Tirage uniformisant : cas des cordes de Bertrand

Salut,

Je rappelle la définition de ce qu'est un tirage de compact uniformisant :


Un tirage de compact X est uniformisant, si pour toute droite D, max(D n X) en identifiant D à la droite réelle, quand D n X non vide,, donne un tirage uniforme sur D.


Dans le cas des cordes de Bertrand, il n'y a qu'un seul tirage parmis les 3 dont le tirage trace des cordes, sur toutes droites fixées, est uniforme.

Ainsi seul le cas 2 dans le paradoxe de Bertrand est uniformisant.

Pour les 2 autres cas il suffit de rappeller que Bertrant veut un tirage uniforme de cordes et non de milieux de cordes ou d'extrémités de cordes.


Cordialement.

Bonjour Dattier,
Vous avez déjà raconté cette histoire je ne sais combien de fois.
Votre "tirage uniformisant" revient exactement à dire que vous utilisez une distribution uniforme des droites supports des cordes.
Je rappelle qu'il y a sur l'ensemble des droites du plan euclidien une mesure standard, invariante par l'action du groupe des déplacements. Si on écrit l'équation d'une droite comme x*cos(θ) + y*sin(θ) = ρ, cette mesure est donnée par dρ dθ.
La distribution uniforme sur l'ensemble des droites coupant le cercle est la mesure de probabilité qui a une densité constante par rapport à cette mesure invariante.
Je rappelle aussi que le "hasard pur" peut intervenir par d'autres distributions uniformes : distribution uniforme des extrémités de la corde sur le cercle, distribution uniforme des milieux des cordes dans le disque.
Certes, une corde n'est pas son milieu ni la paire de ses extrémités ; mais ce n'est pas non plus sa droite support.

Dans le protocole "fétus de paille" on choisit au hasard la droite support. Dans le protocole "billes dans une roulette", on choisit au hasard les extrémités ...

HumHumHum a écrit:Certes, une corde n'est pas son milieu ni la paire de ses extrémités ; mais ce n'est pas non plus sa droite support.

Encore une fois une corde, est un segment.

Et ce que l'on regarde c'est l'intersection de ce segment avec une droite quelconque fixée, et je rappelle que même en n'étant pas paralléle un segment et une droite ne se rencontre pas forcément contrairement au cas de la droite...

Bref, il n'est pas question de droite, mais de segment dont les extrémités se trouvent sur le périmétre d'un cercle, c'est à dire de cordes du disque.

Bonjour Humx3,
On en revient toujours à ce que j'observe : l'existante de deux théories des probabilités :
1- la théorie du monde réel observable, celle qui fonctionne pour les jeux et toutes les applications du monde réel, par exemple, la statistique, toutes les mesures, bref, tout ce qui a un rapport de près ou de loin avec le monde réel observable. Cette théorie est basé sur un postulat et deux théorèmes.
2- la théorie du monde abstrait, jamais reproductible. Dans cette théorie, il a fallu inventer de nouveaux termes, tels que univers, tribus. On trouve dans cette théorie des théorèmes qui sont basés sur des situations irréalisables (réf déjà donnée). Ce qui est caractéristique est que la notion de hasard est pratiquement inexistante, en tout cas son unicité. Cette théorie procure de très nombreux exercices, par contre, il semble qu'il n'y ait aucune application dans le monde réel de cette théorie. Par exemple, c'est cette théorie qui a mené à la notion de chaos et on a vu dernièrement une très jolie vidéo où l'auteur montrait justement que le chaos n'existait pas et qu'au contraire les évènements, même exceptionnels vérifiaient la théorie du monde réel.
J'appellerais volontiers cette théorie qui doit dater des années 30, théorie des proportions ou théorie de partitions.

Dattier, vous ne voulez pas comprendre que votre définition un peu tarabiscotée de "tirage de corde uniformisant" revient à dire que la distribution des droites supports des cordes est uniforme (au sens habituel). Ça tient au fait que la mesure de l'ensemble des droites rencontrant un segment ne dépend que de la longueur du segment
Pas grave.
Vous pouvez même remplacer dans votre définition de tirage de corde "uniformisant" la droite par une courbe quelconque : l'intersection avec les cordes distribuées de façon uniforme relativement à leur droite support donnera une distribution uniforme sur la partie de la courbe située dans le disque.

Dlzlogic, votre disque est rayé, il serine toujours le même refrain.

Quelques faits remarquables sur les tirages uniformisants :

1) Les tirages classiques dit uniformes, sont aussi uniformisants.

2) On peut tirer toutes sortes de compacts voir de partie bornée (en prenant le sup) dans le plan ou autre, pour vérifier si oui ou non le tirage est uniformisant.

3) Dans le cas des cordes de Bertrand, parmis les 3 possibilités, il n'y en a qu'une seule uniformisante.

4) C'est une idée naturelle que de regarder l'uniformité ou non du tirage trace sur une droite fixée quelconque, et on peut s'attendre à ce que selon l'idée que l'on se fait de l'uniformité, qu'un tirage pour lequel on peut trouver une droite où le tirage trace ne soit pas uniforme, ne soit pas un tirage uniforme...

HumHumHum a écrit:Vous pouvez même remplacer dans votre définition de tirage de corde "uniformisant" la droite par une courbe quelconque...

Non, pas de manière générale.

Prenons le tirage de points uniformes dans le plan tel que que l'on tire uniformément les coordonées uniformément sur pour X sur [0,10] et Y sur [0,1].

Alors si on prend la courbe {(x,y)|y=0 et 0<=x<=10} u {(x,y) |x=0 et 0<=y<=1}, alors le tirage trace n'y est pas du tout uniforme, ce qui n'est pas le cas quand on prend des droites.

1) Les tirages classiques dit uniformes, sont aussi uniformisants.

Qu'est-ce que ça veut dire ? Tirage de quoi ?

3) Dans le cas des cordes de Bertrand, parmis les 3 possibilités, il n'y en a qu'une seule uniformisante.

Oui, il y en a une seule pour laquelle la distribution des droites supports est uniforme.

Prenons le tirage de points uniformes dans le plan tel que que l'on tire uniformément les coordonées uniformément sur pour X sur [0,10] et Y sur [0,1].
Alors si on prend la courbe {(x,y)|y=0 et 0<=x<=10} u {(x,y) |x=0 et 0<=y<=1}, alors le tirage trace n'y est pas du tout uniforme, ce qui n'est pas le cas quand on prend des droites.

Mais qu'est-ce que vous racontez ?
1°) Je parle du tirage des cordes.
2°) Qu'appelez vous "tirage trace" dans le cas que vous évoquez ?
Viotre définition ne fait pas sens ici car l'ensemble des points qui sont sur l'axe des x ou sur l'axe des y est de mesure nulle, quand vous tirez (x,y) uniformément dans le pavé [0,10] x [0,1][

1) Un tirage de A dans B, est un procédé qui permet de choisir des A dans l'ensemble B, peu importe ce qu'est A et l'ensemble B.
Tu remarqueras, que je n'ai pas besoin d'espace probabilisé ou qu'est-ce...

5) Le tirage trace ici, c'est la restriction du tirage de points dans [0,1]*[0,10] à la courbe {0}*[0,10] u [0,1]*{0}...

Vous blaguez ?

Dattier a écrit:1) Un tirage de A dans B, est un procédé qui permet de choisir des A dans l'ensemble B, peu importe ce qu'est A et l'ensemble B.
Tu remarqueras, que je n'ai pas besoin d'espace probabilisé ou qu'est-ce...

Je vous rappelle ma question : que veut dire "Les tirages classiques dit uniformes, sont aussi uniformisants."
Dans votre définition, vous tirez des compacts. Que veut dire tirage uniforme de compacts ?

Le tirage trace ici, c'est la restriction du tirage de points dans  [0,1]*[0,10] à la courbe {0}*[0,10] u [0,1]*{0}...

Je vous répète : ça ne fait pas sens, puisque la courbe est de mesure nulle. Quel sens donnez vous à "tirage trace".

S'il vous plait, essayez de répondre sérieusement.

Je peux te donner des exemples, mais je n'en ai pas de définitions concensuelles.

Par exemple le tirage de Buffon est un tirage uniforme de segments équilatéraux.

Cela n'a pas de sens pour toi, parce que tu bloques sur tirage comme nécéssitant une proba...blablabla... comme je te l'ai dit, ici le sens que je donne à tirage est simplement un procédé qui permet de choisir quelque chose dans autre chose.

Bonsoir Dattier,
J'admire ta persévérance.
Ton interlocuteur semble ne connaitre que la théorie des partitions. En gros, cela signifie que l'énoncé de la question posée dépend exclusivement de la décision de celui qui la pose, sans tenir compte que dans notre monde réel, on doit tenir compte justement du réel. Un énoncé qui ne tient compte que de motions abstraites ne peut avoir que des réponses dans un univers abstrait. Dans cet univers abstrait, tout peut être aussi vrai que faux, seul l'auteur de la question peut en décider.
Toi, tu as compris les fondements de la théorie des probabilités, pas ton interlocuteur.
Le critère incontournable : ton interlocuteur est incapable de produire un exemple d'application de cette théorie des partitions qui est enseignée.

@Dlzlogic : GBZM a dut mal à comprendre à cause du fait qu'il est matheux, il a besoin d'un cadre théorique prédéfinit, alors que pour moi le cadre théorique vient à la fin, c'est juste pour me faire comprendre des matheux.

Le pauvre doit avoir l'impression que je me fous de lui, alors que pas du tout, c'est juste qu'il n'a pas l'habitude de la gymnastique intellectuelle que demande de manipuler des concepts non, encore, formellement définit.

Oui, tu as raison, mais je voudrais ajouter une chose.
En matière de probabilités, le principe fondamental est que toute opération est répétable et que les résultats ont une répartition normale.
Toute expérience qui ne rentre pas dans cette catégorie ne peut pas être utilisée dans un contexte de vérification de la théorie des probabilités.
L'expérience de la corde de Bertrand ne rentre dans ce cas que si la statistique de résultat est 1/2, c'est à dire le contexte du cas N° 2.

Dlzlogic a écrit:Oui, tu as raison, mais je voudrais ajouter une chose.
En matière de probabilités, le principe fondamental est que toute opération est répétable et que les résultats ont une répartition normale.
Toute expérience qui ne rentre pas dans cette catégorie ne peut pas être utilisée dans un contexte de vérification de la théorie des probabilités.
L'expérience de la corde de Bertrand ne rentre dans ce cas que si la statistique de résultat est 1/2, c'est à dire le contexte du cas N° 2.

Bonsoir 

Pauvre dlzlogic, si vous connaissiez que un centième des applications de toute la théorie des probabilités, vous ne diriez pas de choses aussi fausses sur la loi normale et les expériences aléatoires en général.

En réalité vous ne connaissez que votre cadre professionnel qui se résume à la composition des mesures faites avec un seul matériel. C'est très très peu. 
On vous a listé, il y a quelques jours, une liste de domaines d'application des probabilités et statistiques que vous ne connaissez pas du tout, du tout, et vous continuez à fanfaronner avec vos pseudo généralités... C'est révélateur de votre karma.

Par ailleurs, personne ne parle de loi normale dans le cadre de la corde de Bertrand. Que vous, comme un cheveu sur la soupe...

Bonne nuit

@ PF,
Vous êtes bien gentil mais toute théorie scientifique doit être au moins validée par des expériences.
Votre dernier messages est non seulement typique de vos interventions habituelles mais parfaitement insultant.
Je pense que à ce train là, votre pseudo du moment ne sera pas longtemps actif.

Par exemple le tirage de Buffon est un tirage uniforme de segments équilatéraux

Équiilatéraux non, de même longueur oui. Je l'ai expliqué quand j'ai parlé de l'aiguille de Buffon.

comme je te l'ai dit, ici le sens que je donne à tirage est simplement un procédé qui permet de choisir quelque chose dans autre chose.

La question portait sur tirage uniforme.

Ce n'est pas la peine de me faire le coup du génie incompris qui jongle aec des "concepts pas encore formellement défiinis".

HumHumHum a écrit:

Par exemple le tirage de Buffon est un tirage uniforme de segments équilatéraux

2) Équiilatéraux non, de même longueur oui. Je l'ai expliqué quand j'ai parlé de l'aiguille de Buffon.

comme je te l'ai dit, ici le sens que je donne à tirage est simplement un procédé qui permet de choisir quelque chose dans autre chose.

1) La question portait sur tirage uniforme.

2) Equimétriques si tu préfères.

1) Encore une fois, je n'en ai pas de définition consensuelle, mais si tu en veux absolument une, je te dirais que pour moi, un tirage uniforme est un tirage uniformisant.

PS : si cela te gêne dans les cas des points, tu n'as qu'à prendre la trace sur une droite avec une épaisseur e>0, prise aussi petite que l'on veut.

Dlzlogic a écrit: toute théorie scientifique doit être au moins validée par des expériences.

Par exemple, la distance moyenne de deux points au hasard dans le disque, ainsi que la distribution (non normale, mais parfaitement définie) de ces distances aléatoires toutes obtenues selon le même protocole (tirer deux points selon la distribution uniforme dans le disque et noter leur distance) ont été calculées théoriquement, et vérifiées par des simulations (vous en avez fait une vous-même).
N'est-ce pas Dlzlogic ?

le principe fondamental est que toute opération est répétable et que les résultats ont une répartition normale.

On peut répéter autant qu'on le veut le tirage de deux points uniformément dans le disque, et les distances obtenues n'ont pas une répartition normale.
Voici donc un dogme qui, tel que vous le formulez, n'a aucune justification théorique et n'est pas validé par l'expérience.

@ Humx3
Votre dernier message est très intéressant.
Vous insistez que le qualificatif "uniforme" d'un tirage ou plutôt d'un expérience.
C'est effectivement la base du constat d'une répartition normale.
Une répartition normale est telle que si on répète l'expérience plusieurs fois, sur la même chose et dans les mêmes conditions, on obtient les mêmes résultats, avec les probabilités connues, 25%, 16%, 7%, 2% à droite et à gauche, avec comme unité les multiples de l'écart probable.
Nos différents essais ont montré que l'aire mesurée sous la courbe correspondait à la moyenne calculée numériquement. On n'a réalisé qu'un petit nombre d'essais, donc on n'a pas eu l'occasion de vérifier la normalité des résultats de cette expérience uniforme, comme vous l'avez réalisé avec assiduité pour la vérification de normalité des résultats de simulation d'une loi exponentielle.

L'expression "distribution uniforme des points" n'a de sens que sur le papier. Le tir sur cible est un exemple souvent utilisé dans les bons cours pour illustrer la "distribution uniforme", la répartition des impacts est normale, sans contestation possible.
El fait la seule façon que je connaisse pour réaliser une distribution uniforme sur une zone est de diviser cette zone en N sous zone et de faire une distribution "comme on veut" dans chacune des zones. Pour référence, mon expérience professionnelle.

Donc, votre distribution des points ne peut être uniforme que sur le papier.

Contrairement à ce que vous croyez, la loi normale n'est pas une invention des mathématiciens, ou une les nombreuses lois de probabilités à la disposition des auteurs d'énoncés, mais une loi du monde réel dont vous pourrez trouver la démonstration dans le cours de JJ Levallois. C'est beaucoup plus qu'un modèle, c'est la formule d'une loi du monde réel.

h a écrit:Voici donc un dogme qui, tel que vous le formulez, n'a aucune justification théorique et n'est pas validé par l'expérience.

Ce que vous appelez "dogme", je le formule peut-être mal, ou tout simplement vous ne connaissez pas ces notions, pour plus d'informations, tout est dit dans le cours de JJ Levallois, l'université de Toulouse a aussi un très bon cours sur ce sujet.

Dattier a écrit:
1) Encore une fois, je n'en ai pas de définition consensuelle, mais si tu en veux absolument une, je te dirais que pour moi, un tirage uniforme est un tirage uniformisant.

Bonjour Dattier,
tirage uniforme, ou uniformisant, cela ne peut être que sur le papier. La loi normale est la formule d'une loi du monde réel.

Bonjour Dlzlogic,
Vous répétez avec obstination les mêmes contre-vérités et incohérences.

Une répartition normale est telle que si on répète l'expérience plusieurs fois, sur la même chose et dans les mêmes conditions, on obtient les mêmes résultats, avec les probabilités connues, 25%, 16%, 7%, 2% à droite et à gauche, avec comme unité les multiples de l'écart probable.

Quand on répète plusieurs fois l'expérience de tirer deux points de manière uniforme dans le disque unité et qu'on note leur distance (toujours selon le même protocole), on constate que la répartition de ces distances aléatoires n'est pas normale. Vous l'avez vous-même constaté dans votre simulation. Avez vous triché ou fait une faute dans votre simulation ?

Nos différents essais ont montré que l'aire mesurée sous la courbe correspondait à la moyenne calculée numériquement. On n'a réalisé qu'un petit nombre d'essais, donc on n'a pas eu l'occasion de vérifier la normalité des résultats de cette expérience uniforme,

Je vous ai déjà demandé de quelle courbe  et de quelle aire mesurée vous parlez. Je n'ai pas eu de répionse.
Vous appelez un million de tirages de paires de points "un petit nombre d'essais" ? Je vous rappelle que j'ai donné la fonction de densité pour la variable aléatoire "distance de deux points au hasard dans le disque unité" et que l'expérience pour un million de paires a parfaitement confirmé ce résultat théorique, montrant une distribution qui n'est pas normale :

L'expression "distribution uniforme des points" n'a de sens que sur le papier. ...
El fait la seule façon que je connaisse pour réaliser une distribution uniforme sur une zone est de diviser cette zone en N sous zone et de faire une distribution "comme on veut" dans chacune des zones. Pour référence, mon expérience professionnelle.

C'est faux : la distribution uniforme des points dans le disque unité a autant de sens que la distribution uniforme des aiguilles sur le plancher ou la distribution uniforme des fétus de paille. Par exemple, dans l'expérience de l'aiguille de Buffon, vous pointez le milieu de l'aiguille s'il est dans le disque tracé sur le plancher : ça vous fait une distribution uniforme de points dans le disque réalisée expérimentalement.
Votre expérience professionnelle est très réduite dans ce domaine si vous ne savez pas comment faire une distribution uniforme de points dans le disque unité : il suffit de tirer x  et y uniformément dans [-1,1] (vous devez savoir faire avec 2*rand()/RAND_MAX - 1) et de garder (x,y) quand x*x + y*y <= 1.

Le tir sur cible est un exemple souvent utilisé dans les bons cours pour illustrer la "distribution uniforme", la répartition des impacts est normale, sans contestation possible.

Il n'y a bien sûr aucune distribution uniforme des impacts dans le cas du tir sur cible.  Les expériences permettent de modéliser la répartition des impacts par une loi de Gauss bidimensionnelle.
Vous confondez toujours et encore "distribution uniforme" et variables aléatoires i.i.d. ("expériences de même protocole", si vous préférez).

Bonjour,

PileFace a écrit:
tirage uniforme, ou uniformisant, cela ne peut être que sur le papier. La loi normale est la formule d'une loi du monde réel.

Je ne comprends pas ton objection.

Bonjour Dattier,
Ne fait pas attention à la remarque de PF, je sevine le but de son intervention.

@ Humx3,
Je vous cite : "Votre expérience professionnelle est très réduite dans ce domaine". Un lecteur de passage pourrait se dire :"Tiens enfin quelqu'un qui pourra expliquer son expérience professionnelle dans ce domaine, c'est à dire des situations où on a une obligation de résultat.". Alors, je trouve cette réaction très saine et je vous prie de bien vouloir préciser votre expérience professionnelle dans ce domaine. Je ne vous demande pas un CV mais la description complète et détaillée d'une de vos actions dans ce domaine.

Dattier a écrit:Je ne comprends pas ton objection.

Je m'explique. En matière de probabilités, le principe fondamental est que les résultats ont une répartition normale (donc pas uniforme)
Toute expérience qui ne rentre pas dans cette catégorie (en particulier si sa répartition est uniforme) ne peut pas être utilisée dans un contexte de vérification de la théorie des probabilités.
Et il semble clair que l'expérience de la corde de Bertrand ne rentre dans ce cas que si la statistique de résultat est 1/2.