Interpolation polynômiale

J'ai relu le début du fil.
Il y avait un début d'échange constructif et intéressant entre Dattier et moi. Malheureusement, comme souvent, Horner, alias Léon est intervenu. Il est certain que la discussion est difficile, puisque son seul argument c'est "en mathématiques, c'est comme on veut".

Bon, je vais tout de même essayer de continuer progressivement.
On est dans le contexte ou le chapitre des régressions linéaires.
Prenons 3 points non alignés mais presque. Le problème consiste à chercher l'équation de la droite d'équations y = ax + b que l'on pourra utiliser pour calculer, par exemple des points intermédiaires, d'où le nom utilisé : interpolation.
Je précise, pour éviter des contradictions, stériles que la droite cherchée peut être celle qui minimise les distances aux points, ou celle qui minimise les écarts sur les ordonnées. Dans la pratique, on utilise l'une ou l'autre méthode suivant le contexte, mais ce n'est en aucun cas "au choix".
La méthode la plus courante est celle qui minimise les écarts sur les ordonnées. Il semble intuitif de se dire que tous les calculateurs habitués à ce type de problème, étant donné les mêmes points fournis, trouveront la même équation de droite. La raison est simplement que c'est le résultat le plus probable. La méthode utilisée est celle des moindres carrés. Elle se justifie par le simple fait que c'est la valeur qui minimise la variance, cheval de bataille des matheux.

Là, j'ai essayé de décrire la régression d'un nuage de points vers un droite. Pour certaines courbes, on effectue un changement de variable. Le sujet du présent fil est le calcul d'une fonction polynomiale. Le raisonnement est le même, mais il y a plus de paramètres et le calcul est un peu plus compliqué, c'est tout.

Salut,

Un petite énigme, pour ceux que cela intéressent : https://forum.prepas.org/viewtopic.php?p=1034580#p1034580

PS : vous pouvez répondre ici, si la réponse est bonne, je la relaierais sur l'autre forum.

Bonne recherche.

Salut Dattier,
J'ai un peu de mal à comprendre cette écriture symbolique, mais j'essaye de deviner.
D'abord, on réduit l'angle entre 0 et pi/2.
L'erreur commise est le terme de degré 9 = + x^9 / 9! est largement inférieure à 10^-2
Donc, je ne comprends pas la question.

Bravo.

L'explication est le fait que pour x dans [-1,1], le DSE est une série alternée donc...

Comment déterminer un P optimale ?

J'avoue que je ne sais pas comment ça a été calculé. J'ai pris mon formulaire, tout simplement.
Si je n'avais pas de formulaire, j'aurais déterminé un certain nombre de valeurs "exactes" à partie de valeurs connues et d'utilisation des formules de trigo (arc moitié etc.), puis j'aurais calculé une régression de la forme P = a + bx + cx² + ... + hx^7, soit 8 coefficients à calculer.
J'ai déjà un module qui calcule des polynômes de puissance 4, c'est pas dur de l'étendre à la puissance 7.
Vu que le valeurs utilisées sont "exactes" j'aurai certainement un résultat bien meilleur que 10^-2

C'est pas sûr que tu obtiennes une valeur de optimale.

Ben si, avec des valeurs de sin "exactes" et une régression, je suis sûr d'avoir un polynôme de degré 7 avec une précision de l'ordre de 10^-4.
En fait il est très probable que je trouve des coefficients très proches de ceux de mon formulaire.
Par ailleurs le terme de degré 8 qui est nul dans la formule du développement en série, serait positif dans le polynôme, d'où sin(pi/2) sera inférieur à 1, c'est mieux que supérieur.
Il faudrait tester, mais je n'aime pas les Kinder.
Quelle est ta solution ?

Je laisse chercher ceux qui veulent chercher, si personne ne trouve, je la publierai,,  à la fin de l'été.