au plaisir des cordes de Bertrand

Dlzlogic a écrit:Le verbe "supposons" veut tout simplement dire "imaginons",

en math, "supposons" signifie "prenons pour hypothèse" ...

Dlzlogic a écrit:Je pense qu'on a complètement oublié l'hypothèse de base : "on choisi au hasard une corde."
Léon a beau dire que il y a plusieurs hasards, que J. Harthong n'a pas écrit qu'il n'y avait qu'un seul hasard, c'est la preuve qu'il n'a pas lu son cours "Probabilités et Statistique".
Donc, le "paradoxe" de la corde de Bertrand n'est pas "il manque une information, ce qui permettrait à chacun de répondre ce qu'il veut", mais quelle est la bonne probabilité ?

Bon, alors j'ai relu Hartong.
Oui il dit bien il ya un seul hasard, le pur hasard, le hasard de l'équiprobabilité.

Dans le paradoxe de Bertrand les trois méthodes utilisent un hasard de l'équiprobabilité, juste que cela n'est pas la meme équiprobabilité.
Donc les trois méthodes sont une méthode de  choix au hasard.
Et si cela ne correspond pas = pas les memes probabilités,
c'est bien par manque de précision de ce que signifierait un seul vrai hasard de choix équiprobable de corde.

Et d'une premiere lecture j'avais ressenti une préférence pour une méthode,
à la relecture c'est clair et net, il ne choisit aucune des 3 méthodes
je vais mettre les passages cet après-midi.

Donc en ce qui me concerne, je reste sur pas de vérité d'un choix d'une méthode.
Pour autant je reste sur une mise en garde de ce que fait la méthode 3 de choix de milieu de corde,
dans le sens où dans des situations proches c'est vraiment casse-gueule de prendre le problème avec cette approche,
ça je n'en démords pas.

Bonjour,

GBZM a écrit:Tiens beagle, je te propose une petite histoire, variante de l'histoire des fétus de paille que l'on peut lire chez Harthong :
On trace au sol un cercle de 10cm de rayon. On lance des fétus de paille (avec trou au plafond, ventilateur et tout le tralala) normalisés qui font tous 30cm de long. On ne s'em...de pas avec les fétus qui ne coupent pas le cercle en deux points en cherchant à les prolonger pour matérialiser une corde et la mesurer : on ne garde que les fétus qui ont bien deux points d'intersection avec le cercle et sur lesquels on peut bien mesurer la corde qui joint ces deux points. (Je rappelle que Harthong jette aussi des fétus : ceux tels que la droite qui prolonge le fétu ne rencontre pas le cercle - tu parles du bazar de prolonger les fétus pour voir si oui ou non on les garde ; mon procédé est beaucoup plus simple !
Quelle est alors la probabilité que cette corde soit plus longue que le côté d'un triangle équlatéral inscrit dans le cercle ?

Le problème de ce tirage c'est qu'il n'est absolument pas uniforme en la taille des fêtus de paille, en effet si on prend des fêtus de paille de 40 cm, cela change la  proba.

Alors que dans le cas d'Hartong, on peut changer la taille des fêtus cela ne change pas la proba, donc on a uniformité en la taille des fêtus, ce qui n'est pas le cas avec l'expérience proposé ici.

PS : d'ailleur si on prend des tailles de fêtus de plus en plus grand alors on se rapproche de la proba de Harthong...


Bonne journée.

Bon dimanche,
Permettez-moi de déterrer ce fil pour poser une question. Je m'adresse à Dattier : pouvez-vous donner une démonstration de l'affirmation que vous faites ici :

Dattier a écrit:Pour enfoncer le clou.
Imagine que l'on veut tirer uniformément un point dans un disque.
Un point est caractérisé par l'intersection de 2 droites non paralléles.
On pourrait faire du Bertrand et dire que pour choisir un point uniformément je peux aussi tirer uniformément 2 doites et prendre le point d'intersection.
Or si on fait cela on n'a pas la même distribution que la distribution uniforme classique, est-ce que cela serait dû comme le pense Bertrand au fait qu'on ne peut pas choisir, ou que si il y a bel et bien un choix possible*...
* : il y a toujours un choix possible.

Il me semble, à première vue, que l'on obtient au contraire la distribution uniforme des points dans le disque. La raison : étant donné deux petits disques de même rayon à l'intérieur du grand, il y a une isométrie du plan qui envoie le premier exactement sur le second. Or la mesure que l'on prend sur l'espace des droites du plan est invariante par isométrie. La mesure (pour la mesure produit) de l'ensemble des couples de droites  dont l'intersection est dans le premier petit disque est donc égale à la mesure de l'ensemble des couples de droites  dont l'intersection est dans le second.
Qu'en pensez vous ?

Bonjour,

Bienvenue Hum ( = GBZM ?)

Possible que mon exemple soit mal choisi, pour prendre un exemple plus concensuel (je l'espère).

Pour tirer un point uniformément sur un parallélogramme du plan, on peut faire tirer les coordonées (X,Y) avec X et Y indépendant et suivant une loi uniforme sur [0,1], ou en changeant de repère (X+Y,X), donc le tirage uniforme, de point, est mal définie car il dépend du repère choisis.


Bonne journée.

Merci de votre réponse.
Je comprends que vous trouvez mon argument correct et que la répartition obtenue des points est bien uniforme dans le disque.
Pour la nouvelle situation que vous proposez, ce que vous écrivez n'est pas très clair. Pourriez-vous préciser ?

HumHumHum a écrit:

Dattier a écrit:Pour enfoncer le clou.
Imagine que l'on veut tirer uniformément un point dans un disque.
Un point est caractérisé par l'intersection de 2 droites non paralléles.
On pourrait faire du Bertrand et dire que pour choisir un point uniformément je peux aussi tirer uniformément 2 doites et prendre le point d'intersection.
Or si on fait cela on n'a pas la même distribution que la distribution uniforme classique, est-ce que cela serait dû comme le pense Bertrand au fait qu'on ne peut pas choisir, ou que si il y a bel et bien un choix possible*...
* : il y a toujours un choix possible.

Il me semble, à première vue, que l'on obtient au contraire la distribution uniforme des points dans le disque. La raison : étant donné deux petits disques de même rayon à l'intérieur du grand, il y a une isométrie du plan qui envoie le premier exactement sur le second. Or la mesure que l'on prend sur l'espace des droites du plan est invariante par isométrie. La mesure (pour la mesure produit) de l'ensemble des couples de droites  dont l'intersection est dans le premier petit disque est donc égale à la mesure de l'ensemble des couples de droites  dont l'intersection est dans le second.
Qu'en pensez vous ?

Non, si c'était le cas il existerait un tirage uniforme de point sur le plan entier.

En effet, pour tout point du plan on peut trouver 2 droites dans le disque qui se coupent en ce point...

Qu'en penses-tu ?

Pour fixer les choses, le disque sur lequel on tire les droites est strictement inclus dans le disque, sur lequel on tire nos points.

Vous vous fourvoyez. Je pensais que vous aviez compris, mais je vois qu'il faut que j'explique plus en détail.
On a donc une mesure sur l'espace de toutes les droites du plan, qui est invariante par déplacement dans le plan. On fabrique la mesure produit sur l'ensemble des couples de droites du plan. On prend le sous-ensemble W des couples de droites se coupant dans le disque donné  D. L'ensemble W est de mesure finie, et on peut normaliser pour faire de W avec cette mesure un espace de probabilité. On considère alors la surjection W --> D qui à un couple de droites de W associe leur intersection. L'argument que j'ai donné dans mon premier message montre que la distribution induite sur D est la distribution uniforme  (deux petits disques de même rayon contenus dans D ont même mesure de probabilité).

Je renouvelle ma question :
Pour la nouvelle situation que vous proposez, ce que vous écrivez n'est pas très clair. Pourriez-vous préciser ?
Merci d'y répondre !

HumHumHum a écrit:1) Vous vous fourvoyez...

2) Je renouvelle ma question :
Pour la nouvelle situation que vous proposez, ce que vous écrivez n'est pas très clair. Pourriez-vous préciser ?
Merci d'y répondre !

1) et 2) sont contradictoire, en effet comment peux-tu voir une erreur (1) dans un commentaire qui te semble pas clair (2).


Ok, procédons par étape :

a) Es-tu d'accord avec : "il n'existe pas de tirage uniforme de points sur tout le plan." ?

b) Es-tu d'accord, que si on a un disque D sur le plan alors tout point du plan peut-être obtenu comme l'intersection de 2 droites passant par l'intérieur du disque D ?

Si même mes questions (a et b) ne sont pas claires pour toi, je te propose d'en rester là. (je n'ai ni la force, ni l'envie de me justifier plus que je ne le fais déjà).

Hum Hum Hum,
1) Vous vous fourvoyez sur la contestation du fait que quand on tire uniformément deux droites qui se coupent dans un disque D, alors la répartition de ces points d'intersection dans le disque est uniforme. Je vous rappelle que c'est bien ce dont il s'agit, vous l'avez formulé vous-même : "on veut tirer uniformément un point dans un disque". Je vous en ai fait la démonstration, et vos objections sont donc sans valeur.
Il n'existe pas de tirage uniforme de droite dans un plan, ça n'empêche pas d'avoir une distribution uniforme des droites coupant un disque D donné. Il n'existe pas de tirage uniforme de couple de droites dans le plan, ça n'empêche pas d'avoir une distribution uniforme des couples de droites s'inersectant dans D et comme je l'ai montré ceci induit bien une distribution uniforme des points dans D.

2) Si je demande des éclaircissements, c'est au sujet de

Pour tirer un point uniformément sur un parallélogramme du plan, on peut faire tirer les coordonées (X,Y) avec X et Y indépendant et suivant une loi uniforme sur [0,1], ou en changeant de repère (X+Y,X), donc le tirage uniforme, de point, est mal définie car il dépend du repère choisis.

Si vous ne pouvez pas donner un sens précis à ce que vous avez écrit, tant pis.

Bonsoir,

Je viens de construire un nouveau concept celui de tirage uniformisant de convexes compacts (segment corde ou autre)...

Un tirage de convexe X est uniformisant, si pour toute droite D, milieu(D n X) qui est le milieu de l' intervalle D n X (intersection de D avec le convexe tiré X), donne un tirage uniforme sur D, que l'on peut identifier à la droite réelle.

Ainsi seul le cas 2 dans le paradoxe de Bertrand est uniformisant.


Bonne soirée.