A propos de la loi de Cauchy_2

Bonjour,
Il y a eu de nombreux échanges à propos de la loi de Cauchy.
J'ouvre un nouveau fil pour essayer de clarifier les choses de la manière la plus raisonnable possible.
J'ai refait des simulations avec un intervalle de +/- pi/2 * 0.95.
"La loi de Cauchy est connue pour ne pas avoir d'espérance, ni de variance."
C'est ce qu'on enseigne aux étudiants. C'est bien, mais on sait bien que les élèves retiennent plus facilement les contre-exemples que les notions vraies.
Pour être utilisée dans le monde réel il faut exclure de valeurs infinies. J'ai fait mes simulations en conséquence, d'où le coefficient 0.95.
Jacques Harthong dit dans son livre "Probabilités et statistiques" que une statistique suivant la loi de Cauchy converge au même titre que la loi normale, mais un peu moins vite.
Le TCL dit que toute expérience de même loi converge vers la loi normale.
Ma simulation consiste à établir 1000 fois une simulation de loi de Cauchy avec 300 impacts lumineux, et de garder la moyenne arithmétique.
Le premier histogramme concerne l'une des 300 simulations, le second concerne la liste des 1000 moyennes. On constate que la répartition des écarts à la moyenne est bien normale comme le dit le TCL.    

Code:

Une courbe de Cauchy 0.95
Nombre = 100  Moyenne = -3.15  emq=25.11  ep=16.74
Médiane = -1.35 Min = -71.88  Max 91.90
    Rapport EMQ/EMA = 1.45  théorique 1.25
Classe 1  nb=   1  1.00%     théorique 0.35%    |H
Classe 2  nb=   2  2.00%     théorique    2%    |HH
Classe 3  nb=   7  7.00%     théorique    7%    |HHHHHHH
Classe 4  nb=  10  10.00%     théorique   16%    |HHHHHHHHHH
Classe 5  nb=  26  26.00%     théorique   25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 6  nb=  38  38.00%     théorique   25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 7  nb=  10  10.00%     théorique   16%    |HHHHHHHHHH
Classe 8  nb=   3  3.00%     théorique    7%    |HHH
Classe 9  nb=   1  1.00%     théorique    2%    |H
Classe 10 nb=   2  2.00%     théorique 0.35%    |HH


1000 moyennes de Cauchy pi/2 * 0.95
Nombre = 1000  Moyenne = -1.35  emq=1.62  ep=1.08
Médiane = -1.34 Min = -6.54  Max 3.71
    Rapport EMQ/EMA = 1.25  théorique 1.25
Classe 1  nb=   2  0.20%     théorique 0.35%    |H
Classe 2  nb=  17  1.70%     théorique    2%    |HH
Classe 3  nb=  67  6.70%     théorique    7%    |HHHHHHH
Classe 4  nb= 187  18.70%     théorique   16%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 5  nb= 227  22.70%     théorique   25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 6  nb= 243  24.30%     théorique   25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 7  nb= 164  16.40%     théorique   16%    |HHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 8  nb=  71  7.10%     théorique    7%    |HHHHHHHH
Classe 9  nb=  19  1.90%     théorique    2%    |HH
Classe 10 nb=   3  0.30%     théorique 0.35%    |H


Bonjour,
Clarifions encore plus : vous vous obstinez à faire vos simulations avec une loi de Cauchy tronquée : ici, vous l'avez tronquée à 12.7. Toute loi tronquée, dont l'ensemble des valeurs est borné, aura une espérance et une variance finie et sera donc dans le domaine d'attraction de la loi normale.
VOUS NE FAITES PAS UNE SIMULATION AVEC LA LOI DE CAUCHY.

Jacques Harthong dit dans son livre "Probabilités et statistiques" que une statistique suivant la loi de Cauchy converge au même titre que la loi normale, mais un peu moins vite.

Jacques Harthong parle de la loi de Cauchy de la page 227 à la page 230. Dites-nous à quelle page et à quelle ligne il écrit cela.

Si la loi de Cauchy est une loi de probabilité alors les valeurs très grandes positives ou négatives sont à exclure.
Si on veut faire des expériences avec une fonction telle que tangente, alors on n'est pas dans le contexte de probabilité.

L'ensemble des valeurs d'une variable suivant la loi de Gauss est aussi infini. Vous tronquez aussi pour la loi de Gauss ?
Faites toutes les simulations que vous voulez avec une loi de Cauchy tronquée, mais ne prétendez pas que c'est une simulation faite avec la loi de Cauchy.

La seule chose que je prétends est que toute expérience aléatoire répétitive dans le monde réel observable converge vers la loi normale.

Ce fil a pour titre "À propos de la loi de Cauchy".
Le fait scientifique à propos de la loi de Cauchy est
La moyenne de n variables aléatoires indépendantes distribuées selon de la loi de Cauchy standard est distribuée selon la loi de Cauchy standard.
C'est un théorème dont la démonstration a été donnée plusieurs fois sur ce forum. On peut voir cet énoncé ici, ici ou là, entre autres.
Ce fait scientifique peut être vérifié par l'observation des résultats réels d'une simulation non tronquée. Cela a déjà été fait plusieurs fois sur ce forum.

Oui, si vous voulez, de toute façon on ne pourra jamais le vérifier.
Et alors, quelle conclusion en tirez-vous ?

de toute façon on ne pourra jamais le vérifier.

On peut très bien le vérifier expérimentalement, et ça a déjà été fait sur ce forum.
Vous-même pourriez le vérifier, si vous ne vous amusiez pas à tronquer artificiellement la loi de Cauchy.

Disons qu'avec un ordinateur ordinaire on ne peut pas le vérifier à cause du dépassement de capacité.
Dans le monde réel observable, on ne peut pas le vérifier et d'ailleurs, ça n'aurait aucun intérêt.
Donc je repose la question : quelle conclusion en tirez-vous ?

Disons qu'avec un ordinateur ordinaire on ne peut pas le vérifier à cause du dépassement de capacité.

C'est faux. J'ai un ordinateur tout à fait ordinaire, un logiciel tout à fait ordinaire, et il n'y a aucun problème pour faire des simulations avec la loi de Cauchy.
Maintenant, je vois une raison possible pour que vous ayez des problèmes. Ça tient à votre façon de tirer un nombre au hasard entre -π/2 et π/2. Je reprends un morceau de votre code pour expliquer cela.

Code:

    {
      int r=rand()%100;
      float A= (float)r/100. * (B2 - B1) +B1;
      float D=tan(A) * 10;
      Impact[k]=D;
      MoyB += D;
    }

Que faites-vous ? Vous tirez un entier entre 0 et RAND_MAX (32767 sur votre implémentation, si je ne m'abuse). Ensuite, vous prenez son reste r dans la division euclidienne par 100, ce qui vous donne un entier entre 0 et 99.
Déjà, premier petit défaut : ces entiers ne sont pas exactement équiprobables, puisque les entiers jusqu'à 67 ont 1,001 % de chances de sortir tandis que ceux de 68 à 99 ont 0,998 % de chance de sortir. Ici ça ne joue pas vraiment, mais dans d'autres situations ça peut être embêtant.
Ensuite, vous calculez la tangente de A = r/100 * (B2 - B1) + B1, où B1 et B2 sont les bornes que vous devriez prendre égales à -M_PI_2 et M_PI_2 respectivement si vous ne voulez pas tronquer arbitrairement la loi de Cauchy. À peu près une fois sur cent en moyenne, A est donc égal à -π/2 et donc ça va coincer pour sa tangente. Si vous faites ça trois cent fois, ça va coincer presque tout le temps !
Quel est le remède ? Il est bien simple, et je me souviens que vous-même l'avez utilisé dans d'autre simulations. C'est de prendre  t = (float)rand() / RAND_MAX et de calculer la tangente de  A =  t * (B2 - B1) + B1. Ce coup-ci vous avez 32768 possibilités pour A, uniformémemnt réparties, et donc uniquement deux chances sur 32768 de vous retrouver avec A = ± π/2. C'est beaucoup plus confortable, n'est-ce pas ? Je vous conseille donc vivement de faire cette modification dans votre simulation.

Bonne nuit

Oui, j'avoue que mon calcul avait une erreur.
Vous faites une diversion, c'est très caractéristique.
Je vous pose la question : quelle conclusion en tirez-vous ?
Il y a un principe général accepté par tout le monde : quand on persiste à écrire des messages avec des diversions, cela cache un but précis.
Donc, je vous demande le but que vous poursuivez.
Cette demande exige une réponse et une explication claire.

Bon Dimancher Dlzlogic,

Où voyez-vous une diversion ? Votre fil concerne la loi de Cauchy, je parle de la loi de Cauchy.

Que devrais-je conclure du fait que les moyennes de variables de Cauchy standard sont distribuées suivant la loi de Cauchy standard ? Certainement pas que la théorie des probabilités c'est du pipeau, comme vous voudriez me le faire dire. Bien au contraire puisque c'est un théorème bien établi de la théorie des probabilités, facilement vérifiable par une simulation.. Il serait stupide de le mettre en doute.
Quel intérêt alors possède ce résultat ? Pour moi, déformation professionnelle oblige, avant tout un intérêt mathématique, surtout quand on le replace dans le cadre de l'étude des lois stables faite par Paul Lévy. À ce sujet, avez-vous regardé le lil "Gauss, Cauchy et Lévy" que j'ai initié ?
Pour la pratique des géomètres-topographes, ce résultat présente sans doute un intérêt très réduit.
Pour la spectroscopie où la distribution de Cauchy intervient dans la forme des raies spectrales, je suis trop ignorant dans ce domaine pour dire quelque chose de pertinent.
Dans le cas des modèles pour la finance, je conçois qu'il puisse être intéressant de considérer un modèle où la moyennisation n'estompe pas le caractère aléatoire.

Voila brièvement ce que je peux en dire. Puis-je me permettre de vous retourner la question : vous, quelle conclusion en tirez-vous ?

Moi, je ne tire aucune conclusion.
Je ferme le sujet.