Le dada de l'indépendance.

Pour le plaisir, la démonstration de |P-F| tend vers 0.
Je note C(n,p) la combinaison de n valeurs p à p.
Extrait du cours de JJ Levallois 1960.
Le maximum de l'expression C(n,p)/2^n sera atteint lors le dénominateur p! (n-p)! sera minimum.
Transformons les factorielles par la formule de STIRLING x! ~ racine (2.pi.x) x^x/e^x, nous avons C(n,p= = Ap . (n-p)^(n-p)
Prenons le logarithme et dérivons, il vient :
p .1/p + log p - (n-p).1/(n-p) - log(n-p) = 0
C'est à dire log p = log(n-p)   soit p=n/2

Bonjour,
Je vais essayer de répondre à la question de Fatal-error.

Fatal-error a écrit:dans l'exemple proposé par gbzm, pour un N donné, et sa somme S obtenue associée: on peut soit augmenter S soit décroitre au lancé N+1.

mais supposons la variante suivante:
qqsoit n, on s'impose une bande centrée en 0 de demi-largeur a...
la somme obtenue S ne doit jamais sortir de cette bande.
quelle est la probabilité d'attendre le lancer k?

Chaque évènement est indépendant des autres évènements. La répartition des fréquences est celle de la loi normale. Par exemple, on sait que 7 évènement sur 1000 seront "hors tolérance", c'est à dire au-delà de 4 écarts probables. Autre exemple : 5% pour 2 écarts-type (valeur très souvent utilisée). Je rappelle que la tolérance que j'emploie vaut 4*(2/3) écart-type.

si on prend le zero de départ,
puis le F-P
à un moment donné n on peut dire le F-P a 95% de chances d'etre entre +k et -k

et comme k va augmenter quand n augmente,
le F-P se balade dans un intervalle de plus en plus grand
c'est pourquoi on le retrouve de moins en moins vers zero F-P

n'est-ce pas Pierre ?

PS: comme on le voit sur les courbes de GaBuZoMeu, sommes nous d'accord?

Bonjour Beagle,
Ce que tu expliques, c'est ce que te dit ton intuition.
D'abord, pour dégrossir, il y a l'inégalité de Bienaymé. C'est une relation entre le carré de l"écart-type, qu'on appelle variance et la probabilité d'avoir un écart plus grand qu'un certain rapport. Donc, pour répondre à la question de F.E. on est sûr que la probabilité de sortir de la bande est inférieure à une certaine valeur qu'on s'est donnée.
Jusque là, tout le monde est d'accord, cela a été démontré par Tchebychev, est enseigné au niveau lycée, est repris indirectement par l'axiomatique de Kolmogorov, cela suffit d'ailleurs à démontrer que P-F tend vers 0.
On peut constater que, même limité à ce niveau, la notion de probabilité n'est pas vraiment intuitive, et qu'en l'absence de démonstration, voire de formation, les profs de math ont tendance à suivre leur intuition.
Gauss et ses copains ont été plus loin dans la précision des résultats, mais ils n'y a que les professionnels de la mesure qui connaissent les détails de ces notions.

Pour reprendre la forme d'écriture moderne, l'inégalité de Bienaymé s'écrit ainsi :
J'appelle A une valeur donnée, ce qui correspond à la demi-largeur de la bande de F.E.
J'appelle s l'écart-type, donc s² est la variance et µ la moyenne arithmétique,
alors P(|x-µ| > A) < s²/A²
Ce qui signifie que dans le cas de Pile ou Face, la probabilité que |P-F| tende vers l'infini est nulle.

La démonstration que j'ai copiée et qui abouti à la conclusion "La combinaison la plus probable est donc bien celle qui correspond à la réalisation des piles et face en nombres égaux et ceci n'est qu'un cas particulier de la loi des grands nombres." est issue, par cours interposé de Levallois, de l'exposé de M. P. Lévy dans son "cours d'analyse de l'Ecole Polytechnique", Gauthier-Villars, 1931.

"La démonstration que j'ai copiée et qui abouti à la conclusion "La combinaison la plus probable est donc bien celle qui correspond à la réalisation des piles et face en nombres égaux "

sauf que si j'ai un extreme grand nombre de combinaisons possibles,
il se pourrait que cette combinaison soit de probabilités extrèmement faible, rien n'empèche que la combinaison la plus fréquente represente moins de 5% des cas

si on examine l'ensemble de tous les C(10 000, k) quelle proportion du C(10 000, 5000) a-t-on?

pour C=100 le C(100,50) est 0,08 de tous les C possibles
pour C= 200 le C(200,100) est 0,056 de tous les C possibles

"sauf que si j'ai un extreme grand nombre de combinaisons possibles,"
Ce serait un contre-exemple du théorème de Bernoulli. Moi, j'y vois pas d'inconvénient.
J'avais cru comprendre que Lycéen95 était entrain de trouver cela. Au-tu des nouvelles ?

épreuve de Bernouilli qui donne la loi binomiale
donc plus les coefficients binomiaux sont nombreux, plus cela diminue la proba de ces coef binomiaux, le plus fréquent, le plus probable peut etre complèement dilué
bien que la proba la plus élevée cela peut devenit tres tres faible ...

T'as raison, il faut faire une publication. Essayons d'éviter un incident diplomatique avec la patrie de Tchebychev, puisque celui-ci l'a démontré.

wikiki:

"En théorie des probabilités, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est une inégalité de concentration permettant de montrer qu'une variable aléatoire prendra avec une grande probabilité une valeur relativement proche de son espérance. "

Pas de soucis avec cela,
il faut imaginer ta courbe binomiale = courbe Gauss avec la cloche horizontale
effectivement les probas les plus élevées sont vers le zero d'abscisse = la moyenne
, les courbes maxi F-P dans un sens ou l'autre seront l'enveloppe de ta gauss
et le F-P se  balade la dedans, plus n augmente plus la cloche s'ouvre, plus le F-P se balade
que les probas les plus élevées soient vers le centre = l'abscisse ne dit pas que l'on va retrouver notre F-P dans cette zone puisqu'il a a de plus en plus de choix de se barrer

ce qui est certains c'est que rien , aucune force ne tend à le faire revenir vers le centre.
La courbe étant au point k à un niveau de F-P, ce niveau de F-P est maintenant un nouveau zero pour elle=
la courbe ne se souvient plus d'où elle vient.
ce qui est heureux pour un phénomène sans mémoire.

Que veux-tu que je te dise ? Cette inégalité est dite fondamentale. Elle a été démontrée rigoureusement. Philosophiquement, ce n'est pas intuitif, je n'y peux rien.
Tu lâches un caillou, il tombe, c'est intuitif ? Tu me donnes un contre-exemple : au lieu d'un caillou, te lâches un ballon de baudruche gonflé à l'hélium, il s'envole, c'est intuitif ? Pourtant les deux situations sont vraies.
Dans le cas des probabilités, tu fais la même expérience dans un contexte quantique (EPR), tu obtiens un autre résultat que ce que disent les probabilités, C'est intuitif ? Tu trouves des "arguments" philosophiques pour expliquer que les probabilités dans le monde observable devraient faire ça et non pas ce que disent les lois. Bon, tout va bien je ne peux rien ajouter.

L'expression "sans mémoire" a un sens bien précis dans le cadre des probabilités, en tout cas, certainement pas celui que tu lui donnes.

Par ailleurs, je veux bien imaginer ce que tu veux, sauf qu'en math, je me limite aux démonstrations. Tu devrais lire et relire le bouquin de Jacques Harthong, il explique tout cela de façon très claire.

C'est curieux, j'ai l'impression que tu cherches à me faire dire quelque-chose. Par ailleurs, les questions posée par l'un ou l'autre, je pense présentement F.E. et moi, n'ont pas de réponse. Par contre les simulations de GBZM, faite pour laisser supposer des tas de choses, tes hypothèses etc. ne manquent pas.
Je me demande vraiment à quoi on joue.
Je te répète que, en probabilité, un phénomène "sans mémoire" est un phénomène qui provoque la fin de l'expérience, par exemple la mort d'un composant électrique ou électronique, c'est à dire en aucun cas le comptage de pile ou face.
Pour moi, cette simple erreur sur l'emploi des termes rend sans valeur tes suppositions. Et j'espère que ce sera le cas aussi pour les lecteurs.

Le F-P tu as plus de chances de le retrouver vers le zero qu'au-delà.
Donc là tu as raison.
Si on prend l'intervalle 0 à k ben tu auras plus de chances de trouver ton F-P que dans l'intervalle suivant K à 2k.
Mais imagine comme tu l'utilises souvent une courbe de Gauss,
tu as plus de chances d'étre dans un intervalle pres de la moyenne.
ça oui d'accord

Pour autant cela signifie t-il que le F-P tend vers le zero.
Ben non.
Les probabilités tendent à le maintenir vers le zero, a le garder pres de lui,

mais une fois éloigné il s'en fiche complètement de ce zero.
C'est maintenant à CE NOUVEAU ZERO que les probabilités tendent à le garder pres de lui.

Autant le F/P on peut vraiment dire qu'il va vers le 1
Autant le F-P ne va vers rien du tout, on a des chances de le retrouver en cas de perte et de signalement à la police, tu as des chances plus élévées de le retrouver vers ton zero de départ.
Mais si tu comptes sur lui pour revenir.
Il a néanmoins les capaités de revenir au zero de base, il s'en est détaché des chemins ramènent au zero, mais franchement il s'en tape.
Il ne sait pas d'où il vient.
Et c'est heureux.
Tu imagines pour jouer à pile ou face il faudrait des pièces neuves sinon on aurait une influence des premiers tirages des propriétaires antérieurs!

en résumé les probas tendent à garder le F-P vers le zero de départ, ce sont des forces qui le freinent à s'éloigner,

mais les probas ne sont pas des forces de retour au zero du F-P

le freiner dans son éloignement oui, le faire revenir non

on peut reformuler autrement.

Signalement à la police , j'ai perdu mon F-P
J'ai dit plus de proba , donc les recherches autour du zéro de départ de la série.OK

maintenant on a un témoin qui a vu le F-K à la borne k
Et bien la police va concentrer ses recherches autour du nouveau zero , le zéro devient l'endroit du F-P a la borne K
c'est autour de ce nouveau zero que les chances sont les plus élevèes.

Conclusion: le F-P de borne zero à borne k on s'en tape, il n'a aucune utilité une fois passé,
complètement oublié
inutile sert à rien, le h de Hawai!

bref si c'est pas que l'histoire entre zero et k ne sert à rien ne renseigne rien sur le futur,
j'appelle cela anhistorique.
et c'est heureux!

dans la meme veine mélodramatique policière.

Un jour sur un forum de maths tu rencontres un petit F-P qui pleure,
il cherche sa mère qui habite au zero comme chacun sait.

Et bien c'est impossible de savoir où habite sa mère, on ne sait pas s'il faut descendre ou monter.
Et le pauvre petit F-P , ben il fera son possible pour continuer son chemin , avec une certaine force qui le maintient
autour du niveau où vous l'avez trouvé.
Mais on ne peut pas dire que le F-P tend à retourner chez sa mère.

Voilà l'histoire est bien plus triste.
ça fait chialer les maths parfois!

Salut Beagle,
Tu devrais écrire des contes pour enfant, tu ferais fortune, par contre, pour la rigueur mathématique, t'as encore des progrès à faire.
Je me souviens, il y a quelques années, tu as suggéré qu'on me confie une pièce de monnaie pour que je puisse faire des [milliers d'] essais et ainsi, observer de mes yeux que je ne disais que des bêtises, que les pièces n'avaient pas de mémoire, qu'elles ne savaient donc pas ce qui s'était passé avant, qu'un pauvre petit P-F pouvait se retrouver perdu dans les conversations des forumeurs, sans savoir où aller etc.
A l'époque, il y en a deux qui ne me croyaient pas mais qui ont fait l'expérience, Le_Jeu avec des boules de Loto et Doraki avec un dé à 6 faces.
J'ai proposé une simulation pour faire le test avec des Pile ou Face. S'il y en avait un qui l'avait fait et qui aurait eu un autre résultat que celui prévu, tu penses bien qu'il aurait été trop content de le dire, avec des dessins ou pas, mais non, aucun écho de cette simulation. Alors, ma question, soit ils sont tellement sûr d'eux que ce n'est pas la peine d'essayer, soit ils ont fait la simulation et se gardent bien de le dire. Qu'en penses-tu ?

GBZM a écrit:C'est tout de même assez affligeant de voir l'auteur passer par un bricolage ole-ole avec la formule de Stirling

Pour info, l'auteur dont il parle est Lévy
https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=4&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwiG1o_Gka3kAhUIzhoKHfsbBZAQFjADegQIARAB&url=http%3A%2F%2Fwww.annales.org%2Farchives%2Fx%2Fpaullevy.html&usg=AOvVaw0Ioq2jxkd-vv62ZUPi9gFa

Il peut lire aussi les 19 pages qui concernant ce sujet
http://www.dlzlogic.com/Gauss1_19.pdf

Pour la mémoire de la série, tu l'auras voulu je reformule une expérience que moa j'avais proposé de faire:
4 tables
4 stylos
4 chaises
4 bureaux
4 feuilles où l'on note les series
4 pieces de monnaie équilibrée
4 personnages:A, B, C, D qui permettent d'indicer les tables Ta, Tb, Tc, Td idem pour indicer les objets

On fait sur chaque table le personnage A avec le styloA, la feuille A, assis sur la chaise A etc.…
bref chaque personnage fait 1000 lancers de pièces

résultats
pour les A: retard le plus élevé en Face
pour B retard le moins élevé en pile
pour C retard le moins élevé en Face
pour D retard le plus élevé en pile.


Et maintenant, A va s'assoir sur la chaise C au bureau B , on lui donne la pièce D, la feuille B, et le stylo D
et il se repaye une serie de 1000
la question est où se situe la mémoire de la série, qui la porte, et donc quel retard va se combler, le personnage A est en droit de recevoir plus de face, tout comme sa chaise qui merite aussi, mais faudrait pas accentuer le retard en pile de sa piece D, du stylo D qui n'a déjà que trop écrit face

idem pour la repartition des autres personnages, je peux fournir le protocole entier si tu le veux.

Donc qui est le dépositaire du retard?

Lycéen95 a écrit:Dans une succession de tirages Pile/Face, si on note n=le nombre total de tirages, P=le Nombre de Piles et F=le Nombre de Faces, la probabilité d'avoir P=F est .... et là, on a une formule (exacte, tous les extraits du bouquins sont exacts).

Si on applique la formule du bouquin, pour n relativement grand, disant 1 Milliard, on trouve que la probabilité d'avoir P=F est extrèmement faible, environ 0.01%
Plus loin, le bouquin explique que la valeur la plus probable pour P-F, c'est 0. Tout à fait exact. Intuitif, exact, et démontré. Rien à redire.

Donc ce bouquin dit ; l'événement P=F a une probabilité très faible. Et ton ami transforme ça , en disant ; Puisque l'événement P=F est celui qui a la probabilité la plus élevée, cet événement est quasi certain (la proba de 0.01%, il s'en moque, il ne retient que ce qu'il a envie de retenir...)

J'avoue que j'ai du relire plusieurs fois ce qu'a écrit Lycéen.
Je recopie la conclusion : "La combinaison la plus probable est donc bien celle qui correspond à la réalisation des piles et faces en nombres égaux et ceci n'est qu'un cas particulier de la loi des grandes nombres".
Je suppose que Lycéen95 a utilisé, pour son calcul, la loi binomiale qu'on apprend au lycée. Il ferait bien de jeter un coup d’œil au cours que j'ai cité dans mon post précédent. Mais en fait, cet individu est vraiment sans intérêt. Il semble qu'il ait à peu près assimilé les notions d'analyse combinatoire, bien appris les lois discrètes, pour les lois continues on ne sait pas trop, par contre, je crois qu'il a compris comment faire les exercices où on parle d'intervalle de confiance, mais bien-sûr, il serait incapable d'en expliquer la signification.

Bon, je vais essayer de répondre à ton objection "ou est passé le retard ?".
Encore une citation :
"[...] Cette expérience a été faite bien souvent, sur des objets très différents, ses résultats sont constants, la courbe de répartition a toujours le même allure. Il y a plus, les courbes obtenues dans l'étude de ces différents cas sont superposables par un simple changement d'échelle des abscisses et des ordonnées, autrement dit on peut représenter par la même courbe, par exemple :
- les écarts de tir au pistolet, au jusif, au canon,
- les erreurs de fermeture des triangles,
- les gains et les pertes à pile ou face,
etc.
Bien sûr, tu peux trouver cela pas logique, la perte de référence de P-F, permettre à des gens comme L. de baver comme ils le font, mais, c'est comme ça, on n'y peut rien.
Et d'ailleurs, si c'était pas comme ça, l'étude des probabilités et de la statistique n'existeraient pas.

Ah, j'ai oublié de te dire, naturellement je vais faire la simulation que tu proposes (4 chaises, 4 personnes etc.), dès que tu m'auras décrit le protocole.
PS promis, je me relierai.

Salut,

"Au bout de 5000 lancers de pièce (première mi-temps), Pile mène par 2606 contre 2394 pour Face.. Quelle est la probabilité pour qu'au cours des 5000 lancers suivants (deuxième mi-temps) la différence Pile-Face reste toujours supérieure à 100 ?"

pile a 212 d'avance
rester au dessus de 100 equivaut à pile part de 0 et reste au dessus de -112

La méthode d'approche de F.E. n'est pas idiote.
Par contre, j'ai renoncé à suivre les calculs.

Bonsoir,
Manifestement, les échanges sont un peu hard.
J'ai essayé de suivre ce que dit l'un et l'autre, j'ai vraiment le sentiment que les réactions de l'un, plus d'un autre, n'ont pour but que de contrer F.E.
Bref, je ne sais pas ce que chacun essaye de prouver ou de contrer. La loi des grands nombres est claire et simple, sauf cas particulier, par exemple tricherie, erreur ou exécution dans un contexte non observable, elle n'admet pas d'exception.
Bien-sûr il y a l'argument imparable de Sylviel "Si une suite d'entiers tend vers zéro, alors, elle ne peut plus s'en écarter". Ce qui prouve de façon irréfutable que la loi des grands nombres est fausse.

Bonjour,

Sylviel a écrit:Il réponds "mais ça contredit la loi des grands nombre", qu'il n'a donc toujours pas comprise...
La loi des grand nombre dis F(n)/n -> 1/2, ou P(n)/n-> 1/2 ou [F-P(n)]/n -> 0... Bref il oublie que l'on parle de la moyenne et pas du nombre absolu. La moyenne bien sûre est rationelle, pas entière...
Bref le raisonnement logique n'a jamais été son fort mais ces derniers temps ça devient cataclysmique.

Je répète la définition de la loi des grands nombres.
Soit z la somme arithmétique de n réalisations xi d'un évènement A.
Soit a la probabilité de réalisation de xi.
Alors a-z/n ~ racine (a(1-a)/n).
z/n est la moyenne arithmétique des n réalisation. Lorsque n devient très grand, le membre de droite tend vers 0. Donc la moyenne tend vers la probabilité.