L'aiguille de Buffon

Ce message pour corriger des inexactitudes dans le fil qui a été fermé par Dlzlogic.

Dlzlogic a écrit:Les probabilités selon Gauss et ses copains, c'est exactement ça : tout est basé sur l'expérience réalisée et l'observation du résultat. L'expérience de base qui date d'avant l'informatique est connue sous le nom du problème de l'aiguille de Buffon. Je crois que c'est la première vérification historiquement connue (mais je n'ai pas la date).

Dlzlogic devrait lire le texte de Buffon que j'ai mis en lien :
http://revue.sesamath.net/IMG/pdf/Buffon_Le_franc-carreau_et_l_aiguille.pdf
Ça lui éviterait (peut-être) de raconter n'importe quoi. Il n'y a aucune expérience réalisée ni observation de résultat dans le mémoire de Buffon. La seule expérience est une expérience de pensée.

Dlzlogic a écrit:C'est un problème géométriquement assez difficile, mais justement il n'y a aucune loi qui permette de le classifier. On peut donc être sur qu'il n'y a que le hasard qui est la variable dont dépend le résultat. Le comptage est donc parfaitement aléatoire.

Le problème géométrique n'est pas très compliqué. Et derrière le calcul fait par Buffon, il y a bien une loi de répartition : Buffon suppose (ce qui est raisonnable) que le milieu de l'aiguille est uniformément distribué dans la latte de parquet, et que l'angle que fait l'aiguille avec les jointures est uniformément distribué entre 0 et 90°. Il n'y a pas de comptage, il y a un calcul qui fait intervenir une intégrale. Après coup, il y a eu des confirmations expérimentales des calculs de Buffon. Mais les calculs mathématiques viennenet en premier.

Dlzlogic a écrit:Pour mémoire, je rappelle qu'il n'y a aucune relation avec la code de Bertrand.

L'aiguille de Buffon est un (le premier ?) problème de probabilité géométrique. La corde de Bertrand est aussi un problème de probabilité géométrique, il y a donc une parenté entre les deux. Dans les deux cas, on mène les calculs en supposant une distribution uniforme. Dans le cas de l'aiguille de Buffon, il n'y a pas d'hésitation pour savoir ce qui est distribué uniformément. Par contre, pour la corde de Bertrand, cela pose problème. Est-ce le milieu de la corde qui est distribué uniformément dans le disque (comme le milieu de l'aiguille est distribué uniformément dans la latte de parquet) ? Est-ce la droite support de la corde qui est distribuée uniformément dans l'ensemble des droites coupant le cercle ? Sont-ce les extrémités de la corde qui sont distribuées uniformément sur le cercle ? C'est la question du fameux "paradoxe".

D'abord merci à Humx3 d'avoir ouvert un fil sur ce sujet, je m’apprêtais justement à le faire.
Mon introduction aurait plutôt été "j'ai étonné d'une réponse de Beagle : "où est-il question de probabilités ?" et ce qui m'a semblé être l'ignorance de la part de Humx3 de ce problème de l'aiguille (dite de Buffon). Concernant la référence à Buffon, je ne la connaissais pas, je l'ai apprise lors de lectures de forum. Donc je retire cette référence, en fait je n'ai aucune idée de ses origines et je ne connais pas les travaux de Buffon.
Le problème de cette aiguille est très simple : on imagine un système compliqué, ni contrôlable et on fait l'expérience.
D'une part, on peut résoudre le problème mathématiquement, comme certains l'on fait et comme Levallois l'a décrit. Si on admet que les divers évènement, position de lames de parquet et position de l'aiguille qui tombe, ne dépendent que de l'aléatoire et que une telle situation conduit à la moyenne, calculable par ailleurs, alors on a vérifié que le moyenne arithmétique est le résultat le plus probable d'une expérience. Je ne rentrerai pas plus dans le détail, tout est dans le cours de Levallois.  

Concernant la relation avec la corde de Bertrand,  Comme le hasard est unique, la solution au problème de Bertrand est unique, comme l'a démontré J. Harthong.

Je reviens à la réaction de Beagle : "où est-il question de probabilité ?". En fait cette expérience de l'aiguille est une vérification incontestable de la base fondamentale de la théorie des probabilités. L'expérience avec le jeu à pile ou face en est expérience tout aussi incontestable. Les moyens informatiques actuels permettent des simulations d'un nombre aussi important qu'on veut.
La théorie de base des probabilités dit que la moyenne résultant dune expérience aléatoire tend vers la probabilité. On sait que la probabilité à pile o face est de 50-50, on le vérifie facilement.
On peut aussi vérifier, avec un simple tirages à pile ou face (un grand nombre) que la loi normale est un loi de base, vérifiée et démontrée.
Tout ceci est très important.

Bonsoir,
Pour mémoire, je tiens à préciser un détail important : je n'ai fermé le fil concernant la dualité de la notion de théorie des probabilités, pour la seule raison qu'il y avait déjà 5 pages, donc difficile de s'y retrouver et que plusieurs points différents y étaient évoqués.
Loin de moi l'idée de clore cette discussion.
Je rajoute par ailleurs que plusieurs questions y étaient posées et j'aimerais bien que les membres concernés par ces sujets aient un ambrions de réponse.
Bonne nuit.

"Mon introduction aurait plutôt été "j'ai étonné d'une réponse de Beagle : "où est-il question de probabilités ?""

On discute de ce qu'est une proba, des difficultés entre fonctions et valeur prise par la fonction dans les variables aléatoires.
Et tu réponds ceci:

"Bonjour Beagle,
Comme tu le demandes, je vais détailler.
Restons-en à l'exemple simple et élémentaire : le tirage à pile ou face.
Prenons d'abord, une pièce équilibrée. Il me semble que l'on est dans un contexte de loi uniforme. Si je me trompe, qu'on me le dise gentiment et qu'on me dise quel est le nom de cette loi.
On fait un grand nombre de tirages et on observe que le nombre de pile et de face est proche. Ca, il me semble que c'est clair pour tout le monde.
Maintenant, j'ajoute que le résultat de ce tirage respecte la loi normale. J'ai cru comprendre que Humx3 le sais et je loi ai demandé comment on pouvait faire pour le vérifier. Pas de réponse.
En fait dans le monde réel, une pièce n'est jamais "parfaitement" équilibrée. Les termes employés dans l'expérience théorique, c'est à dire avec une pièce parfaitement équilibrée, sont-il toujours les mêmes ?
Maintenant, on prend une pièce non équilibrée, par exemple p=45% et (1-p) = 55%. Même question que pour une pièce du monde réel ?"

oui, a aucun moment tu nous parles de probabilité .
Je ne vois dans ce texte aucune proba précisée.
Le minimum syndical est dire la proba de quoi .
Ton texte c'est j'ai un jeu de carte.
La probabilité suit la loi normale.
Cela n'a aucun sens.

D'accord pour dire que les réponses de Dlzlogic sont d'un grand flou  ... et quand le flou se dissipe, se révèle bien souvent un tissu d'erreurs.

Dlzlogic a écrit:Concernant la relation avec la corde de Bertrand,  Comme le hasard est unique, la solution au problème de Bertrand est unique, comme l'a démontré J. Harthong.

J. Harthong parle d'une expérience de pensée (avec les fétus de paille) qui revient à choisir une distribution uniforme sur l'ensemble des droites qui coupent le cercle. Mais, comme l'écrit J. Harthong, d'autres expériences peuvent faire agir le "hasard pur" à un autre niveau, et la solution dépend de là où on met la distribution uniforme, suivant tel ou tel protocole expérimental. Cela, Dlzlogic ne l'a toujours pas compris et ne le comprendra sans doute jamais.

Mais revenons à l'aiguille de Buffon, pour passer à la "nouille de Buffon" (en anglais c'est nettement plus marrant, on passe de "Buffon's needle" à "Buffon's noodle"). Au lieu d'une aiguille, on jette sur le plancher un spaghetti cuit, qui dessine une courbe de forme biscornue. Combien est-ce que ce spaghetti a en moyenne d'intersections avec les rainures parallèles du parquet ? L'expérience de pensée qui consiste à découper le spaghetti en une myriade de morceaux montre que ce nombre moyen d'intersections ne dépend nullement de la forme de la courbe, mais juste de sa longueur : il est en fait proportionnel à sa longueur. Comment trouver le coefficient de proportionnalité ? Appelons l la longueur du spaghetti et a la largeur d'une lame de parquet. On donne alors au spaghetti la forme d'un cercle parfait, de diamètre d = l/π. Un petit moment de réflexion montre que que le nombre moyen d'intesections du cercle lancé au hasard avec les rainures est 2*d/a = 2*l/(a*π). Le coefficient de proportionalité est 2/(a*π)
Si on revient à une aiguille de longueur l < a, qui ne peut donc avoir que 0 ou 1 intersection avec les rainures, on en déduit que la probabilité qu'elle coupe une rainure est 2*l/(a*π). En particulier, si l'aiguille est de longueur moitié de la largeur d'une latte de parquet, la probabilité est 1/π. Tout ceci sans aucun calcul pénible. Chouette, non ?

Bonjour Beagle,
D'abord, j'avoue un point, je n'étais plus sûr de façon précise de ce que devait être le développement, mais que tu ne comprennes pas que je ne parle que de probabilités, là j'ai pris conscience que depuis 20 ans, quand tu lis ce que j'écris tu SAIS A PRIORI que j'ai tort. Je n'ai même jamais eu le bénéfice du doute. Là je suis déçu.
Au début, tu jouais plutôt à la "mouche du coche", c'était un peu énervant. Mais maintenant quand je constate que tu n'as rien compris du tout, là c'est dommage.

"quand tu lis ce que j'écris tu SAIS A PRIORI que j'ai tort."

ben c'est pas binaire.
Il y a quantité de fois où tu as raison, et tu penses ètre en opposition avec les matheux, alors que ce sont des données
bien connues et acceptées des matheux.
Donc toute ton importance sur la loi normale est juste, c'est vraiment La loi de proba,
et on peut la retrouver partout . Encore faudrait-il que tu dises de quelle proba tu parles.

dans ton message il n' y a aucune proba. on sait qu'il ya une pièce,
équilibrée donc proba 1/2 face ou pile, et ensuite tu ne parles de rien, aucune proba recherchée .
Si c'est pour retrouver le théorème central limite, ben ok mais bon commence à dire de quoi tu parles,
et ensuite cela ne sera pas vraiment une surprise.

@ Humx3,
Dans le problème de l'aiguille, il y a deux choses :
1- le problème de calcul numérique de la probabilité en fonction des variables (largeur de lame de parquet et longueur de l'aiguille). Les anglais ont imaginé un spaghetti cuit ou pas selon les versions, en France on a plutôt imaginé un cheveu que l'on coupe en 3 et que l'on jette sur du papier quadrillé. Que le calcul soit facile ou pas le protocole est "compliqué" en tout cas plus que un simple lancé de pièce.
2- la notion fondamentale de la théorie des probabilités : si on fait cette expérience, quelle que soit la méthode choisie, et que l'on fait suffisamment d'essais, le résultat, c'est à dire le comptage des réussites, est conforme à la probabilité calculée. En bon français, cela signifie que malgré l'imagination débordante des matheux, qu'ils soient anglais ou pas, les aiguilles ou les spaghettis ou les cheveux ne se sont pas trompés.

On peut imaginer qu'une pièce de monnaie se souvienne qu'elle a un côté pile et un côté face et qu'elle doit, selon toute logique, tomber de façon équitable sur l'un ou l'autre côté. Mais, avec un scénario comme le problème de l'aiguille, c'est beaucoup plus difficile à imagier.

Cette vérification a été faite. Levallois en parle dans son cours.
Par ailleurs, il existe une machine qui simule des lames de parquet par un tapis roulant et les aiguilles par un petite pièce métallique, maintenue par un aiment et qui tombe sur les lames. Un compteur électrique comptabilise les succès, on peut donc réaliser la simulation autant que l'on veut.

S'il en était besoin, ceci est une preuve de la validité de la théorie des probabilité, telle qu'elle est connue et utilisée par les professionnels et pas par certains matheux.

@ Beagle,
"on sait qu'il ya une pièce,
équilibrée donc proba 1/2 face ou pile,"
Ca ne veut rien dire. Par contre, on peut dire "une pièce a 2 faces, elle est équilibrée." Puis "si on lance cette pièce un grand nombre de fois, alors la probabilité des piles est 50%".

" Puis "si on lance cette pièce un grand nombre de fois, alors la probabilité des piles est 50%".

si on lance la pièce 10 fois la probabilité de pile est supérieure ou inférieure à 50% ?

La probabilité du score est toujours 50% pour une pièce équilibrée, que ce soit 10 lancés ou 1000 lancés.

la notion fondamentale de la théorie des probabilités : si on fait cette expérience, quelle que soit la méthode choisie, et que l'on fait suffisamment d'essais, le résultat, c'est à dire le comptage des réussites, est conforme à la probabilité calculée.

Oui, l'exemple de l'aiguille de Buffon montre que les matheux savent très bien, grâce à la théorie mathématique des probabilités qu'ils ont élaborée au cours des siècles jusqu'à nos jours, calculer des probabilités en faisant des hypothèses de modélisation raisonnables, et que l'expérience vient ensuite valider les résultats obtenus. Ceci montre l'efficacité de la théorie des probabilités, qui est une partie des mathématiques. C'est cette efficacité qui fait qu'elle peut rendre service aux professionnels dans différents domaines. Il n'y a qu'une théorie des probabilités, élaborée par les matheux et avec des applications dans différents domaines.

Bon, on avance.
Tant qu'on y est, je reviens à la vérification de la loi normale avec des lancés d'une pièce équilibrée.
Quelle méthode proposeriez-vous ?

Vous voulez parler de la vérification du théorème central limite ?
Il me semble qu'on avait déjà une assez bonne vérification avec la distribution du nombre de noyaux de carbone-14 survivants parmi 1000 au bout d'un nombre donné d'années, n'est-ce pas ?
Pour le nombre de piles sur 1000 tirages à pile ou face, ça ne sera pas différent de l'histogramme du milieu.

Mais ceci nous éloigne de l'aiguille de Buffon et des probabilités géométriques.
Petite question de probabilités géométriques : quelle est la distance moyenne de deux points tirés au hasard dans un disque de rayon 1 ?

Je parlais d'une vérification du TCL à partir de tirages à pile ou face.
J'ai déjà proposé une méthode qui n'a pas intéressé grand-monde. Quelle serait la vôtre ?
Concernant la distance entre deux points à l'intérieur d'un disque, c'est un problème de calcul. Il faudrait préciser le contexte pour pouvoir le résoudre efficacement.

Bonsoir,
Quelle différence faites vous entre le tirage à pile ou face (1 chance sur 2 de tirer pile) et la survie d'un noyau de carbone-14 au bout de 5730 ans (1 chance sur 2 de survivre) ?

Il faudrait préciser le contexte

Ah bon ? Il n'y a pas un seul hasard ? Les deux points sont tirés au hasard dans le disque, on vous dit. Ça devrait vous suffire, non ? Et effectivement, ça suffit  : les deux points sont choisis indépendamment, chacun selon une distribution uniforme dans le disque.

Humx3 a écrit:Quelle différence faites vous entre le tirage à pile ou face (1 chance sur 2 de tirer pile) et la survie d'un noyau de carbone-14 au bout de 5730 ans (1 chance sur 2 de survivre) ?

Il y a une différence vachement importante.
Dans le tirage à pile ou face ce que vous nommez "une chance sur deux" concerne un tirage isolé.
Dans le contexte C-14, un atome isolé a effectivement une chance sur deux de vivre plus longtemps que la durée de demi-vie, s'il a cette chance il lui reste une chance sur deux de vivre encore une demi vie, jusqu'à l'infini, s'il a beaucoup de chance.
Avec une pièce, il y a une chance sur eux qu'elle fasse pile, si on continue le jeu, elle a encore une chance sur deux de faire encore pile etc. Contrairement à l'atome de C-14, s'il n'a pas eu la chance de dépasser sa durée de demi-vie, c'est fini pour lui.
Les probabilités ne s'intéressent pas à ce qui peut arriver à un atome, ou à la face d'une pièce sur un coup mais à une expérience qui comporte de nombreuses épreuves.
Dans vos simulations avec le C-14, vous étudiez le résultat de la durée de vie d'un grand nombre d'atomes. Vous n'avez pas fait un expérience mais une épreuve, dont le résultat est une médiane. Si vous voulez vérifier le TCL, vous devez faire une expérience qui comporte u grand nombre d'épreuves, chacune ayant pour résultat une médiane.
Dans le cas du jeu pile ou face, chaque jet constitue une épreuve, le résultat étant P ou F. La moyenne, il est vrai très proche de la médiane, tend vers la probabilité qui est, on le sait, exactement 50%.
Là, on a réalisé une expérience. Le TCL dit que la répartition de cette expérience (ou un autre énoncé du théorème) tend vers la loi normale.
Ce que je vous demande, c'est de trouver une vérification de l'application du TCL : une expérience avec pile ou face qui converge vers la loi normale.

Humx3 a écrit:Ah bon ? Il n'y a pas un seul hasard ? Les deux points sont tirés au hasard dans le disque, on vous dit.

Il n'y a pas plusieurs hasards mais plusieurs façons d'agir.
Quelques exemples, les points sont ceux obtenus par calque sur le cercle d'un graphiques contenant des points, ou les point d'impact d'un flèche de tir à l'arc, ou la position de petits cailloux dans un tamis de chercheur d'or ou je ne sais quoi d'autre.
Vous semblez avoir oublié, ou tout simplement vous ignorer que le théorie des probabilités, même si les matheux s'en sont emparée est une science du monde réel. D'ailleurs c'est à propos de ce genre de contexte que je peux affirmer, sans risque de me trompe que la théorie que vous nommez "des probabilités", n'a pas grand-chose à voir avec la théorie du même nom connue et utilisée par les professionnels.

Les probabilités ne s'intéressent pas à ce qui peut arriver à un atome, ou à la face d'une pièce sur un coup mais à une expérience qui comporte de nombreuses épreuves.

Chacune de ces épreuves, que ce soit la sortie d'un pile dans un tirage à pile ou face ou la survie d'un noyau de C-14 au bout de la demi-vie, est une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès 1/2. Et le nombre de succès dans un grand nombre d'épreuves de Bernoulli, c'est justement l'affaire du "2e théorème de Bernoulli" en fait démontré par de Moivre et Laplace : le nombre de piles en 1000 tirages comme le nombre de noyaus de C-14 survivants parmi 1000 au bout de la demi-vie ont pratiquement une distribution normale centrée en 500 et d'écart-type racine(1000) / 2 = 15.8.
Du point de vue probabiliste, l'analyse est exactement la même dans les deux cas.

Faire une simulation pour vérifier ? Je l'ai déjà faite, vous pouvez voir plus haut. C'est vaiment le b-a-ba de la simulation.

Il n'y a pas plusieurs hasards mais plusieurs façons d'agir.

C'est marrant , vous refusez d'entendre cet argument dans le cas de la corde de Bertrand, où il y a effectivement plusieurs niveaux où le "pur hasard" peut agir, comme expliqué par Harthong. Je rappelle : distribution uniforme des milieux de la corde, ou distribution uniforme des droites support, ou distribution uniforme des extrémités. Et vous le ressortez ici alors qu'il n'y a aucune ambiguïté : il y a distribution uniforme de chacun des points dans le disque, c'est clair et sans discussion.

la théorie que vous nommez "des probabilités", n'a pas grand-chose à voir avec la théorie du même nom connue et utilisée par les professionnels.

La théorie des probabilités, branche des mathématiques utile dans d'autres sciences et dans de nombreux domaines d'application, n'a pas grand chose à voir avec vos élucubrations personnelles bien éloignées de la science et de la réalité, comme le montrent les deux exemples ci-dessus.
Êtes-vous au moins capable de tenter une simulation pour estimer la distance moyenne de deux points tirés au hasard dans un disque de rayon 1 ? Ça serait plus constructif que les phrases creuses de vos messages.

@ Humx3

Humx3 a écrit:Êtes-vous au moins capable de tenter une simulation pour estimer la distance moyenne de deux points tirés au hasard dans un disque de rayon 1 ? Ça serait plus constructif que les phrases creuses de vos messages.

Ne serait-ce que pour la politesse élémentaire, vous devriez surveiller vos paroles.
Concernant vos affirmations sur les probabilités, c'est quelque-fois très comique :

Humx3 a écrit:Chacune de ces épreuves, que ce soit la sortie d'un pile dans un tirage à pile ou face ou la survie d'un noyau de C-14 au bout de la demi-vie, est une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès 1/2. Et le nombre de succès dans un grand nombre d'épreuves de Bernoulli, c'est justement l'affaire du "2e théorème de Bernoulli" en fait démontré par de Moivre et Laplace : le nombre de piles en 1000 tirages comme le nombre de noyaus de C-14 survivants parmi 1000 au bout de la demi-vie ont pratiquement une distribution normale centrée en 500 et d'écart-type racine(1000) / 2 = 15.8.
Du point de vue probabiliste, l'analyse est exactement la même dans les deux cas.

D'abord la comparaison entre "pile ou face" et "durée de vie". Sauf le fait que dans le premier cas c'est "soit pile soit face" et que dans le second "soit actif soit mort" c'est Bernoulli qui décide, les matheux ne s'y sont pas trompés : ils ont donné des noms différents à ces deux situations et surtout deux formules de calcul.
Dans aucun des deux cas il ne s'agit ni de l'application du second théorème de Bernoulli ni du TCL, mais simplement de la loi des grands nombres.
Ces deux cas sont d'ailleurs très différents. J'ai appelé la loi exponentielle de loi de "non-probabilité", parce que les hypothèses "même chose observée" ne sont pas satisfaites. Par contre, comme on est dans le monde réel, alors une épreuve faite avec n atomes et une autre avec le même composant et le même nombre d'atomes, sont comparables et il s'agit bien de "même chose".

Bien-sûr, je ne peux pas calculer la distance moyenne entre deux points dans un cercle, puisque je ne sais pas à quoi ça correspond, faire l'expérience ou je ne sais quoi, contrairement à la corde de Bertrand ou je peux faire autant de fois l'expérience que je veux et je trouverai toujours le même résultat.

D'abord la comparaison entre "pile ou face" et "durée de vie". Sauf le fait que dans le premier cas c'est "soit pile soit face" et que dans le second "soit actif soit mort" c'est Bernoulli qui décide, les matheux ne s'y sont pas trompés : ils ont donné des noms différents à ces deux situations et surtout deux formules de calcul.

Quels noms différents ? Quelles formules de calcul différentes ?
Vous vous trompez. Dans les deux cas, tout le monde sauf vous appelle ça épreuve de Bernoulli avec probabilité de succès 1/2.

Dans aucun des deux cas il ne s'agit ni de l'application du second théorème de Bernoulli ni du TCL, mais simplement de la loi des grands nombres.

Dans les deux cas le "second théorème de Bernoulli" ou TCL s'applique quand on a un nombre n suffisamment grand d'épreuves de Bernoulli, pour dire que le nombre de succés est distribué pratiquement suivant une loi normale centrée en n/2 et d'écart-type racine(n)/2. C'est plus précis que la loi des grands nombres.
Je fais ci-dessus une affirmation précise, conséquence directe du TCL, évidente pour toute personne ayant une connaissance minimum des probas, vérifiée par les simulations.
Force est de constater que votre discours en réponse est complètement creux : vous n'avancez jamais rien de précis, vous vous bornez à déclarez que "ce n'est pas vrai" sans aucun argument sérieux.

Bien-sûr, je ne peux pas calculer la distance moyenne entre deux points dans un cercle, puisque je ne sais pas à quoi ça correspond,

Je ne vous demande pas de faire le calcul théorique de l'espérance de la distance entre deux points du disque de rayon 1 tirés au hasard. Je sais bien que ça demande des connaissances de probabilité géométrique et que c'est hors de votre portée.
Mais je m'étonne fort que vous ne sachiez pas faire cette simulation. Je pense que même un lycéen connaissant un peu de python saurait la faire.
Vous ne savez pas tirer au hasard un point dans un disque, suivant la distribution uniforme dans ce disque ? Je vous rappelle que "distribution uniforme dans le disque"  veut dire que la probabilité que le point se trouve dans une région donnée A du disque est égale au rapport de l'aire de A à l'aire totale du disque.
Je vais vous indiquer comment faire : vous tirez au hasard la coordonnée x entre -1 et 1 et la coordonnée y entre -1 et 1. Vous calculez x²+y², si c'est inférieur ou égal à 1 vous gardez le point.
Vous tirez comme ça un grand nombre de paires de points dont vous calculez la moyenne des distances. La loi des grands nombres vous dit que vous approchez comme cela l'espérance de la distance entre deux points tirés au hasard dans un disque de rayon 1 (qui vaut précisément 128 / (45 * π)).

Vrai/Faux :

a) Le nombre de piles en 1000 tirages avec une pièce équilibrée est pratiquement distribué suivant une loi normale centrée en 500 et d'écart-type 15.8
Vrai ? Faux ?

b) Le nombre de noyaux radioactifs parmi 1000 de même type qui ne se sont pas désintégrés au bout de leur demi-vie est pratiquement distribué suivant une loi normale centrée en 500 et d'écart-type 15.8
Vrai ? Faux ?

c) La distance moyenne entre deux points tirés au hasrd dans le disque de rayon 1 est 0.905.
Vrai ? Faux ?

Je pense qu'il devient très important que vous compreniez que la théorie des probabilités n'est pas une théorie abstraite, mais une modélisation rigoureuse d'évènements aléatoires. Elle est rigoureuse parce que la loi normale résulte d'une démonstration.
Cela n'a vraiment pas de sens de dire que la loi normale est plus précise que la loi des grands nombres, ce sont deux approches différentes.

Pour votre histoire de deux points dans un disque, vous précisez maintenant que la répartition est uniforme. Pourquoi ne l'avez-vous pas dit avant ?
C'est pas difficile à simuler. Quel pourrit être l'intérêt, à part s'occuper ?

a) Le nombre de piles en 1000 tirages avec une pièce équilibrée est pratiquement distribué suivant une loi normale centrée en 500 et d'écart-type 15.8
Vrai ? Faux ?

Vrai mais je vous ai demandé une simulation à titre de vérification.

b) Le nombre de noyaux radioactifs parmi 1000 de même type qui ne se sont pas désintégrés au bout de leur demi-vie est pratiquement distribué suivant une loi normale centrée en 500 et d'écart-type 15.8
Vrai ? Faux ?

Faux ils sont distribués suivant une loi exponentielle. Simulation que vous n'avez pas réussi à faire. Pour rappel, le rapport entre la moyenne et la médiane est égal à ln(2).

c) La distance moyenne entre deux points tirés au hasrd dans le disque de rayon 1 est 0.905.
Vrai ? Faux ?

Si c'est "uniformément" la question est précise, mais je n'ai fait ni calcul, ni simulation, alors je ne peux pas répondre.

Dlzlogic a écrit:Pour votre histoire de deux points dans un disque, vous précisez maintenant que la répartition est uniforme. Pourquoi ne l'avez-vous pas dit avant ?

Moi, 21h59 hier soir a écrit: Les deux points sont tirés au hasard dans le disque, on vous dit. Ça devrait vous suffire, non ? Et effectivement, ça suffit  : les deux points sont choisis indépendamment, chacun selon une distribution uniforme dans le disque.

Pourquoi ne lisez-vous pas ce que j'écris ?

Quel pourrit être l'intérêt, à part s'occuper ?

Le même intérête que l'aiguille de Buffon, en gros ; ce sont des exemples de probabilité géométrique.

Cela n'a vraiment pas de sens de dire que la loi normale est plus précise que la loi des grands nombres

Oui cela n'a pas de sens, puisque la loi normale n'est pas un théorème mais une loi de probabilité. Par contre, dire que le TCL est plus précis que la loi faible des grands nombres est tout à fait exact.