Vive la parabole

Bonjour,
Il y a eu une question sur un forum généralement bien fréquenté concernant les trajectoires de 2 véhicules.
Je traduirai le problème de la façon suivante : On a un véhicule qui part d'un point A vers un point B, distants d'une distance D. On connait la vitesse en A et la vitesse en B. En souhaite que la variation de la vitesse entre A et B soit constante, c'est à dire une décélération ou une accélération constante.
Application : une locomotive doit atteindre un train fou et l'accrocher pour pouvoir l'arrêter.
Pour moi, c'est à dire compte tenu de ma culture et de mon expérience, la fonction mathématique à utiliser pour résoudre le problème est la parabole. Pour l'expliquer, il est intéressant de faire une représentation graphique du phénomène. Voici le détail de la construction en considérant 2 véhicules.

Si on porte sur l'axe des X le temps, c'est à dire à une échelle proportionnelle quelconque.
Sur l'axe des Y la distance à parcourir, disA et disB.
Au temps t0, aucun des deux mobile n'est parti, on reporte leur vitesse initiale Va et Vb, coefficients directeurs de 2 droites Da et Db passant par les points d'ordonnée Va et Vb.
Sur l'axe des X, on positionne le point d'arrivée Ar unique pour les deux mobiles.
Bien-sûr ce point sera situé de telle façon que le problème soit possible, c'est à dire à une abscisse supérieure aux points d'intersection des tangentes construites.
On peut fixer comme on veut la vitesse d'arrivée qui sera la même pour les deux mobiles, cela sera concrétisé par un droite. Par exemple si on veut que la vitesse d'arrivée soit 0, cette droite sera l'axe de X.
Cette droite, la tangente en Av coupe chacune des tangentes représentant les vitesses en Ta et Tb.
Pour chaque mobile, on a le point de départ, abscisse T0=0, le point d'arrivée Ar le même pour les deux et les points Ta et Tb obtenus par intersection.
Pour chaque mobile on a ainsi défini les éléments nécessaires et suffisants pour fixer un arc de parabole.
Il est possible de calculer l'équation de la parabole, mais étant donné le contexte de la question, il est plus facile de calculer le point cherché par dichotomie, méthode déjà expliquée.
Je pense avoir suffisamment détaillé la méthode pour qu'elle puisse être appliquée autant graphiquement que numériquement.

Il s'avère que certains membres semblent préférer une fonction de degré 3, méthode connue sous le nom de "courbe de Bézier". Malgré mes recherches je n'ai pas trouvé d'argument qui justifie de préférer le degré 3 plutôt que la parabole. peut-être est-ce la facilité de modification en utilisant les points de contrôle comme "poignée".
On peut naturellement chercher à établir l'équation de la fonction. Puisque le but recherché est un calcul ponctuel ou une représentation, cela ne me semble pas forcément la meilleure solution. C'est la résolution d'un système linéaire de 6 équations à 6 inconnues.
La fonction est ax² + 2bxy + cy² + 2dx + 2ey + f =0
On sait que b²-ac=0 et que l'arc passe par un point M calculable. Cependant, l'établissement et la résolution de ce système n'est pas très simple.
La solution la meilleurs consiste à utiliser une propriété de la parabole.
Soit trois points A, T, B. Les points A et B sont les extrémités de l'arc et T l'intersection des tangentes en A et B.
Soit M le milieu de AB, alors S, milieu de MT appartient à la parabole. On a donc maintenant 2 arcs de parabole AS et SB. On peut déterminer les points Ti, sommets des tangentes aux extrémités de cet arc de parabole : Ti milieu de AT, et on est revenu au problème précédent.
C'est une méthode très efficace et très rapide en informatique puisqu'elle n'effectue que des opérations simples et qu'il est facile de déterminer la fin, en fonction de la précision souhaitée.

Bonsoir,
D'abord, merci à Dattier pour cette vidéo sur le sujet "course et ralentissement". J'admire vraiment ce monsieur d'en être réduit à commenter maladroitement un sujet bien traité sur le site de vulgarisation bien connu.
Espérons que cela remettra les pieds sur terre à des gens comme GBZM ou FE.
La problématique est pourtant simple. D'une part pour permettre à des dessinateurs/techniciens de définir des formes, par exemple pour des ailes de voiture, un ingénieur nommé Bézier met au point un système de tracé de courbes, et surtout de surfaces. Il est fondamental que quiconque, surtout les possesseurs de voiture de marque Renault, sachent comment ces surfaces sont crées.
D'autre part, des créateurs de logiciels qui ont besoin de dessiner des courbes ou de résoudre des problèmes mettant en œuvre des notions d'accélération, cherchent des méthodes simple pour résoudre les dits problèmes.
En d'autres termes, ce n'est pas parce que le courbes de Bezier de degré 3 on été inventées que c'est la panacée universelle.
Sur le forum où ce sujet a été traité, j'ai écrit que le demandeur avait été satisfait. Naturellement c'était une moquerie, voila la dernière intervention du demandeur :

@aviateur, merci mais cela dépasse mon niveau, et j'ignore donc totalement comment je pourrais traduire tout cela pour en produire des formules systématiques.

@GaBuZoMeu, la formule de Bézier est effectivement implantable dans mon code (C#) assez facilement. Je crois en effet que ce qui me gêne, c'est que je cherche à calculer une ordonnée (distance parcourue) avec une abscisse (le temps écoulé) avec une formule qui n'est pas la bonne (t n'étant pas une abscisse, et si j'ai bien compris 0,5 t n'est pas égal à la moitié du temps écoulé).

Je cherche simplement une formule par laquelle f(temps écoulé) = distance parcourue, qui respecte les contraintes énoncées, quitte à ce que la formule contienne des variables ajustables.

Et mon problème concret est très similaire à celui énoncé. C'est juste que ce ne sont pas des voitures. ^^

Apparemment pas très convaincu. Evidemment comme GBZM hante les deux forums et qu'il détient la vérité, il verrouille la solution, c'est à dire la sienne. Même au bout de la discussion FE n' y arrive pas.
Donc, encore une fois "Bravo les matheux".

Bonjour,
C'est curieux, dans le sujet dont il est question (course et ralentissement) un nouvel inscrit qui se nomme "lycéen95" a posé une question qui ressemble bien à une tentative de relance du sujet. Il a tout de même mis 20 minutes entre le moment de son inscription et son message. N'y pensons plus.
Je profite tout de même de ce petit [HS] pour noter que des gens comme Lorrain et JLT ne sont, a priori, pas des imbéciles. Ils ont fait des réponses très pertinentes qui ont été balayées d'un coup par le renvoi à LA solution de GBZM. En particulier ils ont précisé qu'il y avait une infinité de solutions, ce qui est parfaitement exact et très important à savoir dans l'élaboration de la méthode pour trouver une solution, détail qui n'apparait nulle par dans l'argumentation (si on peut appeler cela comme ça) Bézienne de GBZM.

Etablissons l'équation de l'arc de parabole.
L'équation s'écrit ax² + 2bxy + cy² + 2dx + 2ey + f =0
La pente de la tangente en un point x0 y0 s'écrit p=- (ax0 + by0 + d) / (bx0 + cy0 + e)
Comme cette conique est une parabole, on a la relation b² - ac = 0

L'arc de parabole est AB, les tangentes en A et en B se coupent en T.
Le point S, dit sommet de l'arc, est au milieu du segment MT, M étant le milieu de AB.
On peut donc écrire 6 équations :
Les points A, B et S appartiennent à la parabole (3 équations).
La conique cherchée est une parabole (une équation).
Les pentes des tangentes en A et B sont connues (2 équations).
La résolution se fera avec un petit module informatique.

Bonjour,
Ca y est, c'était pour la beauté de la chose, puisque je doute que ça serve à quelqu'un.
Mais je suis disposé à donner tous les détails à celui qui le demandera, même GBZM.
Bonne journée.

Bonjour,
Pour le plaisir :

Je vais ajouter un avis personnel. La parabole, qu'elle soit debout, la tête en bas, couchée ou penchée est une fonction très intéressante.
Par contre, ce n'est que mon avis, sauf motif particulier, il n'est pas intéressant de chercher à calculer son équation, sauf peut-être pour calculer l'équation de la tangente en un point. Mais pourquoi voudrait-on avoir cette équation ?