier, car dans cette discussion, c'est lui qui essaie de te faire ouvrir les yeux sur un truc hyper classique et fondamental.

Dlzlogic est satisfait des outils qu'ils utilisent, pourquoi le forcer à connaître d'autres outils alors que les outils dont ils disposent sont suffisants.

Par exemple si je t'annonce qu'un écart n'est pas forcément une distance...

Définition : e : A*A ->R+ est un écart sur A si  $e^{-1}({0})$ est la diagonale de A*A (séparabilité)

On n'a pas forcément pour l'écart, l'inégalité triangulaire ou la symétrie.

Rien ne t'oblige à prendre en considération c'est distinction entre écart et distance... Et bien il en est de même pour Dlzlogic.

Bonjour Dattier

Par exemple si je t'annonce qu'un écart (...)

Personnellement, je n'avais pas besoin de détails, car tout cela est bien classique. Cela dit, je reconnais ta bonne volonté d'expliquer.
Ta réponse permettra à Dlzlogic de comprendre (ou pas !) ta critique sur son affirmation que TU avais mise en gras rouge ci-dessous :

Dattier a écrit:Je ne parle pas de l'interpolation mais de ça :

Dlzlogic a écrit:
2- on dispose d'un grand nombre de points qui résultent d'observations et on cherche la fonction polynomiale qui représente  au mieux le phénomène observé. La seule hypothèse qu'on se fixe est le degré de la fonction. On démontre que étant donné une liste de points et un degré fixé, il existe une fonction unique qui répond à la question. 

Dlzlogic est satisfait des outils qu'ils utilisent, pourquoi le forcer à connaître d'autres outils.

Qui veut forcer Dlzlogic à comprendre la diversité des maths ? personne.
Par ailleurs, tu sais que Dlzlogic se satisfait des outils qu'il utilise,
alors pourquoi lui avoir fait remarquer dès ton premier message qu'il y en a d'autres, qui aboutissent à des résultats différents ?

Dattier a écrit:
La solution dépend de la notion d'écart que tu utilises.
Par exemple tu choisis tes points  a_1,...,a_n, et tu cherches P de degrés m<n qui passe par les a_i, f la fonction que tu cherches à approximer.
Tu peux choisir comme écart :
1/n*somme((P(a_i)-f(a_i))^2, i=1..n) ou max(|P(a_i) - f(a_i)|, i=1..n).
Et selon le choix de l'écart tu n'obtients pas la même approximation P.

Bonjour

@Léon : Je pensais que cela intéresserait Dlzlogic de le savoir, mais visiblement ce n'est pas le cas, il a le droit de s'en désintéresser, et je n'en fais pas tout un plat.

Bonne journée.

Certes, je te comprends.

Ce qui est amusant, c'est que c'est lui qui a ouvert le sujet et on aurait pu s'attendre naïvement à ce qu'il s'y intéresse... dommage, comme je disais.

Bonne journée à toi aussi.

@Léon : Mais je pense, avoir mieux cerner la problématique que veut soulever Dlzlogic.

Quand on minimise l'écart quadratique avec un degré suffisament grand cela revient à faire une interpolation, donc l'interpolation de Lagrange est redondante avec cette méthode...

Quel intêret de multiplier ainsi les outils, sans qu'ils n'adressent, la résolution d'un problème concret ?



@Dlzlogic : les maths consistent en l'étude systématique des outils théoriques, en effet il arrive, souvent, que durant l'étude, les outils misent en évidence, soit d'une moindre utilité pratique.

Par contre il arrive aussi de tomber sur de véritable pépite (le moindre carré).

Le matheux est semblable aux chercheurs d'or, il doit chercher systématiquement dans la boue, pour en révéler de temps en temps une pépite précieuse, ou le plus souvent, de jolie pierre colorée de moindre valeur.

@dattier
Je pense que tu te tortures bien l'esprit.

L'interpolation de Lagrange se fait en des abscisses connues à l'avance : aucun minimum n'est cherché. Il y a même un phénomène de Runge (ou de Gibbs) bien connu avec des grands nombres de points d'interpolation.

Minimiser l'écart quadratique ne permet pas de fixer des points sur la courbes : l'objectif n'est pas d'interpoler, mais d'approcher en évitant le phénomène de Runge par exemple.

Bref, ce ne sont pas les mêmes hypothèses de travail, ni les mêmes conclusions. Il n'y a pas de redondance à mes yeux. D'ailleurs, les résultats de ces deux méthodes ne sont jamais les mêmes, pour ainsi dire.

Pourquoi multiplier des théorèmes avec des hypothèses différentes et des conclusions différentes ? Ben, c'est ça faire des maths.

Bonjour,

Horner a écrit: Dattier a écrit:
@Léon : pour Dlzlogic la notion d'écart est forcément quadratique, et il n'y a rien qui interdit d'avoir ce point de vue.

en effet, pour lui, il n' y a qu'une seule façon
de résoudre les problèmes (celle qu'on lui a apprise, en cachant toutes les autres possibles)
et de voir les choses (la sienne, "la plus probable" à tour de manivelle).

Tiens, pour une fois tu as raison, mais tu ne sais même pas pourquoi.
Quand on fait des exercices sur la parabole, on lance une balle et elle retombe. On ne se pose pas la question "tien, ce n'est pas dit dans l'énoncé qu'elle retombe et surtout pourquoi. Moi, je vais étudier la fonction suivant une trajectoire rectiligne de la balle".
C'est ça ta position. Tu oublies simplement une petite chose, dans le monde réel observable, il est impossible qu'il en soit autrement que ce que j'explique. On a beau me balancer des contre exemples comme la loi de Cauchy, me dire que la pièce n'a pas de mémoire, moi je pourrais te répondre "et les montgolfières, et le sable du Sahara, etc."
Je sais bien qu'en maths, tout est permis, tout est possible, mais pas dans le monde réel. Et, les probabilités, ainsi que toutes les applications, dont les statistiques, le calcul d'erreur, sont directement issues de la théorie des probabilité, à le pas confondre avec la théorie des proportions, parfaitement connue des matheux, sont directement liées au monde réel, de la même façon que la basse retombe en suivant une trajectoire parabolique. Toi, on ne t'a pas appris ça, par contre on a sous(entendu qu'il y avait plusieurs hasards (terme non mathématique), qu'une expérience de loi uniforme (ie toujours pareil) donnait un résultat uniforme, parallèlement on a créé ce fameux TCL qui sert de tampon puisque la proposition précédente était contradictoire.
Alors si tu ne veux pas réfléchir un peu, retourne dans ton coin à enseigner le calcul numérique.

Bob, j'ai lu un peu plus haut que pour un même problème posé, on peut obtenir plusieurs solutions. Ca je pense que c'est vrai pour la philosophie, les métiers artistiques, les décisions financières et des tas d'autres spécialités. Mais certainement pas en maths (au moins j'espère) on peut trouver plusieurs méthodes mais le résultat DOIT être unique et parfaitement justifié.

Dlzlogic a écrit: dans le monde réel observable, il est impossible qu'il en soit autrement que ce que j'explique.

Dizlogic croit vraiment qu'il a le monopole du monde réel.  

Dlzlogic a écrit: tout est possible, mais pas dans le monde réel.

Dizlogic sait tout ce qui est possible, et tout ce qui est impossible dans le monde réel.  

Tu vois bien Dattier que tu étais loin de pouvoir l'intéresser avec ta remarque (tout à fait naturelle et fondamentale) en début de discussion, remarque qu'il considère comme  philosophique, artistique, etc. mais certainement pas mathématique... Car Dizlogic suppose aussi posséder tout le savoir mathématique.

Dans ces conditions, puisqu'il ne veut pas réfléchir un minimum (et préfère insulter les matheux),
pas étonnant qu'aucun échange constructif ne soit possible avec lui (malgré les essais de Beagle, Dattier, et tous les autres...)

@ Horner,

Dizlogic croit vraiment qu'il a le monopole du monde réel. cyclops
Dizlogic sait tout ce qui est possible, et tout ce qui est impossible dans le monde réel. cyclops

C'est curieux, il y a eu il n'y a pas très longtemps deux "essais" très poussés concernant ce dont on parle.
Pour mémoire, les 12 tirages faits par Gbzm avec un dé à 1000 faces. On vérifie que la répartition des écarts à la moyenne résultant de tirages avec un dé équilibré à 1000 faces, donc suivant une loi uniforme, est conforme, avec une grande précision, à la loi normale.
Et, je très gros fichiers des températures dont la source est incontestable. Là, certains ont osé me critiquer d'avoir fait les corrections dues au réchauffement climatique d'une part et aux variations saisonnières de température, de façon à tout ramener à des valeurs comparables.
S'il y avait des contextes dans le monde réel observable qui ne répondent pas à ces lois de probabilités, je pense qu'on le saurait et que les matheux seraient ravis de les citer.

Dlzlogic,
S'il y avait des exemples concrets (que plusieurs matheux t'ont pourtant donnés) que tu ne refusais pas (car contredisant tes dogmes), il est clair qu'on le saurait.
Tu  ne retiens que ce qui t'arrange (genre planche de Galton, que tout le monde connait très bien) , surement par conscience scientifique.

il y a eu il n'y a pas très longtemps deux "essais" très poussés concernant ce dont on parle.

où ça ?

@ Horner,
De mémoire, le seul contre-exemple paraissant "recevable", c'est la loi de Cauchy. Harthong a précisé que cette loi rentrait dans le cadre de la théorie des probabilités, simplement la convergence était moins rapide. J'ai fait des tests pour le vérifier. Je ne me souviens pas qu'on ait eu d'autre "contre-exemples".
En fait, l'interpolation polynomiale, tu t'en fiches complètement, comme les autres sujets évoqués, ta seule préoccupation est d'essayer de faire croire que je dis n'importe quoi. Ca s'appelle de la diffamation.

Dlzlogic a écrit:En fait, l'interpolation polynomiale, tu t'en fiches complètement,

sur l'approximation polynomiale, j'ai essayé de te montrer quelque choses très concret il y a 2 ou 3 jours, mais ... tu as botté en touche (tu n'as proposé aucun calcul, aucun résultat), affirmer que toi tu savais,  et fermé le sujet.

Celui qui refuse tout échange, c'est toi : tu refuse toute explication mathématique, la tentative de Dattier dans cette discussion en est une preuve supplémentaire.

Dlzlogic a écrit: essayer de faire croire que je dis n'importe quoi. Ca s'appelle de la diffamation.

ce n'est pas de la diffamation, il suffit de lire tes propos : tu arrives tout seul à te discréditer par ton manque cruel d'esprit scientifique.