Régression suivant une parabole.

Bonsoir,
Réf. : https://www.maths-forum.com/superieur/regression-parabolique-non-triviale-t278846.html
Je ne pense pas que ce soit un problème très difficile.
La seule difficulté me semble être que la fonction cherchée, en l'occurrence une parabole, n'est pas monotone sur l'intervalle considéré.
Je me pose de toute façon une question : est-ce un exercice ou une question d'un problème réel.
Si j'ai réponse à cette question, je ferai volontiers le calcul et la justification.

Bonjour,
Léon est intervenu sur le sujet, ça me fait plaisir, ça faisait longtemps qu'on ne l'avait pas vu.
Je ne connaissais pas cette fonction paramétrique de la parabole. Je vais chercher pour comprendre.
Il semble bien que il s'agit d'un cas réel, il serait donc intéressant de savoir d'où viennent ces points. Une centaine, c'est tout à fait raisonnable à traiter.
Il serait intéressant aussi de savoir si ce problème peut se poser plusieurs fois.
Autre question importante : les points (x,y) sont sur un arc de la parabole cherchée ou se répartissent sur la totalité d'une parabole, 2 branches et un axe de symétrie.
Dans un premier temps, il faudrait avoir un exemple de cette liste de points.

Bon, j'ai l'impression que l'on parle de la solution à adopter avant de poser le problème.
On a une liste de points (x,y) et on cherche une fonction qui respecte au mieux cette liste de points.
Il est précisé que l'on cherche une parabole. Y a-t-il une raison obligatoire ?
Il est précisé que le point S, supposé connu, doit être le sommet de la parabole. Y a-t-il une raison obligatoire ?
Il est suggéré de faire une rotation. D'où vient cette idée ?

Si le but est de faire une régression, alors mes trois questions sont sans objet. Si mes questions sont justifiées, il faut une explication.

L'équation générale d'une conique s'écrit
ax² + 2bxy + cy² + 2dx + 2ey + f = 0  soit 6 paramètres.
Si b² - ac = 0, alors c'est une parabole.
Dans le cas où a ou c sont non nul, la régression n'est pas linéaire, ce qui est un problème difficile à résoudre.
Cela justifie les questions de mon message précédent.

PS. Je suis persuadé qu'il y a encore une erreur sur la qualificatif de la régression.
Une régression linéaire est une régression qui se résout en utilisant les outils d'algèbre linéaire, c'est à dire que le problème se ramène à résoudre un système linéaire de N équations à N inconnues. Bien-sûr il est souvent nécessaire de faire des changements de variables. Le qualificatif "linéaire" se reporte à la méthode de résolution et non pas à la forme de la fonction obtenue.
Dans le cas présent, je ne sais pas ce que veut dire "régression parabolique".
A titre d'exemple, une régression pour obtenir une fonction de degré 4 est une régression linéaire.
Exemple contraire : on ne sait pas résoudre par les méthodes habituelles une régression dont la fonction résultat est celle d'un cercle.

Bonjour,
Ce sujet est bizarre. Comme je l'ai dit dans mon premier message, on discute de savoir comment faire quelque-chose alors qu'on n'a pas encore défini ce qu'on voulait faire.
Là, on en est à la représentation de la fonction.
Peut-être la question suivant sera "comment afficher mon résultat ?" ou "à qui envoyer l'article ?".

[HS] J'ai encore reçu de la pub de la part de Maths-forum !.
Que penser d'une site qui refuse la présence de certains, moi par exemple, mais m'envoient de la pub ? [/HS]

Bonjour,
Il me parait prévisible que Sylvain ne soit arrivé à rien, pour la simple raison que personne ne lui a expliqué quoi que ce soit.
C'est un problème classique [les régressions] et à part les papiers de Jean Jacquelin je ne me souviens pas avoir vu la moindre réponse intéressante.
Alors, MM. les profs de maths, si vous connaissez ces questions, pourquoi les gardez-vous pour vous ? Ou alors vous ne les connaissez pas et le mieux est encore de le dire ou tout simplement de ne pas répondre.

Léon a écrit:Je n'utilise pas le C++ pour faire des calculs mathématiques.
Si tracer une courbe n'est pas simple, alors je n'imagine pas comment vous allez faire pour déterminer les paramètres.

Pour information le C/C++ est un langage de programmation.
Il est vrai que ce langage n'est pas destiné à résoudre des exercices, il est destiné à faciliter le travail des humains quelle que soit leur spécialité.
Par ailleurs, le calcul des paramètres d'une parabole de régression est une opération simple avec une calculette programmable. Alors naturellement un langage aussi puissant que le C/C++ est parfaitement adapté.
La difficulté, s'il y a difficulté, est de savoir comment le faire.

Décidément, cette question a plein de rebondissements.
D'abord, on ne sait toujours pas si c'est une question théorique ou pas, ponctuelle ou pas, on n'a pas d'exemple.
Dans le cas suggéré où pour une valeur de x on a 0 ou 2 solutions, bref, on n'a toujours pas d'hypothèse précise.

L'exemple proposé par Léon est intéressant et on obtient bien les 6 paramètres de la forme générale
b² = 0.221² = 0.044521
ac = 0.245 * 0.182 = 0.044590
ce qui vérifie, à la précision près, qu'il s'agit bien d'une parabole.

Malgré toutes les interventions, le demandeur n'a toujours pas de réponse utilisable. Il s'agit tout de même d'un problème très souvent posé, sous une forme ou sous une autre.

Note : je ne sais pas résoudre le système de 2 équations écrites par Léon, au moins à première vue. En fait, c'est un système de 6 équations à 6 inconnues.

Bonjour,
La suite des échanges est très intéressante.
Allez, je donne une supposition personnelle. J'ai posé les questions nécessaires, mais tant pis.
La liste des couples que l'on a à traiter résulte d'une observation quelconque mais non exceptionnelle. Si on observe le nuage de points, cela suggère une parabole. Sur Google "régression parabolique" donne un résultat, alors on adopte le choix de la parabole.
Mais une parabole peut être penchée, donc il faut prévoir ce cas là.
Enfin selon l'expérience qui a produit cette liste, l'origine, ou plutôt le départ, c'est à dire là où il ne se passe rien, est un point connu que l'on appelle S.

Concernant les paramètres de l'équation générale d'une parabole, ils sont au nombre de 6 (de a à f), pour une détermination algébrique, il y a 6 inconnues, donc cela nécessite 6 équations linéaires. Etant donné que la fonction cherchée n'est pas bijective, c'est plus compliqué et je ne suis pas sûr de savoir le faire facilement.

Pour une fonction de degré 4 que l'on peut mettre sous la forme Y=f(X), il y a 5 paramètres à calculer, donc 5 équations linéaire. Ce n'est pas compliqué.

Ben314 a employé l'expression "au sens des moindres carré", il aurait été largement préférable de dire "avec la méthode ds moindres carrés".

Pour en revenir à l'hypothèse du calcul d'une régression, il est très largement plus facile de chercher un fonction que l'on peut écrire sous forme Y=f(X).
En d'autres termes, tant qu'il n'y a pas de justification primordiale pour utiliser une parabole "penchée", c'est une idée à éliminer.

Autre possibilité : supposons que effectivement le nuage de points ressemble effectivement à une parabole "penchée", alors le plus simple me parait être de choisir un angle de rotation quelconque et transformer tous les points pour avoir une fonction de la forme Y=f(X).

Je me suis posé la question suivante : pourquoi les "conseilleurs" ne demandent pas tout simplement la liste des couples ?
Je pense avoir trouvé la réponse : alors ils seraient forcés de faire le calcul, et ça c'est plus difficile.

PS J'ai relu les explications de Ben314. En fait, on a la même idée : d'abord faire une rotation suivant un angle thêta pas trop bête, calculer le paramètre a.
En fait, c'est l'imposition du sommet qui pose problème. Pour la translation, on connait le point d'arrivée, c'est S, mais c'est le point de départ qui pose problème. L'équation de la parabole, presque verticale sera forcément de la forme Y = aX² + bX + c. Même si on a décidé ce cette parabole était "normalisée" le calcul de la régression donnera un résultat avec 3 paramètres, même si b et c sont petits.
Cela permettrait peut-être de déterminer le vecteur de translation et une petite correction de l'angle de rotation, mais, à mon avis, c'est du bricolage.

Bon, j'ai perdu un message, mais étant donné les messages de Léon et Ben314, il me semble qu'on s'approche des bonnes questions.

Bonjour,
Apparemment notre ami Lycéen a bien compris une des difficulté des régressions.
Par contre, j'aimerais bien savoir comment sont faits les calculs. On voit bien les résultats, mais on ne sait pas comment ils sont menés. E lisant le message de Lycéen, c'est peut-être l'esclave informatique qui fait tout. Si c'est le cas, cela me parait assez casse-cou et en tout cas pas digne de matheux.
Pour mémoire, j'ai trouvé "ajustement parabolique" mais pas "régression parabolique" qui pour moi n'a pas de sens
https://claude-gimenes.fr/mathematiques/statistiques/-iii-ajustements

Le dernier message De Lycéen est intéressant. Je suis sûr qu'il serait très intéressé pas les différents papiers de Jean Jacquelin qui traite tout cela en détail.
Par contre, il me semble qu'il oublie une chose fondamentale : la raison pour laquelle on fait des régressions.  
Le cas d'ajustement conique est assez particulier.
Dans le cas général, on a une liste de couples résultant d'observations et on cherche une fonction qui correspond au mieux. Cette fonction sera de la forme Y=f(X). On n'a a priori aucune idée de la fonction à utiliser, donc la seule méthode est d'essayer des fonctions classiques. C'est là que le coefficient R² de régression est intéressant, puisqu'il permet de comparer les résultats.
Un autre point est important : on doit considérer que les valeurs utilisées sont bonnes, c'est à dire sérieuses, résultant d'observations sans faute ni tricherie. Donc les écarts de chaque mesure avec la valeur vraie qu'elle devrait avoir sont petits. Des écarts sur des corrections petites sont des valeurs petites, d'un ordre supérieur, donc négligeables.

Ce que Lycéen ignore, c'est la raison pour laquelle, dans la méthode des moindres carrés, on choisi les carrés. Cette raison est issue directement de la théorie des probabilités. Le fait de minimiser la somme des carrés permet de trouver la solution la plus probable, c'est à dire qui a la plus grande probabilité d'être "bonne".

PS. Il y a quelques années, j'avais écrit un papier sur le sujet.
http://www.dlzlogic.com/aides/Regres_lineaire.pdf
Je l'ai relu, c'est simplifié, mais c'est toujours valable.

L'idée de Ben314 de faire la régression à partir de la fonction de base des coniques, je l'avais suggérée et Léon l'avait trouvée idiote ou je ne sais plus quoi.
Jean Jacquelin a utilisé cette méthode, mais elle conduit à une régression non linéaire, puisqu'on ne peut pas, en général, écrire la fonction sous la forme Y = f(X) . Si on veut forcer une parabole, alors l'une des équation est B² = AC.

Il y a une application importante de la méthode des moindres carrés, c'est la compensation d'un ensemble de triangles. Je crois d'ailleurs que, historiquement, c'est l'origine de la méthode.
Pour mémoire l'élément mathématique servent de justification est le postulat de la moyenne, c'est à dire pas grand-chose à voir avec des notions de distance. Une application que j'utilise souvent : le calage d'image.
On sait que dans certaines conditions la transformation pour passer d'une image à une autre est la transformation affine (translation + rotation + homothétie + affinité). Je me suis souvent exprimé sur le sujet. J'ai d'ailleurs écrit un petit module en PHP qui permet de calculer cela dans un contexte internet.

Bon, je ne suis pas curieux, mais j'aimerais bien savoir d'où viennent ces points.


Effectivement, on devine une parabole. Il y a des quantités de points doubles ou triples ou quadruple. Dans mon nettoyage manuel et un peu rapide, j'ai peut-être supprimé des couples, d'où des trous.

J'ai vu le résultat du calcul de Léon. Là je reconnais que c'est pas mal, chapeau   .

Bon, si j'ai bien compris les couples donnés par Sylvain résultent d'un calcul et non pas d'une observation.
J'en déduis que ce sujet est complètement bidon et sans intérêt.
En général, en math, on ne met pas au point des méthodes inutiles et qui ne seront jamais utilisées. Là on s'est bien amusé, mais on a vraiment perdu son temps.

Bon, lu le message du Lycéen de service, pour une fois que je confirmais ses affirmations, j'ai pas de chance.
Dans un contexte d'échange normaux, il est habituel d'exprimer ses désaccords clairement et de préférence avec une argumentation. Certains préfèrent l'insulte, ça ne leur donne pas plus de poids mais ce type de réaction est assez caractéristique.

Bonjour,
Et ça continue.
Tant qu'on ne saura pas ce que veut faire Sylvain, cela ne restera qu'un jeu mathématique.
En d'autres termes, cherche-t-il à calculer une régression à partir de valeurs numériques observées, ou cherche-t-il à résoudre un problème précis ?

Je continue à me demander le but de la recherche de Sylvain.
L'article de Wikipédia semble suffisamment détaillé. Malheureusement, je n'ai pas trouvé d'application ou d'utilisation qui correspond aux critères précisé par Sylvain, à savoir observations d'un grand nombre de points, axe "penché" et sommet connu.
Par ailleurs la parabole est une fonction particulièrement intéressante, par exemple pour le lissage de courbe.
Autrement dit, je confirme ce que j'ai dit dans un message précédent, l'expression "régression parabolique" n'a pas de sens pour moi.
Si on s'intéresse aux régressions de conique, les papiers de Jean Jacquelin me semblent une très bonne référence.
https://fr.scribd.com/document/14819165/Regressions-coniques-quadriques-circulaire-spherique#

Ben314 a écrit:Sinon, l'hurluberlu, c'est DzLogique ?

L'orthographe de mon pseudo est "Dlzlogic"
Bizarre que Ben314 me traite d'hurluberlu, puisque sur le présent sujet, on est pratiquement d'accord.

J'ai fait la régression avec la nouvelle liste :

Lycéen95 a écrit:Le rigolo de service, c'est quelqu'un qui s'est fait bannir de tous les forums d'entraide francophones ; chacun en tire les conclusions qu'il veut.

Oui, c'est vrai, mais bien malin celui qui ose me dire le motif.

L'idée de Sylvain de distinguer les points à droite et à gauche de l'axe approximatif est intéressante. J'en reviens toujours à ma question de base : à quoi ça sert ? Quel est le but de l'opération ? Seulement théorique ?

Après la translation et la rotation, il semble qu'on soit arrivé à la situation suivante :
On a une liste de couples x,y que l'on veut réduire suivant une parabole. d'équation Y=a X².
Deux valeur de X égales mais de signe contraire donneront la même valeur de Y.
Sauf traitement spécial, je ne vois pas comment on peut isoler donc différencier ces deux valeurs de X.
La seule solution que j'imagine est de séparer les valeurs de X négatives  des valeurs positives et de calculer deux régressions. On devrait obtenir deux valeurs pour 'a' relativement proches si les points X sont bons.

PS. En fait, je crois que j'ai dit une bêtise.
Quand on a la liste des couples (x,y) après transformation comme il faut, on peut trouver la fonction de la forme Y= aX² + b, c'est à dire dans "forcer" le sommet.
Je ferai peut-être le calcul demain, même si je ne sais pas à quoi ça sert, juste pour le fun.

Actuellement, c'est ChatGPT contre Léon. Ca va devenir amusant.

Bonjour,
Je reprends le problème au départ.
Par je ne sais quelle procédure, on obtient un nuage de points, plusieurs dizaines, qui ont à peu près l'aspect d'une parabole penchée.
Si on calcule une régression, brutalement, suivant une droite, la droite obtenue sera pas très loin de l'axe de symétrie, mais surtout elle partagera la liste de points entre les deux branches, sans aucune ambiguïté.
On peut donc isoler les deux listes, séparément et calculer la régression pour chacune des listes, suivant la méthode habituelle. On obtiendra deux équations.
Cas 1, la parabole est parfaite, c'est à dire qu'il n'y a aucune source de parasite (frottement etc.) alors, les deux équations obtenues devraient être très voisines et la moyenne des coefficients, en respectant B² = AC, devraient être la fonctions à adopter
Cas 2, ce qui me parait le plus logique, les deux branches sont à distinguer et le résultat sera l'ensemble de ces deux fonctions.
Je n'ai pas évoqué le sommet, puisque je ne sais pas ce qu'il représente, comment il est obtenu etc.