Un nouveau défi

Bonjour,
Réf. : https://www.ilemaths.net/sujet-proba-890266.html
Un nouvel exercice de Flight.
Apparemment Dpi et lui ne sont pas d'accord.
A la seconde lecture de l'énoncé, je n'ai pas compris la même chose qu'à la première.
1ère lecture, j'ai compris "un nombre au moins égal au nombre 254".
2nd lecture, j'ai compris "au moins une fois le nombre 254"
Ma solution : on est en base 7, le plus petit nombre est 111, le plus grand est 777, le nombre possible est 7^3.
A suivre.

PS. Je trouve comme Dpi, mais j'ai pas fait la simulation.

Autre interprétation possible l'ordre des roues est quelconque, donc les cas favorables sont 254 ; 245 ; 425 ; 452 ; 542 ; 524. Soit 6 résultats favorables.

Il me parait clair que le plus intéressant, donc le plus difficile, est de trouver "un nombre supérieur ou égal à 254". Là j'ai pas fait le calcul.

Salut,

La proba de n'obtenir aucun 254 pour les n tirages est si N=7**3 alors cette proba vaut p=[(N-1)/N]**n

Donc la proba cherchée est 1-p.

Bonne journée.

Essai de calcul avec l'autre interprétation
Le premier chiffre '2' en base 7 vaut 2x7² = 98
le deuxième chiffre '5' en base 7 vaut 5*7 = 35
le troisième chiffre '4' en base 7 vaut 4
Soit un total de 137
La probabilité d'avoir un nombre supérieur à 254 est donc 1- 137/363 = 1 - 0.377 = 0.623
sauf erreur.

Oui, j'ai bien aimé la formule de Gbzm, oui, c'est bien la même que celle de Dattier.
J'avoue, c'est la nuance n tirages qui m'avait échappé.
Par contre, j'ai du mal à imaginer comment calculer combien il faut faire de tirages pour avoir une chance sue deux de sortir le "254".
On pourrait toujours essayer 1/2 = 1-(362/363)^n
n (log(362) - log(363)) = log(1/2)
Avec une table de  log, par exemple Bouvard & Ratinet, ça marche.

Bonsoir,
Ce type d'énoncé m'évoque un petit problème : quel intérêt, autre que pédagogique de pose une telle question. Je crois que l'on oublie de plus en plus l'intérêt de l'étude des probabilités. Il y a d'une part les très nombreux exercices qui sont basés sur une axiomatique bien connue mais qui ignore la notion de hasard et par conséquent les théorèmes de Bernoulli, d'autre part, des énoncés pour lesquels on a du mal à imaginer des applications. Par ailleurs, on peut lire quelque fois des exercices proposés dans un contexte parfaitement réaliste (cf les tests de glycémie), mais à mon avis les conclusions attendues par l'auteur de l'exo ne sont pas à la hauteur du problème réel.
Pour mémoire, je me souviens d'un exercice proposé par un élève d'une université anglaise. Cet énoncé était tout à fait intéressant (en relation avec les mesures GPS). Un membre habitué d'un forum renommé a été incapable de répondre valablement mais à conclu par "perd pas ton temps avec ça".

Bonjour,
Il serait intéressent de clarifier cette question.
Pour simplifier, soit un dé à 1000 faces, quelle est la probabilité de tirer 254 ? Je crois qu'il ne fait de doute pour personne de répondre 1/1000.
Maintenant, on imagine un dé à 363 faces (= 7^3), quelle est la probabilité de tirer 254 ? Ben, c'est 1/363.
On joue 10 fois, ......................................................................................................................? Ben, c'est 10/363

Donc, la question que je me pose : à quelle expérience s'applique la formule comportant la puissance n ? Cela sous-entrait des évènements non indépendants, je n'arrive pas à trouver un exemple d'application. C'est probablement ce que sous-entend Imod, que je salue.

Salut Pierre,
l'addition de probas additionne deux fois le commun (pour ne pas dire l'intersection ensembliste)
Lorsque les évènemets sont indépendants le commun n'est pas vide, donc on ne peut pas simplement additionn

Tu peux aussi le voir sur l'arbre de probas, avec uniquement n=2, ce sera immédiat.

Bonjour Beagle,
Il y a trois opérateurs possibles
- la négation ; NOT ; NON ; ! ; - ; etc.
- l'intersection ; AND ; ET ; * ; etc.
- l'union ; OR ; OU ; + ; etc.

J'aimerais bien que tu traduises ta phrase à l'aide de ces 3 opérations. Pour l'instant, je ne la comprends pas.
Pour faire simple, c'est la formule de Dpi ou celle de Gbzm qui est la bonne ?

Bonjour,

@Dlzlogic : sous la condition que n<<7^3 alors les 2 ont raison.

Le calcul de GBZM est exact p=1-(1-1/7**3)**n mais il se trouve que quand 7**3>>n alors p vaut a peut prés n/7**3.

Bonne journée.

Là, je pense qu'on marche sur des œufs.
Dans toute la littérature, la définition de "probabilité" est le rapport du nombre de cas favorable sur le nombre de cas possibles.
Pour mémoire, je connais les "contre-arguments", pas la peine de me les rappeler.
La question posée est simple "quelle est la probabilité d'obtenir 254 avec les trois roues divisées en 7 secteurs ?"
On a le droit à 5 essais.
Oui, je sais bien que les deux résultats sont proches, mais comment justifier qu'une simulation de 10000 tirages confirme la formule de Dpi et pas celle de Gbzm ? Parce que 10000 est beaucoup plus grand que 363 ?
Les formules de probabilités sont "vraies et bonnes" lorsque le nombre de tirages tend vers l'infini ? Oui ou Non ?
Les tirages avec les trois roues sont-ils indépendants ? Oui ou Non ?
La loi des grands nombres est-elle vraie ? Oui ou Non ?
A mon avis, ça devient vraiment sérieux !

Essaie avec 10**6 pour voir si cette tendance ce confirme pour toi...

Tu peux refaire avec n=100 au lieu de 5, et avec toujours 10000 tirage, tu verras qui se rapproche le plus de ce que tu trouves...

PS : Sinon un petit raisonnement de bon sens t'indique de suite à quelle formule tu peux te fier pour n/7**3 (qui est censé être une proba) devient de plus en grand (plus grand que 1) et ne rapproche pas de 1 quand n grandit.

la réponse de DPI fait tout de meme mal aux yeux,
horrible,
une proba en n fois une constante, au secours

on voit bien ce qu'en fait Pierre ensuite par exemple.

Ne pas dépasser 1 est tout de meme le premier truc à regarder dans une réponse de proba,
tout mais pas ça.

Je l'ai fait avec 1 million de tirages.
Suite à ton PS.
Je me demande si on ne jour pas sur les mots.
Si je dis "je fais 1000 lancée avec un dé à 6 faces, quelle est la probabilité que j'ai un 6 (au moins) ? " la réponse est naturellement 1 ps.
Tout simplement parce qu'on a fait, dans sa tête '1000 / 6" et que c'est plus grand que 1. C'est à dire qu'on aura obtenu environ 167 fois un 6.
Dans la formule de Gbzm il y a très nettement la notion de "probabilité conditionnelle" cela répond à la question de Imod.
J'en reviens à ma question d'il y a quelques message : quelle serait l'expérience ou la réponse serait celle de la formule de Gbzm.
En d'autres termes, ce qu'on cherche à connaitre c'est "étant donné telle expérience, quel est le nombre de fois où on a le résultat souhaité ?" le valeur numérique de la probabilité, nombre compris entre 0 et 1, est un nombre utile au calcul et pas un résultat qui est un nombre de réalisations.

@Beagle : Je ne suis pas d'accord, la formule de Dpi a l'avantage d'être trés facile à calculer, contrairement à l'autre et donne le même résultat pour n<<7**3.

Dlzlogic a écrit:J'en reviens à ma question d'il y a quelques message : quelle serait l'expérience ou la réponse serait celle de la formule de Gbzm.  

L'expérience dont parle Flight pour son exo.

Je crois que le problème vient du fait que le calcul d'une probabilité, nombre compris entre 0 et 1, n'est pas un but mais un moyen. Mathématiquement c'est un nombre mais en fait, c'est un rapport, un coefficient. Il n'a de signification utile que si on le multiplie par un nombre d'essais.
Dans le cas précis, la probabilité demandée est bien 0.002915. Si on fait 1000 essais, on a environ une chance sur 3 d'avoir 254, si on fait 10000 essais on aura environ 3 fois 254.

Dattier a écrit:@Beagle : Je ne suis pas d'accord, la formule de Dpi a l'avantage d'être trés facile à calculer, contrairement à l'autre et donne le même résultat pour n<<7**3.

sauf erreur de calcul, n=5
DPI 1.38%
GBZM=Dattier : 1.37%

perso j'ai pas trouvé le meme resultat.

Mais le problème n'est pas là
c'est que je ne vois rien dans le fil de discussion pour dire la moindre petit début d'esquisse de phrase
pour n petit la formule est tres proche de, on peut prendre la formule truc

Moi j'imagine un élève  qui voit une formule de proba selon n  en n fois une constante
et qui gobe le truc sec
Euh je trouve cela léger.

Hypothèse intellectuelle.
D'une part, le raisonnement de Dpi : la probabilité d'avoir 254 est 1/7^3
On fait N tirages, donc on aura n=N/7^3.
D'autre part, la formule de Gbzm : on calcule la probabilité de ne pas avoir 254 = [(7^3-1)/7^3]^N, on prend le complémentaire à 1 et on obtient la probabilité p demandée. On fait N tirages, aura-t-on la même valeur pour n=Np. Je ne pense pas.
Laquelle est la bonne ?

PS Beagle pose la bonne question.
Pour reprendre l'énoncé. Je fais N expériences. La probabilité d'avoir 254 est p (compris entre 0 et 1) = 1/7^3.
Sur ces N expériences j'ai N fois la chance (cas favorable) d'avoir 254, donc n=Np. Nombre de cas possibles = N*7^3.

Dlzlogic a écrit:Dans le cas précis, la probabilité demandée est bien 0.002915. Si on fait 1000 essais, on a environ une chance sur 3 d'avoir 254, si on fait 10000 essais on aura environ 3 fois 254.    

X suit B(p=1/N,  n=kN) binomial, alors ce que tu cherches est E(X) à noter que la loi peut être approximer par une loi exponentielle.

Tu as un evenement rare que tu observes avec une proba de 1/N, et tu fais k*N expérience, le nombre de fois espéré de le voir est de E(X)=np=1/N*k*N quand tu fais k*N expérience.

Bref tu as tout à fait raison, sur la citation (je n'ai fait qu'apporter une justification).

En d'autres termes, ce qu'on cherche à connaitre c'est "étant donné telle expérience, quel est le nombre de fois où on a le résultat souhaité ?"
ah Pierre cette faculté a toujours faire un autre exo,
c'est cool
comme ça on peut choisir celui qu'on sait faire

Ici on ne cherchait pas le nombre de fois où on gagne au loto en n essais
on cherche à gagner une fois au loto

beagle a écrit:Ici on ne cherchait pas le nombre de fois où on gagne au loto en n essais
on cherche à gagner une fois au loto

J'avais jamais réfléchi à la question.

Et effectivement comme le dit Dlzlogic, si tu as une proba de 1/1000 de gagner, et bien en jouant 1000 fois tu peux espérer gagner une fois...

Ce n'est pas direct, mais c'est correcte, voir la justification ci-dessus.

Beagle a écrit:Ici on ne cherchait pas le nombre de fois où on gagne au loto en n essais
on cherche à gagner une fois au loto

Donc la question posée serait "combien de fois faut-il jouer pour gagner ?" oui c'est la question à laquelle a répondu Gbzm. Je l'ai évoquée dans l'un de mes premiers messages. Mais la question posée n'est pas celle-là. La question est "je joue n fois, combien de fois je vais gagner ?".

Dlzlogic a écrit:La question est "je joue n fois, combien de fois je vais gagner ?".

Oui, Dpi et toi répondait à cette question, mais ce n'est pas la question posée par Flight, me semble-t-il.

Tiens, Gbzm est intervenu.
Si je joue N fois, Le nombre de cas favorables est N fois la probabilité favorables ; le nombre de cas possibles est N fois le nombre cas total, quelque fois appelé gamma. Il suffit de faire le rapport pour avoir la probabilité demandée.